2016年安徽省池州市高考数学二模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 23 页） 2016 年安徽省池州市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1复数 z（ 1+i） =2i，则 z 的共轭复数为（ ） A 1 i B 1+i C 1+i D 1 i 2集合 A=x|x| 2， B=x|2x 3 0，则（ B=（ ） A（ 2， 1） B 2， 3） C（ 3， +） D（ ， 2 （ 3， +） 3命题 p： R，函数 f（ x） =2x+）不是偶函数， 则 p 为（ ） A R，函数 f（ x） =2x+）是奇函数 B R，函数 f（ x） =2x+）不是偶函数 C R，函数 f（ x） =2x+）是偶函数 D R，函数 f（ x） =2x+）是偶函数 4已知 +） = ，则 +2） =（ ） A B C D 5 ） A 2 2数列 ， ， =3，则数列 前 n 项和等于（ ） A B C D 3n+1 2n 1 7如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A 20+2 B 20+2 C 18+2 D 18+2 8执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 4 时，则输入的 值为（ ） 第 2 页（共 23 页） A 7 B 8 C 9 D 10 9下列函数： （ 1） y= （ 2） y= ； （ 3） y= （ 4） y= ； 其中是奇函数且在（ 0， 1）上是减函数的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10梯形 ， O 点，过 O 点的直线交 、 F 点， =m ， =n ，则 + =（ ） A 2 B C 1 D 11椭圆 C： +， A（ ， ）， B（ ， ），点 P 是椭圆 C 上的动点，直线斜率为 ） A 4 B C 4 D 12函数 f（ x）的导函数 f（ x）满足 x） +2f（ x） 0，则（ ） A 4f（ 2） f（ 1） B 4f（ 4） f（ 2） C 4f（ 2） f（ 1） D 3f（ ） 4f（ 2） 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13二项式（ x+2 ） 5=+则 a1+a3+ 第 3 页（共 23 页） 14若变量 x， y 满足 z= + （ a b 0）的最大值 2，则 a+3b 的最小值为 15已知正 边长为 4，若在 任取一点，则该点到三角形顶点 A、 B、 C 距离都不小于 2 的概率为 16已知 三个内角 A、 B、 C 所对的边长分别为 a、 b、 c，若 a b c=0，a+ b c+2=0，则 最大角的余弦值为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 17已知数列 前 n 项和为 Sn+ （ ）求 （ ）求数列 通项 18近年来空气污染是生活中一个重要的话题， 是空气质量的其中一个重要指标，各省、市、县均要进行实时监测空气质量指数要求 4 小时浓 度均值分：优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染六级如图是某市 2015 年某月 30 天的 4小时浓度均值数据 （ ）根据数据绘制频率分布表，并求 4 小时浓度均值的中位数； 空气质量 指数类别 优 0， 35 良 （ 35， 75 轻度污染 （ 75，115 中度污染 （ 115，150 重度污染 （ 150，250 严重污染 （ 250，500 合计 频数 30 频率 1 （ ）专家建议， 空气质量为优、良时可以正常进行某项户外体育活动，轻度污染及以上时，不宜进行该项户外体育活动若以频率作为概率，用统计的结果分析，在 2015 年随机抽取6 天，正常进行该项户外体育活动的天数与不宜进行该项户外体育活动的天数的差的绝对值为随机变量 X，求 X 的分布列和数学期望 19如图，在四棱锥 A ，侧面 正三角形， C=2侧面 底面 P 为 中点 （ ）证明： 平面 （ ）证明：平面 平面 （ ）求二面角 P B 的正弦值 第 4 页（共 23 页） 20已知椭圆 C 的中心在原点，一个焦点为 F（ 0， ），且椭圆 C 经过点 P（ ， ） （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）过点 M（ 0， 1）的斜率不为 0 的直线与椭圆交于 A、 B 两点， A 关于 y 轴的对称点为A，求证： AB 恒过 y 轴上的一个定点 21已知函数 f（ x） =减函数 （ ）求 a 的取值范围； （ ）证明：对任意 n N， n 1，都有 + + 请考在第 22题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图， O 的直径， O 相切于 B， E 为线段 一点，连接 别交 O 于 D、 G 两 点，连接 点 F （ ）求证： （ ）若 E 为 中点， ， ，求线段 长 选修 4标系与参数方程 23以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位已知直线 l 的参数方程为 为参数， 0 ），曲线 C 的极坐标方程为 （ ）求曲线 C 的直角坐标方程； （ ）设点 P 的直角坐标为 P（ 2， 1），直线 l 与曲线 C 相交于 A、 B 两点，并且 ，求 选修 4等式选讲 24设函数 f（ x） =|2x 1|+|x 3| （ ）求函数 f（ x）的最小值； 第 5 页（共 23 页） （ ）若任意 x， y R，不等式 f（ x） m（ |y+1| |y 1|）恒成立，求 m 的取值范围 第 6 页（共 23 页） 2016 年安徽省池州市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ） 1复数 z（ 1+i） =2i，则 z 的共轭复数为（ ） A 1 i B 1+i C 1+i D 1 i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 先化简 z，从而求出 z 的共轭复数即可 【解答】 解： z（ 1+i） =2i， z= = =1+i， 则 z 的共轭复数为 1 i， 故选： A 2集合 A=x|x| 2， B=x|2x 3 0，则（ B=（ ） A（ 2， 1） B 2， 3） C（ 3， +） D（ ， 2 （ 3， +） 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 由已知可得 x| 2 x 2，解不等式求出 集合 B，结合集合交集运算的定义，可得答案 【解答】 解： A=x|x| 2=x|x 2 或 x 2， x| 2 x 2， B=x|2x 3 0=x|x 3 或 x 1， 则（ B=（ 2， 1）， 故选： A 3命题 p： R，函数 f（ x） =2x+）不是偶函数，则 p 为（ ） A R，函数 f（ x） =2x+）是奇函数 B R，函数 f（ x） =2x+）不是偶函数 C R，函数 f（ x） =2x+）是偶函数 D R，函数 f（ x） =2x+）是偶函数 【考点】 命题的否定 【分析】 利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可 【解答】 解：命题 p： R，函数 f（ x） =2x+）不是偶函数， 则 p 为： R，函数 f（ x） =2x+）是偶函数， 故选： D 4已知 +） = ，则 +2） =（ ） A B C D 【考点】 运用诱导公式化简求值 第 7 页（共 23 页） 【分析】 由已知利用诱导公式化简可得 值，利用诱导公 式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可计算得解 【解答】 解： +） = ， ， ， +2） =1=2 （ ） 2 1= 故选： B 5 ） A 2 2考点】 定积分 【分析】 由 根据定积分的计算法则计算即可 【解答】 解： 2= 2 故选： C 6数列 ， ， =3，则数列 前 n 项和等于（ ） A B C D 3n+1 2n 1 【考点】 数列的求和 【分析】 由 =3，变形为： +2=3（ ），利用等比数列的通项公式、前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：由 =3，变形为： +2=3（ ）， 数列 是等比数列，首项为 3，公比为 3 =3n，即 n 2， 数列 前 n 项和 = 2n= 故选： A 7如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（ ） 第 8 页（共 23 页） A 20+2 B 20+2 C 18+2 D 18+2 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，其中后面的侧面与底面垂直利用三角形与矩形面积计算公式即可得出 【解答】 解：由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，其中后面的侧面与底面垂直 该几何体的表面积 =4 2+2 + 4+ =2 +18， 故选： D 8执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 4 时，则输入的 值为（ ） A 7 B 8 C 9 D 10 【考点】 程序框图 【分析】 根据程序框图，知当 i=4 时，输出 S，写出前三次循环得到输出的 S，列出方程求出 值 【解答】 解：根据程序框图，知当 i=4 时，输出 S， 第 9 页（共 23 页） 第一次循环得到： S=1， i=2； 第二次循环 得到： S=1 4， i=3； 第三次循环得到： S=1 4 9， i=4； 1 4 9= 4， 解得 0 故选： D 9下列函数： （ 1） y= （ 2） y= ； （ 3） y= （ 4） y= ； 其中是奇函数且在（ 0， 1）上是减函数的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断 【分析】 （ 1）容易判断该函数在（ 0， 1）上为增函数，不满足（ 0， 1）上为减函数； （ 2）通分得出 ，从而判断出该函数为奇函数，根据指数函数 y=单调性及减函数的定义即可判断该函数在（ 0， 1）上为减函数，从而该函数满足条件； （ 3）容易判断该函数为奇函数，分离常数得到 ，这样根据复合函数和反比例函数的单调性即 可判断出该函数在（ 0， 1）上的单调性； （ 4）可以说明该函数不是奇函数，这样便可最后得出满足是奇函数且在（ 0， 1）上是减函数的个数 【解答】 解：（ 1） y= y=（ 0， 1）上都是增函数； y=（ 0， 1）上是增函数； （ 2） ， ； 该函数为奇函数； y=（ 0， 1）上为增函数； 在（ 0， 1）上为 减函数； （ 3）解 得， 1 x 1； 且 ； 为奇函数； 第 10 页（共 23 页） 设 ， y=增函数， t= 在（ 0， 1）上为减函数； 在（ 0， 1）上为减函数； （ 4）根据解析式知， x=0 时， y=1 0； 该函数不是奇函数； 是奇函数且在（ 0， 1）上是减函数的个数为 2 故选 B 10梯形 ， O 点，过 O 点的直线交 、 F 点， =m ， =n ，则 + =（ ） A 2 B C 1 D 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【分析】 根据题意，画出图形，得出 = = ，不妨设 此求出m、 n 的值，从而计算 + 的值 【解答】 解：如图所示， 梯形 ， 则 = = ， 不妨设 所以 = = ， 所以 = ，同理 = ； 又 =m ， =n ， 所以 m=n= ， 所以 + = + = 故选 ： B 11椭圆 C： +， A（ ， ）， B（ ， ），点 P 是椭圆 C 上的动点，直线斜率为 ） 第 11 页（共 23 页） A 4 B C 4 D 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 设 P（ m， n），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简整理代入，即可得到定值 【解答】 解：设 P（ m， n），可得 ， 即有 4 又 ， ， 则 = = = 故选： D 12函数 f（ x）的导函数 f（ x）满足 x） +2f（ x） 0，则（ ） A 4f（ 2） f（ 1） B 4f（ 4） f（ 2） C 4f（ 2） f（ 1） D 3f（ ） 4f（ 2） 【考点】 利用导数 研究函数的单调性 【分析】 根据题目给出的条件 2f（ x） + x） 0，想到构造函数 g（ x） =x），求导后分析该函数的单调性，从而能判出函数的极小值点，进一步得到函数 g（ x）恒大于 0，则有 f（ x）恒大于 0，再利用函数的单调性，分别比较大小，即可得到答案 【解答】 解：令 g（ x） =x）， 则 g（ x） =2x） + x）， =x2f（ x） + x） ， 2f（ x） + x） 0， 当 x 0 时， g（ x） 0，所以函数 g（ x）在（ 0， +）上为增函数 当 x 0 时， g（ x） 0，所以函数 g（ x）在（ ， 0）上为减函数 当 x=0 时函数 g（ x）有极小值，也就是最小值为 g（ 0） =0 所以 g（ x） =x）恒大于等于 0， 当 x 0 时，由 x）恒大于 0，可得 f（ x）恒大于 0 又对可导函数 f（ x），恒有 2f（ x） + x） 0， 取 x=0 时，有 2f（ 0） +0 f（ 0） 0，所以 f（ 0） 0 综上有 f（ x）恒大于 0 g（ x）在（ ， 0）上为减函数 g（ 2） g（ 1），即 4f（ 2） f（ 1），故 A 错误； g（ x）在（ 0， +）上为增函数 g（ 4） g（ 2），即 4f（ 4） f（ 2），故 B 错误； f（ x）恒大于 0， f（ 1） 0， 4f（ 2） 0， 4f（ 2） f（ 1），故 C 正确； 第 12 页（共 23 页） 对于 D， g（ x）在（ 0， +）上为增函数 g（ ） g（ 2），即 3f（ ） 4f（ 2），故 D 正确 故答案选： C 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13二项式（ x+2 ） 5=+则 a1+a3+122 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 在所给的等式中，分别令 x= 1， y=1； x= 1， y=1；可得两个等式，再把这两个等式相加，化简可得要求式子的值 【解答】 解：令 x=y=1，可得（ x+2 ） 5=35=a0+ 令 x= 1， y=1，可得 a0+a2+a4+， 两式相加可得 2（ a1+a3+=244， a1+a3+22， 故答案为： 122 14若变量 x， y 满足 z= + （ a b 0）的最大值 2，则 a+3b 的最小值为 16 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，结合 z= + （ a b 0）的最大值为 2，可得 + =1，然后利用基本不等式求最值 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， ， 联立 ，解得 A（ 2， 6）， 化目标函数 z= + ， 为 y= x+ 由图可知，当直线 y= x+ A 时，直线在 y 轴上的截距最大， z 有最大值为 + =2， 第 13 页（共 23 页） 即 + =1， a+3b=（ a+3b）（ + ） =10+ + 10+6=16， 故答案为： 16 15已知正 边长为 4，若在 任取一点，则该点到三角形顶点 A、 B、 C 距离都不小于 2 的概率为 1 【考点】 几何概 型 【分析】 先求出满足条件的正三角形 面积，再求出满足条件正三角形 的点到三角形的顶点 A、 B、 C 的距离均不小于 1 的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案 【解答】 解：满足条件的正三角形 下图所示： 其中正三角形 面积 S 三角形 = =4 满足点到三角形顶点 A、 B、 C 距离都小于 2 的区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为 2 的半圆， 则 S 阴影 = 22=2， 则使取到的点到三个顶点 A、 B、 C 的距离都大于 2 的概率是 P= = =1 故答案为： 1 16已知 三个内角 A、 B、 C 所对的边长分别为 a、 b、 c，若 a b c=0，a+ b c+2=0，则 最大角的余弦值为 【考点】 余弦定理 【分析】 分别将两式相加减得出 a 与 b， a 与 c 的关系，使用作差法判断最大边，利用余弦定理解出 【解答】 解： a b c=0， a+ b c+2=0， 第 14 页（共 23 页） 两式相加得： 2 +2=0， c= 两式相减得： 2a 2 2=0， b= 显然 c b 由 b= 0 得 2a 2 0，解得 a 1+ 或 a （舍） c a= a= 0 c a ， C 为最大角 = = = 故答案为： 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 17已知数列 前 n 项和为 Sn+ （ ）求 （ ）求数列 通项 【考点】 数列递推式 【分析】 （ ）将 n=1， 2， 3， 4 依次代入 Sn+ ，从而求得； （ ）猜想 ，再利用数学归纳法证明即可 【解答】 解：（ ） Sn+ 当 n=1 时， S1+ 1， 解得， ， 同理可求得， ， ， ； （ ）猜想 ，证明如下， 当 n=1 时，显然成立； 第 15 页（共 23 页） 假设当 n=k 时成立，即 ， Sk+ ， 故 =2 ， +=2 ， =2 ， 2=2 （ 2 ） = ， = ，即 n=k+1 时，猜想也成立； 综上所述， 18近年来空气污染是生活中一个重要的话题， 是空气质量的其中一个重要指标，各省、市、县均要进行实时监测空气质量指数要求 4 小时浓度均值分：优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染六级如图是某市 2015 年某月 30 天的 4小时浓度均值数据 （ ）根据数据绘制频率分布表，并求 4 小时浓度均值的中位数； 空气质量 指数类别 优 0， 35 良 （ 35， 75 轻度污染 （ 75，115 中度污染 （ 115，150 重度污染 （ 150，250 严重污染 （ 250，500 合计 频数 30 频率 1 （ ）专家建议，空气质量为优、良时可以正常进行某项户外体育活动，轻度污染及以上时，不宜进行该项户外体育活动若以频率作为概率，用统计的结果分析，在 2015 年随机抽取6 天，正常进行该项户外体育活动的天数与不宜进行该项户外体育活动的天数的差的绝对值为随机变量 X，求 X 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）由折线图数据能绘制频率分布表，由此能求出 4 小时浓度均值的中位数 （ ）由题意得 X 的可能取值为 0， 2， 4， 6，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列及 E（ X） 第 16 页（共 23 页） 【解答】 解：（ ）由折线图数据绘制频率分布表，得： 空气质量 指数类别 优 0， 35 良 （ 35， 75 轻度污染 （ 75，115 中度污染 （ 115，150 重度污染 （ 150，250 严重污染 （ 250，500 合计 频数 7 13 6 3 1 0 30 频率 0 1 4 小时浓度均值的中位数为： = = （ ）由题意得 X 的可能取值为 0， 2， 4， 6， P（ X=0） = = ， P（ X=2） = + = = ， P（ X=4） = = = P（ X=6） = = ， X 的分布列为： X 0 2 4 6 P E（ X） = = 19如图，在四棱锥 A ，侧面 正三角形， C=2侧面 底面 P 为 中点 （ ）证明： 平面 （ ）证明：平面 平面 （ ）求二面角 P B 的正弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ ）取 点 O，推导出四边形 平行四边形，从而 此能证明 平面 （ ）推导出 而 面 而 面 此能证明平面 平面 （ ）以 O 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 P B 的正弦值 第 17 页（共 23 页） 【解答】 证明：（ ）取 点 O， ， E， 四边形 平行四边形， 面平面 平面 平面 （ ） 面 面 面 C=C， 面 面 平面 平面 解：（ ）以 O 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间 直角坐标系， P（ 0， 0， 1）， C（ 1， 0， 0）， B（ 0， ， 0）， E（ 0， ， 1）， 设平面 一个法向量为 =（ x， y， z）， =（ 0， ）， =（ 1， 0， 1）， 则 ，取 x=1，得 =（ 1， 0， 1）， 设平面 一个法向量 =（ a， b， c）， =（ 1， ， 0）， =（ 0， 0， 1）， 则 ，取 a= ，得 =（ ， 1， 0）， 设二面角 P B 的平面角为 ， 则 = ， = ， 二面角 P B 的 正弦值为 20已知椭圆 C 的中心在原点，一个焦点为 F（ 0， ），且椭圆 C 经过点 P（ ， ） （ ）求椭圆 C 的方程； 第 18 页（共 23 页） （ ）过点 M（ 0， 1）的斜率不为 0 的直线与椭圆交于 A、 B 两点， A 关于 y 轴的对称点为A，求证： AB 恒过 y 轴上的 一个定点 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）设椭圆的方程为 + =1（ a b 0），由题意可得 c= ，将 P 的坐标代入椭圆方程，由 a， b， c 的关系可得 a， b，进而得到椭圆方程； （ ）设 A（ B（ 即有 A（ 直线 方程设为 y=，代入椭圆方程，运用韦达定理，求得直线 AB 的方程，令 x=0，求得 y，化简整理，即可得到定值 4，即有直线 AB 恒过定点 【解答】 解：（ ）设椭圆的方程为 + =1（ a b 0）， 由题意可得 c= ，将 P 的坐标代入椭圆方程可得： + =1，又 ， 解得 a=2， b=1， 即有椭圆的方程为 =1； （ ）证明：设 A（ B（ 即有 A（ 直线 方程设为 y=，代入椭圆方程 4x2+，可得： （ 4+3=0，可得 x1+ ， ， 直线 AB 的方程为 y （ x+ 令 x=0，可得 y= = = +1= =1=4 则 AB 恒过 y 轴上的一个定点（ 0， 4） 21已知函数 f（ x） =减函数 （ ）求 a 的取值范围； （ ）证明：对任意 n N， n 1，都有 + + 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求得 f（ x）的导数，由题意可得 f（ x） 0 在 x 0 恒成立，由参数分离和构造函数，求出导数和单调区间，可得最大值，即可得到 a 的范围； 第 19 页（共 23 页） （ ）设 h（ x） =出导数，判断单调性，可得 x 2 时， ，即 ，则 n 2 时， = ，再由裂项相消求和，化简整理，即可得证 【解答】 解：（ ）函 数 f（ x） =导数为 f（ x） =1+2 函数 f（ x） =减函数，可得 f（ x） 0 在 x 0 恒成立， 即为 2a 在 x 0 恒成立， 设 g（ x） = ， g（ x） = ， 当 0 x 1 时， g（ x） 0， g（ x）递增； 当 x 1 时， g（ x） 0， g（ x）递减 可得 g（ x）在 x=1 处取得极大值，且为最大值 1 则 2a 1，解得 a ； （ ）证明：设 h（ x） = h（ x） =1+x， h（ x） = 1， 当 x 1 时， h（ x） 0， h（ x） h（ 1） =0， h（ x）在（ 1， +）递减，即有 h（ x） h（ 1） = ， 即 x 1 时， ， x 2 时， ， 即 ， 则 n 2 时， = ， 即有 + + 1 + + + + =1+ =