四川省眉山市2015-2016学年高二下期末数学文科试卷含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2015年四川省眉山市高二（下）期末数学试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1复数 z= +i 为虚数单位）的共轭复数为（ ） A 1+2i B i 1 C 1 i D 1 2i 2设函数 f（ x）在定义域内可导， y=f（ x）的图象如图所示，则导函数 y=f（ x）可能为（ ） A B C D 3已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点是圆 y 3） 2=4 的圆心，则抛物线的方程是（ ） A x B y C 2x D 2y 4已知 ， A=30， B=60，求证 a b证明 ： A=30， B=60， A B， a b，画线部分是演绎推理的是（ ） A大前提 B小 前提 C结论 D三段论 5已知两直线 y= 和 y=（ a+2） x+1 互相垂直，则 a 等于（ ） A 2 B 1 C 0 D 1 6函数 y= 单调递减区间为（ ） A（ 1， 1 B（ 0， 1 C 1， +） D（ 0， +） 7若椭圆 和双曲线 有相同的焦点 是两曲线的交点，则 | 值是（ ） A B C b n D a m 8设点 P 是曲线 y= 2 4 ） x 上任意一点， P 点处切线的倾斜角为 ，则 的取值范围是（ ） A ， ） B（ ， C 0， ） ， ） D 0， ） ， ） 9已知 P 是抛物线 x 上的一个动点， Q 是圆（ x 3） 2+（ y 1） 2=1 上的一个动点， N（ 1， 0）是一个定点，则 |最小值为（ ） A 3 B 4 C 5 D +1 第 2 页（共 17 页） 10设 三边长分别为 a、 b、 c， 面积为 S，内切圆半径为 r，则 ，类比这个结论可知：四面体 S 四个面的面积分别为 切球半径为 R，四面体 S 体积为 V，则 R=（ ） A B C D 11定义在 R 上的函数 f（ x）满足： f（ x） +f（ x） 2 0， f（ 0） =3， f（ x）是 f（ x）的导函数，则不等式 x） 2（其中 e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A（ ， 0） （ 3， +） B（ 0， +） C（ ， 0） （ 1， +） D（ 3，+） 12如图，已知椭圆 + =1（ a b 0），点 P 是椭圆上位于第一象限的点，点 F 为椭圆的右焦点，且 |设 且 ， ，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A 1， B 2 ， C 1， D 2 ， 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13设函数 f（ x） = f（ x）的最小值为 14过 P（ 8， 3）作双曲线 91644 的弦 P 为弦 点，那么直线 方程为 15如果 抛物线 C： x 上的点，它们的横坐标依次为 F 是抛物线 C 的焦点，若 x1+x2+0，则 | 16对于三次函数 f（ x） =cx+d（ a 0），定义 f（ x）是函数 y=f（ x）的导函数 y=f（ x）的导数，若方程 f（ x） =0 有实数解 称点（ f（ 为函数 y=f（ x）的图象的 “拐点 ”，可以证明，任何三次函数的图象都有 “拐点 ”，任何三 次函数的图象都有对称中心，且 “拐点 ”就是对称中心请你根据这一结论判断下列命题： 任意三次函数都关于点（ ， f（ ）对称； 存在三次函数 y=f（ x）， f（ x） =0 有实数解 称点（ f（ 为函数 y=f（ x）的图象的对称中心； 存在三次函数的图象不止一个对称中心； 若函数 g（ x） = ，则 g（ ） +g（ ） +g（ ） +g（ ）= 1008 第 3 页（共 17 页） 其中正确命题的序号为 （写出所有正确命题的序号） 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17已知椭圆 C 的两个焦点分别为 ， 0）， ， 0），短轴的两个端点分别为 1）若 等边三角形，求椭圆 C 的方程； （ 2）在（ 1）的条件下，过点 直线 l 与椭圆 C 相交于 P， Q 两点，且 l 的斜率为 1，求|长 18设函数 f（ x） = x+a （ 1）当 a= 时，求函数 y=f（ x）图象上在点（ 3， f（ 3）处的切线方程； （ 2）若方程 f（ x） =0 有三个不等实根，求实数 a 的取值范围 19已知圆 C：（ x 1） 2+（ y 2） 2=25，直线 l：（ 2m+1） x+（ m+1） y=7m+4（ m R） （ 1）求证：直线 l 过定点 A（ 3， 1），且直线 l 与圆 C 相交； （ 2）求直线 l 被圆 C 截得的弦长最短时的方程 20某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y（单位：千克）与销售价格 x（单位：元 /千克）满足关系式： y= +10（ x 6） 2，其中 3 x 6， a 为常数，已知销售的价格为 5 元 /千克时，每日可以售出该商品 11 千克 （ 1）求 a 的值； （ 2）若该商品的成本为 3 元 /千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值 21已知椭圆 C 经过点（ 1， ）和（ 2， ），求 （ 1）椭圆 C 的标准方程； （ 2）过椭圆 C 的上顶点 B 作两条互相垂直的直线分别与椭圆 C 相交于点 P、 Q，试问直线否经过定点，若经过定点请求出定点并说明理由 22已知函数 f（ x） =x+1， x （ 0， +）， g（ x） =3 a 0） （ 1）求 f（ x）的最大值； （ 2）若对 （ 0， +），总存在 1， 2使得 f（ g（ 立，求 a 的取值范围 第 4 页（共 17 页） 2015年四川省眉山市高二（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1复数 z= +i 为虚数单位）的共轭复数为（ ） A 1+2i B i 1 C 1 i D 1 2i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 【解答】 解： z= + i=（ i 1） i=1 2i， 其共轭复数为 1+2i， 故选： A 2设函数 f（ x）在定义域内可导， y=f（ x）的图象如图所示，则导函数 y=f（ x）可能为（ ） A B C D 【考点】 函数的图象；导数的运算 【分析】 先从 f（ x）的图象判断出 f（ x）的单调性，根据函数的单调性与导函数的符号的关系判断出导函数的符号，判断出导函数的图象 【解答】 解：由 f（ x）的图象判断出 f（ x）在区间（ ， 0）上递 增；在（ 0， +）上先增再减再增 在区间（ ， 0）上 f（ x） 0，在（ 0， +）上先有 f（ x） 0 再有 f（ x） 0 再有 f（ x） 0 故选 D 3已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点是圆 y 3） 2=4 的圆心，则抛物线的方程是（ ） A x B y C 2x D 2y 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 结合题目所给条件，得出抛物线的焦准距，即可得出答案 【解答】 解： 抛物线的焦点是圆 y 3） 2=4 的圆心， 抛物线的焦点为（ 0， 3）， 第 5 页（共 17 页） 又抛物线 的顶点为坐标原点， =3， p=6， 抛物线的方程为 2y 故选： D 4已知 ， A=30， B=60，求证 a b证明 ： A=30， B=60， A B， a b，画线部分是演绎推理的是（ ） A大前提 B小前提 C结论 D三段论 【考点】 演绎推理的意义 【分析】 首先把求证： a b 写成三段论形式，即可看出证明画线部分是演绎推理的小前提 【解答】 解： “求证： a b”写成三段论是： 大前提：因为在三 角形中，大角对大边， 小前提：而 A=30， B=60，则 A B 结论：所以 a b 故证明画线部分是演绎推理的小前提 故选： B 5已知两直线 y= 和 y=（ a+2） x+1 互相垂直，则 a 等于（ ） A 2 B 1 C 0 D 1 【考点】 直线的一般式方程与直线的垂直关系 【分析】 先求出求出两直线的斜率，利用两直线垂直，斜率之积等于 1 求得 a 值 【解答】 解：直线 y= 的斜率等于 a， y=（ a+2） x+1 的斜率为 （ a+2）， 两条直线 y= 和 y=（ a+2） x+1 互 相垂直， a（ a+2） = 1，解得 a= 1， 故选： D 6函数 y= 单调递减区间为（ ） A（ 1， 1 B（ 0， 1 C 1， +） D（ 0， +） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 由 y= y= ，由 y 0 即可求得函数 y= 单调递减区间 【解答】 解： y= 定义域为（ 0， +）， y= ， 由 y 0 得： 0 x 1， 函数 y= 单调递减区间为（ 0， 1 故选： B 第 6 页（共 17 页） 7若椭圆 和双曲线 有相同的焦点 是两曲线的交点，则 |值是（ ） A B C b n D a m 【考点】 双曲线的简单性质；椭圆的简单性质 【分析】 利用椭圆、双曲线的定义，结合| ，即可得到结论 【解答】 解： 椭圆 和双曲线 有相同的焦点P 是两曲线的交点， |2 ， | |=2 ， | =a m 故选 D 8设点 P 是曲线 y= 2 4 ） x 上任意一点， P 点处 切线的倾斜角为 ，则 的取值范围是（ ） A ， ） B（ ， C 0， ） ， ） D 0， ） ， ） 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求得函数的导数，设出切点 P（ m， n），可得切线的斜率，配方可得斜率的最小值，由正切函数的图象，即可得到所求范围 【解答】 解： y= 2 4 ） x 的导数为 y=4x+4 =（ x 2） 2 ， 设 P（ m， n）， 可得切线 的斜率为 k= m 2） 2 ， 即有 ， 可得 0， ） ， ） 故选： D 9已知 P 是抛物线 x 上的一个动点， Q 是圆（ x 3） 2+（ y 1） 2=1 上的一个动点， N（ 1， 0）是一个定点，则 |最小值为（ ） A 3 B 4 C 5 D +1 【考点】 圆与圆锥曲线的综合 第 7 页（共 17 页） 【分析】 由题意画出图形，根据 N 为抛物线的焦点，可过圆（ x 3） 2+（ y 1） 2=1 的圆心M 作抛物线的准线的垂线 圆于 Q 交抛物线于 P，则 |最小值等于 | 1 【解答】 解：如图， 由抛物线方程 x，可得抛物线的焦点 F（ 1， 0）， 又 N（ 1， 0）， N 与 F 重合 过圆（ x 3） 2+（ y 1） 2=1 的圆心 M 作抛物线的准线的垂线 圆于 Q 交抛物线于 P， 则 |最小值等于 | 1=3 故选： A 10设 三边长分别为 a、 b、 c， 面积为 S，内切圆半径为 r，则 ，类比这个结论可知：四面体 S 四个面的面积分别为 切球半径为 R，四面体 S 体积为 V，则 R=（ ） A B C D 【考点】 类比推理 【分析】 根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可 【解答】 解：设四面体的内切球的球心为 O， 则球心 O 到四个面的距离都是 R， 所以四面体的体积等于以 O 为顶点， 分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和 则四面体的体积为 R= 故选 C 第 8 页（共 17 页） 11定义在 R 上的函数 f（ x）满足： f（ x） +f（ x） 2 0， f（ 0） =3， f（ x）是 f（ x）的导函数，则不等式 x） 2（其中 e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A（ ， 0） （ 3， +） B（ 0， +） C（ ， 0） （ 1， +） D（ 3，+） 【考点】 导数的运算；利用导数研究函数的单调性 【分析】 令 F（ x） =x） 21，从而求导 F（ x） =f（ x） +f（ x） 2） 0，从而由导数求解不等式 【解答】 解：解：令 F（ x） =x） 21 则 F（ x） =exf（ x） +f（ x） 2 0， 故 F（ x）是 R 上的单调增函数， 而 F（ 0） =0） 21=0， 故不等式 x） 2（其中 e 为自然对数的底数）的解集为（ 0， +） 故选： B 12如图，已知椭圆 + =1（ a b 0），点 P 是椭圆上位于第一象限的点，点 F 为椭圆的右焦点，且 |设 且 ， ，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A 1， B 2 ， C 1， D 2 ， 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 通过设椭圆的左焦点为 F，作点 P 关于原点对称的点 B，连接 造矩形 用 的三角函数值表示 | |进而利用离心率公式计算即得结论 【解答】 解：设椭圆的左焦点为 F，作点 P 关于原点对称的点 B， 连接接 则四边形 矩形 因此 |=2c， |2a， |2|2 2a， 第 9 页（共 17 页） e= = ， 又 ， ， + ， ， + ） ， ， = + ） ， ， e 1， ， 故选： C 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13设函数 f（ x） = f（ x）的最小值为 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可 【解答】 解： f（ x） = 令 f（ x） 0，解得： x 2， 令 f（ x） 0，解得： x 2， f（ x）在（ ， 2）递减，在（ 2， +）递增， f（ x） f（ 2） = 故答案为： 14过 P（ 8， 3）作双曲线 91644 的弦 P 为弦 点，那么直线 方程为 3x 2y 18=0 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设出 A， B 的坐标，代入双曲线方程，两式相减，根据中点的坐标可知 x1+ y1+而求得直线 斜率，根据点斜式求得直线的方程 【解答】 解：设 A（ B（ 由 P 为弦 点， 可得 x1+6， y1+， 又 91644， 91644， 相减可得， 9（ x1+ 16（ y1+ =0， 第 10 页（共 17 页） 即为 9（ 6（ =0， 可得 = ， 则直线的方程为 y 3= （ x 8），即 3x 2y 18=0 故答案为： 3x 2y 18=0 15如果 抛物线 C： x 上的点，它们的横坐标依次为 F 是抛物线 C 的焦点，若 x1+x2+0，则 | 16 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 由抛物线性质得 |=，由此能求出结果 【解答】 解： 抛物线 C： x 上的点，它们的横坐标依次为 是抛物线 C 的焦点， x1+x2+0， |=（ ） +（ ） +（ ） =x1+x2+ =16 故答案为： 16 16对于三次函数 f（ x） =cx+d（ a 0），定义 f（ x）是函数 y=f（ x）的导函数 y=f（ x）的导数，若方程 f（ x） =0 有实数解 称点（ f（ 为函数 y=f（ x）的图象的 “拐点 ”，可以证明，任何三次函数的图象都有 “拐点 ”，任何三次函数的图象都有对称中心，且 “拐点 ”就是对称中心请你根据这一结论判断下列命题： 任意三次函数都关于点（ ， f（ ）对称； 存在三次函数 y=f（ x）， f（ x） =0 有实数解 称点（ f（ 为函数 y=f（ x）的图象的对称中心； 存在三次函数的图象不止一个 对称中心； 若函数 g（ x） = ，则 g（ ） +g（ ） +g（ ） +g（ ）= 1008 其中正确命题的序号为 （写出所有正确命题的序号） 【考点】 导数的运算；函数的值 【分析】 根据函数 f（ x）的解析式求出 f（ x）和 f（ x），令 f（ x） =0，求得 x 的值，由此求得三次函数 f（ x） =cx+d（ a 0）的对称中心； 利用三次函数对称中心的定义和性质进行判断； 由函数 g（ x）的对称中心是（ ， ），得 g（ x） +（ g（ 1 x） = 1，由此能求出答案 【解答】 解： f（ x） =cx+d（ a 0）， f（ x） =3bx+c， f（ x） =6b， 第 11 页（共 17 页） f（ x） =6a （ ） +2b=0， 任意三次函数都关于点（ ， f（ ）对称，即 正确； 任何三次函数都有对称中心，且 “拐点 ”就是对称中心， 存在三次函数 f（ x） =0 有实数解 （ f（ 为 y=f（ x）的对称中心，即 正确 ； 任何三次函数都有且只有一个对称中心，故 不正确； g（ x） =x， g（ x） =2x 1， 令 g（ x） =0，可得 x= ， g（ ） = ， g（ x） = 对称中 心为（ ， ）， g（ x） +g（ 1 x） = 1， g（ ） +g（ ） +g（ ） +g（ ） = = 1 1008= 1008，故 正确 故答案为： 三、解答题（共 6 小题 ，满分 70 分） 17已知椭圆 C 的两个焦点分别为 ， 0）， ， 0），短轴的两个端点分别为 1）若 等边三角形，求椭圆 C 的方程； （ 2）在（ 1）的条件下，过点 直线 l 与椭圆 C 相交于 P， Q 两点，且 l 的斜率为 1，求|长 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）利用椭圆的几何性质得出 a， b， c 之间的关系解出 a， b， c 即可； （ 2）联立直线方程与椭圆方程得出 P， Q 坐标的关系，代入弦长公式计算 【解答】 解：（ 1）设椭圆方程为 ，（ a b 0） 椭圆焦点坐标为 ， 0）， ， 0）， c= ， 由椭圆的定义得 a， b， 等边三角形， ，解得 a=2， b=1 椭圆的方程为 （ 2）直线 l 的方程为 y=x 联立方程组 ，得 58 x+8=0 第 12 页（共 17 页） 设 P（ Q（ 则 x1+， | = = 18设函数 f（ x） = x+a （ 1）当 a= 时，求函数 y=f（ x）图象上在点（ 3， f（ 3）处的切线方程； （ 2）若方程 f（ x） =0 有三个不等实根，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）求得 f（ x）的导数，运用导数的几何意义，可得切线的斜率，求得切点坐标，运用点斜式方程可得切线的方程； （ 2）求得 f（ x）的导数，可得单调区间和极值，由题意可得 f（ x）的极大值大于 0，极小值小于 0，解不等式即可得到所求 a 的范围 【解答】 解：（ 1）当 a= 时， f（ x） = x ， 导数 f（ x） =3x+2， 可得在点（ 3， f（ 3）处的切线斜率为 k=9 9+2=2， 切点为（ 3， 0）， 可得函数 y=f（ x）图象上在点（ 3， f（ 3）处的切线方程为 y=2（ x 3）， 即为 2x y 6=0； （ 2）函数 f（ x） = x+a 的导数为 f（ x） =3x+2， 当 1 x 2 时， f（ x） 0， f（ x）递减； 当 x 2 或 x 1 时， f（ x） 0， f（ x）递增 可得 f（ x）在 x=1 处取得极大值，且为 +a； f（ x）在 x=2 处取得极小值，且为 +a 由方程 f（ x） =0 有三个不等实根， 可得 +a 0，且 +a 0， 解得 a 则 a 的取值范围是（ ， ） 19已知圆 C：（ x 1） 2+（ y 2） 2=25，直线 l：（ 2m+1） x+（ m+1） y=7m+4（ m R） （ 1）求证：直线 l 过定点 A（ 3， 1），且 直线 l 与圆 C 相交； （ 2）求直线 l 被圆 C 截得的弦长最短时的方程 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 （ 1）将点 A 的坐标代入直线 l 的方程，得出方程成立即可证明 l 过定点 A；再由 | r，证明直线 l 与圆 C 相交； 第 13 页（共 17 页） （ 2）由平面几何的知识得 l 被圆 C 截得最短的弦是与直径 直的弦，由此求出直线 【解答】 解：（ 1）证明：将点 A（ 3， 1）代入直线 l 的方程， 得左边 =3（ 2m+1） +（ m+1） =7m+4=右边， 所以直线 l 过定点 A； 又 | = 5， 所以点 A 在圆 C 内， 所以对任意的实数 m，直线 l 与圆 C 恒相交； （ 2）由平面几何的知识可得， l 被圆 C 截得最短的弦是与直径 直的弦， 因为 = ， 所以直线 l 的斜率为 ， 所以直线 l 的方程为 y 1=2（ x 3）， 即 2x y 5=0 为直线 l 被圆 C 截得的弦长最短时的方程 20某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日 的销售量 y（单位：千克）与销售价格 x（单位：元 /千克）满足关系式： y= +10（ x 6） 2，其中 3 x 6， a 为常数，已知销售的价格为 5 元 /千克时，每日可以售出该商品 11 千克 （ 1）求 a 的值； （ 2）若该商品的成本为 3 元 /千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用 【分析】 （ 1）由 x=5 时， y=11，代入函数的解析式，解关于 a 的方程，可得 a 值； （ 2）商场每日销售该商品所 获得的利润 =每日的销售量 销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于 x 的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的 x 值 【解答】 解：（ 1）因为 x=5 时， y=11， y= +10（ x 6） 2，其中 3 x 6， a 为常数 所以 +10=11，故 a=2； （ 2）由（ 1）可知，该商品每日的销售量 y= +10（ x 6） 2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f（ x） =（ x 3） +10（ x 6） 2 =2+10（ x 3）（ x 6） 2， 3 x 6 从而， f（ x） =10（ x 6） 2+2（ x 3）（ x 6） =30（ x 6）（ x 4）， 于是，当 x 变化时， f（ x）、 f（ x）的变化情况如下表： x （ 3， 4） 4 （ 4， 6） f（ x） + 0 f（ x） 单调递增 极大值 42 单调递减 第 14 页（共 17 页） 由上表可得， x=4 是函数 f（ x）在区间（ 3， 6）内的极大值点，也是最大值点 所以，当 x=4 时，函数 f（ x）取得最大值，且最大值等于 42 答：当销售价格为 4 元 /千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大 21已知椭圆 C 经过点（ 1， ）和（ 2， ），求 （ 1）椭圆 C 的标准方程； （ 2）过椭圆 C 的上顶点 B 作两条互相垂直的直线分别与椭圆 C 相交于点 P、 Q，试问直线否经过定点，若经过定点请求出定点并说明理由 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）将两点坐标代入椭圆的标准方程解方程组得出 a， b； （ 2）设两条直线方程分别为 y=， y= x+1，分别与椭圆方程联立解出 P， Q 坐标得出直线 方程