带电粒子自主招生专题课程

【例3】 在平面内有许多电子（质量为、电量为），从坐标O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如图7所示。现加一个垂直于平面向内、磁感强度为的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于轴向正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。解析：电子在磁场中运动半径是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如图所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，其中圆O1和圆O2为从圆点射出，经第一象限的所有圆中的最低和最高位置的两个圆。圆O2在轴上方的个圆弧odb就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点O为圆心，以R为半径的圆弧O1OmO2 。由于要求所有电子均平行于x轴向右飞出磁场，故由几何知识知电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。可证明，磁场下边界为一段圆弧，只需将这些圆心连线（图中虚线O1O2）向上平移一段长度为的距离即图中的弧ocb就是这些圆的最高点的连线，即为磁场区域的下边界。两边界之间图形的阴影区域面积即为所求磁场区域面积：。 还可根据圆的知识求出磁场的下边界。设某电子的速度V0与x轴夹角为，若离开磁场速度变为水平方向时，其射出点也就是轨迹与磁场边界的交点坐标为（x，y），从图10中看出，即（x0，y0），这是个圆方程，圆心在（0，R）处，圆的 圆弧部分即为磁场区域的下边界。三空间轨迹问题【例4】 在三维直角坐标中，沿+z方向有磁感强度为B的匀强磁场，沿z方向有电场强度为E的匀强电场。在原点O有一质量为m 、电量为q的粒子（不计重力）以正x方向、大小为v的初速度发射。试求粒子再过z轴的坐标与时间。YzxBE【答案】z = ，t = 。（其中k = 1，2，3，）【例9】 如图所示，oxyz坐标系的y轴竖直向上，在坐标系所在的空间存在匀强电场和匀强磁场，电场方向与x轴平行从y轴上的M点（0，H，0）无初速释放一个质量为m、电荷量为q的带负电的小球，它落在xz平面上的N（c，0，b）点（c0，b0）若撤去磁场则小球落在xy平面的P（l，0，0）点（l0）已知重力加速度为yxzoM(0,H,0)N(c,0,b)P(l,0,0)（1）已知匀强磁场方向与某个坐标轴平行，试判断其可能的具体方向；（2）求电场强度E的大小；（3）求小球落至N点时的速率v【解析】：磁场方向为x方向或y方向；（2）；（3）abcdSo【例10】 如图，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的半径为r0。在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B。在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为m、带电量为q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的s点出发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两电极之间的电压U应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）。 答案：U=mv2/2q=qB2r20/2m【例11】 如图所示，空间分布着如图所示的匀强电场E（宽度为L）和匀强磁场B（两部分磁场区域的磁感应强度大小相等，方向相反），一带电粒子电量为q，质量为m（不计重力），从A点由静止释放，经电场加速后进入磁场穿过中间磁场进入右边磁场后能按某一路径而返回A点，重复前述过程。求中间磁场的宽度d和粒子的运动周期。答案：答案： 【例12】 如图(甲)所示，x0的区域内有图(乙)所示大小不变、方向随时间周期性变化的磁场，磁场方向垂直纸面向外时为正方向现有一个质量为m、电量为q的带正电粒子，在时刻从坐标原点O以速度v沿着与x轴正方向成750角射入粒子运动一段时间后到达P点，P点的坐标为(a，a)，此时粒子的速度方向与OP延长线的夹角为粒子只受磁场力作用 (1)若为已知量，试求带电粒子在磁场中运动的轨道半径R和周期的表达式， (2)说明粒子在OP间运动的时间跟所加磁场变化周期T之间应有什么样关系才能使粒子完成上述运动；(3)若为未知量，那么所加磁场的变化周 期T，磁感应强度的大小各应满足什么条件，才能使粒子完成上述运动?(写出T、应满足条件的表达式) 答案.（1） （3） 【例13】 如图所示，一个质量为、电量为的正离子，从A点正对着圆心O以速度射入半径为的绝缘圆筒中圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为要使带电粒子与圆筒内壁碰撞两次后仍从A点射出，求正离子在磁场中运动的时间(设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的重力) 若碰n次从A射出又如何？AaaBv0答案：【例14】 如图，正方形匀强磁场区边界长为a,由光滑绝缘壁围成。质量为m、电量为q的带电粒子垂直于磁场方向和边界，从下边界中央的A孔射入磁场中，粒子碰撞时无能量损失，不计重力和碰撞时间，磁感应强度的大小B，粒子在磁场中运动的半径小于a。欲使粒子仍能从A孔中反向射出，粒子的入射速度应为多少？在磁场中运动时间是多少？答案：（1） n0，1，2 n0，1，2（2）R， n0，1，2 n0，1，2【例15】 如图所示，虚线AB右侧是磁感应强度为B的匀强磁场，左侧是磁感应强度为2B的匀强磁场，磁场的方向垂直于图中的纸面并指向纸面内，现有一带正电的粒子自图中O处以初速度V0开始向右运动。从开始时刻到第10次通过AB线向右运动的时间内，该粒子在AB方向的平均速度？ABV00Ov【解析】带电粒子从O点出发，受到洛仑兹力作用，做圆周运动，经过半个周期后，穿过AB边界向左飞出，受到大小为原来二分之一的洛仑兹力作，做半径为原来两倍的圆周运动，同样经过半个周期，穿过AB边界向右飞出，这样周而复始地穿过AB边界，形成了如图所示似“舞龙”的完美对称的运动轨迹。解析粒子在磁场中只受洛仑兹力得，粒子在AB右侧做圆周运动，半径，在AB边左侧做圆周运动，半径。如图所示，当粒子第10次通过x轴的位置和时间分别为【例16】 如图所示，在半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B0三个点P、M、N均匀地分布在圆周上，有三对电压相同、相距为d的平行金属板，它们分别在这三点与圆相切，而且在相切处的极板上分别留有缝隙。一个质量为m，带电量为q的粒子，从点Q由静止开始运动，经过一段时间恰能回到点Q（不计重力）。（1） 在图上标出各板的正负极，并分析平行金属板间的电压U与磁感应强度的大小B应满足什么关系？（2） 粒子从点Q出以发又回到点Q，至少需要多长时间？PNMQPNMQ思路带电粒子在Q点受到电场力作用，做匀加速运动，从N点飞入磁场，受到洛仑兹力作用，做圆周运动，经过1/6周期后，穿过P点，在电场力作用下，做减速运动，到极板时速度恰好为零。然后类似前面运动，从P点飞出后飞入M，双从M点飞出后飞入N点，回到Q点，这样重复运动，形成如图所示似“埃菲尔铁塔”的完美对称的运动轨迹。解析三对金属板的正负极，如图所示设粒子进入磁场时速度大小为v，运动半径为r，根据动能定理，有：。M、N、P三点均匀地分布在圆周上，每一段圆弧对圆心角为120，由几何知识可知：。根据牛顿第二定律，有：由上述三式，可得：（3） 粒子在磁场中作圆周运动的周期，经过三段圆弧所用时间为：。设粒子从Q点出发到达磁场所用时间T。则：得。粒子在三对平行金属板间经历的时间为：所以粒子从Q点出发又回到Q点需要的时间为：【例17】 如图甲所示，两块互相平行，水平放置的金属间存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场。匀强磁场垂直纸面向里，两板间的电压U随时间而变化，变化情况如图乙所示，已知板长L=1.4m两板间距为d=0.3m，当t=o时有一个a粒子以速度从两板中央飞入。问；1a粒子能否穿出金属板？为什么？2若能穿过，需要多长时间？分析：这是一个恒定的磁场和一个断续发生的电场共同作用于运动的带电粒子问题，由于电场断续存在，这样就存在着两个时间段：一是电场与磁场同时存在；二是只有磁场存在。在区分两种情况，确定带电粒子作何运动后，才能判断带电粒子能否穿出，若穿出，需要多少时间。解答：（1）先研究电场与磁场同时存在的情况：在电场与磁场同时存在时，a粒子作匀速直线运动。再研究只存在磁场的情况，由于只受洛仑兹力，a粒子应作匀速圆周运动，半径大小为R，即得圆周运动的直径：因而粒子作匀速圆运动时不会打到极板上，圆周运动的周期： 粒子作匀速圆周运动的周期恰好等于电压变化的半周期。这就是说，在只有磁场存在的那个时间段，粒子作圆周运动，在时间段结束的时刻，粒子回到原处，且速度大小和方向没有变化。根据上述计算和分析可得；粒子的运动轨迹如图所示。（2）综上所述，粒子作匀速圆周运动时并不前进，而匀速直线运动的时间与匀速圆周运动的时间相同，n次后粒子飞出了极板，设粒子作直线运动的时间为。因此，粒子飞出两板间的时刻，正好处在粒子作直线运动的时间段上，因此粒子是匀速直线飞出的。并且粒子在两板间作了3次匀速圆周运动，故作匀速圆周运动的总时间为： 粒子穿过两板间所用的总时间为： 说明：粒子经过3次匀速直线运动，已经前进了1.21m，距离右边界还有0.2m，这个距离仍然比粒子作匀速圆周运动的半径要大许多，所以，不会发生粒子在第3次作匀速圆周运动中穿出两板间右边界。选讲：车轮线问题：【例18】 当平行板电容器的负极板为一定波长的光所照射时，我们发现这个负极板上有电子从各个方向射出来，电子脱离负极板时速率很小，可以忽略不计。设电容器两极板间的距离为 d，两极板间的电势差为U。求：要使这些电子到达不了正极板，应该施加一个多大的与极板平行的磁场？分析：根据题意可画出题目示意图，如图所示。解这个题目，容易犯的错误就是在电子最靠近正极板的p点时，人们会错误认为，在此点电子受到的电场力和磁场力相等，从而列出方程： 其实不然，因为在此点，带电粒子作曲线运动，因此合力不为零。也有人认为，电场力和磁场力的合力提供了电子作曲线运动的向心力，即，此式虽然未错，但曲率半径R未知，亦不可行。下面介绍一种简单的做法。解：设电子到 p点时在方向的速度，根据动量定理可列出 （1）为作用在电子上的沿x方向的力的平均值；为从开始至到达p点所需时间，又因磁场力有做功，根据动能定理可列出在p点，即：（2）又x方向作用于电子的力只有磁场力。（3）联立（1）、（2）、（3）式可求得：为 y方向的平均速度，是到达p点的时间，则所以 【例1