北京市东城区2015-2016年高二下期末数学试卷(文)含答案解析

第 1 页（共 14 页） 2015年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1设全集 U=R， A=x|x（ x 2） 0， B=x|x 1 0，则 AB=（ ） A（ 2， 1） B 1， 2） C（ 2， 1 D（ 1， 2） 2已知数列 ，则 2 是这个数列的（ ） A第 6 项 B第 7 项 C第 11 项 D第 19 项 3下列四个命题中的真命题为（ ） A Z， 1 43 B Z， 5=0 C x R， 1=0 D x R， x2+x+2 0 4函数 y= 在 x=1 处的导数等于（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 5 “a= 2”是 “复数 z=（ 4） +（ a+1） i（ a， b R）为纯虚数 ”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 6已知 a=b=c= a， b， c 的大小关系为（ ） A c a b B c b a C b a c D b c a 7设函数 f（ x）（ x R）为奇函数， f（ 1） = ， f（ x+2） =f（ x） +f（ 2），则 f（ 5） =（ ） A 0 B 1 C D 5 8高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表： 班组与成绩统计表 优秀 不优秀 总计 甲班 11 34 45 乙班 8 37 45 总计 19 71 90 则随机变量 观测值约为（ ） A 已知函数 f（ x） =x|x| 2x，则下列结论正确的是（ ） A f（ x）是偶函数，递增区间是（ 0， +） B f（ x）是偶函数，递减区间是（ ， 1） C f（ x）是奇函数，递减区间是（ 1， 1） D f（ x）是奇函数，递增区间是（ ， 0） 10为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信 息设定原信息为 0， 1（ i=0， 1， 2），传输信息为 中 h0=h1= 运算规则为： 0 0=0， 0 1=1， 1 0=1， 1 1=0，例如原信息为 111，则传输信息为 01111传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ） A 11010 B 01100 C 10111 D 00011 第 2 页（共 14 页） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11设复数 z 满足（ 1 i） z=2i，则 z=_ 12函数 y= 的值域为 _ 13若 P= 1， Q= ，则 P 与 Q 的大小关系是 _ 14已知变量 x， y 具有线性相关关系，测得（ x， y）的一组数据如下：（ 0， 1），（ 1， 2），（ 2， 4），（ 3， 5），其回归方程为 =a，则 a 的值等于 _ 15已知函数 则 的值为 _ 16按程序框图运算：若 x=5，则运算进行 _次才停止；若运算进行 3 次才停止，则x 的取值范围是 _ 三、解答题（本大题共 5 小题，共 52 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17已知函数 f（ x） =x+1） 1 x）， a 0 且 a 1 （ 1）求 f（ x）的定义域； （ 2）判断 f（ x）的奇偶性并予以证明 18命题 p 方程： x2+=0 有两个不等的实根，命题 q：方程 4（ m+2） x+1=0 无实根若“p 或 q”为真命题， “p 且 q”为假命题，求 m 的取值范围 19在边长为 60正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？ 20已知函数 f（ x） =ax+a R） （ ）若 a=2，求曲线 y=f（ x）在 x=1 处的切线方程； 第 3 页（共 14 页） （ ）求 f（ x）的单调区间； （ ）设 g（ x） =2x+2，若对任意 （ 0， +），均存在 0， 1，使得 f（ g（ 求 a 的取值范围 21在无穷数列 ， ，对于任意 n N*，都有 N*，且 设集合 n|m， m N*，将集合 的元素的最大值记为 数列 满足不等式 anm 的所有项的项数的最大值，我们称数列 数列 伴 随数列 例如：数列 1， 3， 4， ，它的伴随数列 1， 1， 2， 3， （ I）设数列 1， 4， 5， ，请写出 伴随数列 前 5 项； （ n 1（ n N*），求数列 伴随数列 前 20 项和 第 4 页（共 14 页） 2015年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1设全集 U=R， A=x|x（ x 2） 0， B=x|x 1 0，则 AB=（ ） A（ 2， 1） B 1， 2） C（ 2， 1 D（ 1， 2） 【考点】 交集及其运算 【分析】 先求出不等式 x（ x 2） 0 的解集，即求出 A，再由交集的运算求出 AB 【解答】 解：由 x（ x 2） 0 得， 0 x 2，则 A=x|0 x 2， B=x|x 1 0=x|x 1， AB x|1 x 2=（ 1， 2）， 故选 D 2已知数列 ，则 2 是这个数列的（ ） A第 6 项 B第 7 项 C第 11 项 D第 19 项 【考点】 数列的概念及简单表示法 【分析】 本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为 3，即 2=3 从而利用等差数列通项公式 +（ n 1） 3=3n 1=20，得解， n=7 【解答】 解：数列 ， 各项的平方为： 2， 5， 8， 11， 则 12=3， 又 ， +（ n 1） 3=3n 1， 令 3n 1=20，则 n=7 故选 B 3下列四个命题中的真命题为（ ） A Z， 1 43 B Z， 5=0 C x R， 1=0 D x R， x2+x+2 0 【考点】 四种命题的真假关系 【分析】 注意判断区分 和 【解答】 解： A 错误，因为 ，不存在 B 错误，因为 C 错误， x=3 时不满足； D 中， 0，正确，故选 D 答案： D 第 5 页（共 14 页） 4函数 y= 在 x=1 处的导数等于（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 导数的运算 【分析】 先求原函数的导函数，再把 x=1 的值代入即可 【解答】 解： y= ， y|x=1= =1 故选： A 5 “a= 2”是 “复数 z=（ 4） +（ a+1） i（ a， b R）为纯虚数 ”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分 又非必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念 【分析】 把 a= 2 代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a= 2 这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件 【解答】 解： a= 2 时， Z=（ 22 4） +（ 2+1） i= i 是纯虚数； Z 为纯虚数时 4=0，且 a+1 0 a= 2 “a=2”可以推出 “Z 为纯虚数 ”，反之不成立， 故选 A 6已知 a=b=c= a， b， c 的大小关系为（ ） A c a b B c b a C b a c D b c a 【考点】 对数值大小的比较 【分析】 a=1，利用换底公式可得： b=， c=，由于 1 可得出大小关系 【解答】 解： a=1， b=， c= ， 1 1 b c， 则 a b c， 故选： B 7设函数 f（ x）（ x R）为奇函数， f（ 1） = ， f（ x+2） =f（ x） +f（ 2），则 f（ 5） =（ ） A 0 B 1 C D 5 【考点】 函数奇偶性的性质；函数的值 第 6 页（共 14 页） 【分析】 利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键利用函 数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法 【解答】 解：由 f（ 1） = ， 对 f（ x+2） =f（ x） +f（ 2）， 令 x= 1， 得 f（ 1） =f（ 1） +f（ 2） 又 f（ x）为奇函数， f（ 1） = f（ 1） 于是 f（ 2） =2f（ 1） =1； 令 x=1，得 f（ 3） =f（ 1） +f（ 2） = ， 于是 f（ 5） =f（ 3） +f（ 2） = 故选： C 8高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表： 班组与成绩统计表 优秀 不优秀 总计 甲班 11 34 45 乙班 8 37 45 总计 19 71 90 则随机变量 观测值约为（ ） A 考点】 独立性检验的应用 【分析】 本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得： a=11， b=34， c=8， d=37，代入 计算公式： 即可得到结果 【解答】 解：由列联表我们易得： a=11， b=34， c=8， d=37 则 = =选 A 9已知函数 f（ x） =x|x| 2x，则下列结论正确的是（ ） A f（ x）是偶函数，递增区间是（ 0， +） 第 7 页（共 14 页） B f（ x）是偶函数，递减区间是（ ， 1） C f（ x）是奇函数，递减区间是（ 1， 1） D f（ x）是奇函数，递增区 间是（ ， 0） 【考点】 函数奇偶性的判断 【分析】 根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间 【解答】 解：由函数 f（ x） =x|x| 2x 可得，函数的定义域为 R，且 f（ x） = x| x|2（ x ） = x|x|+2x= f（ x）， 故函数为奇函数 函数 f（ x） =x|x| 2x= ，如图所示：故函数的递减区间为（ 1， 1）， 故选 C 10为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息设定原信息为 0， 1（ i=0， 1， 2），传输信息为 中 h0=h1= 运算规则为： 0 0=0， 0 1=1， 1 0=1， 1 1=0，例如原信息为 111，则传输信息为 01111传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ） A 11010 B 01100 C 10111 D 00011 【考点】 抽象函数及其应用 【分 析】 首先理解 的运算规则，然后各选项依次分析即可 【解答】 解： A 选项原信息为 101，则 h0= 0=1， h1= 1=0，所以传输信息为 11010， A 选项正确； B 选项原信息为 110，则 h0= 1=0， h1= 0=0，所以传输信息为 01100， C 选项原信息为 011，则 h0= 1=1， h1= 1=0，所以传输信息为 10110， D 选项原信息为 001，则 h0= 0=0， h1= 1=1，所以传输信息为 00011， 故选 C 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 第 8 页（共 14 页） 11设复数 z 满足（ 1 i） z=2i，则 z= 1+i 【考点】 复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算 【分析】 由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果 【解答】 解： 复数 z 满足（ 1 i） z=2i，则 z= = = = 1+i， 故答案为： 1+i 12函数 y= 的值域为 y|y 2 【考点】 函数的值域 【分析】 函数 y= = =2+ ，利用反比例函数的单调性即可得出 【解答】 解：函数 y= = =2+ ， 当 x 1 时， 0， y 2 当 x 1 时， 0， y 2 综上可得：函数 y= 的值域为 y|y 2 故答案为： y|y 2 13若 P= 1， Q= ，则 P 与 Q 的大小关系是 P Q 【考点】 不等式比较大小 【分析】 利用作差法，和平方法即可比较大小 【解答】 解： P= 1， Q= ， P Q= 1 + =（ + ）（ +1） （ + ） 2=12+2 ，（ +1） 2=12+2 + +1， P Q 0， 故答案为： P Q 14已知变量 x， y 具有线性相关关系，测得（ x， y）的一组数据如下：（ 0， 1），（ 1， 2），（ 2， 4），（ 3， 5），其回归方程为 =a，则 a 的值等于 【考点】 线性回归方程 【分析】 求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于 a 的方程，解方程即可 【解答】 解： = = = =3， 这组数据的样本中心点是（ 3） 把样本中心点代入回归直线方程 ， 3=1.5+a， 第 9 页（共 14 页） a= 故答案为： 15已知函数 则 的值为 【考点】 函数的值；函数迭代 【分析】 由题意可得 =f（ ） =3 （ ），运算求得结果 【解答】 解： 函数 ， 则 =f（ ） =3 （ ） = ， 故答案为 16按程序框图运算：若 x=5，则运算进行 4 次才停止；若运算进行 3 次才停止， 则 （ 10， 28 【考点】 循环结构 【分析】 本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案 【解答】 解：（ 1）程序在运行过程中各变量的值如下表示： x x 是否继续循环 循环前 5 第一圈 15 13 是 第二圈 39 37 是 第 三圈 111 109 是 第四圈 327 325 否 故循环共进行了 4 次； （ 2）由（ 1）中数据不难发现第 n 圈循环结束时，经 x=（ 1） 3n+1： x 是否继续循环 第 10 页（共 14 页） 循环前 第一圈 （ 1） 3+1 是 第二圈 （ 1） 32+1 是 第三圈 （ 1） 33+1 否 则可得（ 1） 32+1 244 且（ 1） 33+1 244 解得： 10 28 故答案为： 4，（ 10， 28 三、解答题（本大题共 5 小题，共 52 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17已知函数 f（ x） =x+1） 1 x）， a 0 且 a 1 （ 1）求 f（ x）的定义域； （ 2）判断 f（ x）的奇偶性并予以证明 【考点】 函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法 【分析】 （ 1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组 ，解此不等式组求出 x 范围就是函数的定义域； （ 2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可 【解答】 解：（ 1）由题得，使解析式有意义的 x 范围 是使不等式组 成立的 x 范围，解得 1 x 1， 所以函数 f（ x）的定义域为 x| 1 x 1 （ 2）函数 f（ x）为奇函数， 证明：由（ 1）知函数 f（ x）的定义域关于原点对称， 且 f（ x） = x+1） 1+x） = 1+x） +1 x） = 1+x） 1 x） = f（ x） 所以函数 f（ x）为奇函数 18命题 p 方程： x2+=0 有两个不等的实根，命题 q：方程 4（ m+2） x+1=0 无实根若“p 或 q”为真命题， “p 且 q”为假命题，求 m 的取值范围 【考点】 复合命题的真假 【分析】 先将命题 p， q 分别化简，然后根据若 “p 或 q”为真命题， “p 且 q”为假命题，判断出 p， q 一真一假，分类讨论即可 【解答】 解：由题意命题 P： x2+=0 有两个不等的实根，则 =4 0，解得 m 2或 m 2， 命题 Q：方程 4（ m+2） x+1=0 无实根，则 0，解得 3 m 1， 若 “p 或 q”为真命题， “p 且 q”为假命题，则 p， q 一真一假， （ 1）当 P 真 q 假时： ， 解得 m 3，或 m 2， （ 2）当 P 假 q 真时： ， 第 11 页（共 14 页） 解得 2 m 1， 综上所述： m 的取值范围为 m 3，或 m 2，或 2 m 1 19在边长为 60正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？ 【考点】 函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的 应用 【分析】 先设箱底边长为 箱高 箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域 【解答】 解：设箱底边长为 箱高 箱子容积（ 0 x 60） （ 0 x 60） 令 =0， 解得 x=0（舍去）， x=40， 并求得 V（ 40） =16 000 由题意可知，当 x 过小（接近 0）或过大（接近 60）时，箱子容积很小，因此， 16 000 是最大值 答：当 x=40，箱子容积最大，最大容积是 16 0000已知函数 f（ x） =ax+a R） （ ）若 a=2，求曲线 y=f（ x）在 x=1 处的切线方程； （ ）求 f（ x）的单调区间； （ ）设 g（ x） =2x+2，若对任意 （ 0， +），均存在 0， 1，使得 f（ g（ 求 a 的取值范围 第 12 页（共 14 页） 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （ ）把 a 的值代入 f（ x）中，求出 f（ x）的导函数，把 x=1 代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线 y=f（ x）在 x=1 处的切线方程； （ ）求出 f（ x）的导函数，分 a 大于等于 0 和 a 小于 0 两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间； （ ）对任意 （ 0， +），均存在 0， 1，使得 f（ g（ 等价于 f（ x）g（ x） 别求出相 应的最大值，即可求得实数 a 的取值范围 【解答】 解：（ ）由已知 ， f（ 1） =2+1=3，所以斜率 k=3， 又切点（ 1， 2），所以切线方程为 y 2=3（ x 1），即 3x y 1=0 故曲线 y=f（ x）在 x=1 处切线的切线方程为 3x y 1=0 （ ） 当 a 0 时，由于 x 0，故 0， f（ x） 0，所以