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高等代数课后思考题 第二章 矩 阵思考题1、设A,B 是数域F上的矩阵，a是F中的数，进行配对（从右边挑出使左边运算能够施行的条件）。 （a） A+B ； （1） A是n阶方阵； （b） aA； （2） A的行数=B的列数；（c） AB ； （3） A的列数=B的行数；（d） ATB ； （4）A是任意方阵；（e） ABT ； （5） A与B是同阶方阵；（f） detA； （6） A的行数=B的行数； （7） A的列数=B的列数；2、设 ，下列哪些式子有意义？（1）A+B ； (2) A+BT (3) AB； (4) ATB3、设A，B是F上的矩阵，若AB=BA，则 （a）A与B的行数相等；（b）A的行数等于B的列数；（c）A与B的行数相等且列数相等；（d）A与B是同阶方阵。4、设A使F 上的n（n1）阶方阵，a是F中的数,则下列等式正确的是( ) （a） ； （b） ；（c） ； （d） .5、设A，B使数域F 上的矩阵，且AB=BA，下列等式成立吗？ （1） (2) 6、设A，B，C都是F上的矩阵，下列结论成立吗？如果成立，给出证明，如不成立，举出反例。（1）若A0，B0，则AB0 ；（2）若AB=AC，且A0，则 B=C ；（3）若AB=0，则BA=0 .7、下述条件中，哪些是n阶矩阵A可逆的充要条件？ （1）存在n阶方阵B，使得AB=BA； （2）A是两个可逆矩阵的乘积；（3）A是两个可逆矩阵的和；（4）转置矩阵AT可逆；（5）伴随矩阵A*可逆；（6）A是第三种初等矩阵的积；（7）A是第一、二种初等矩阵的积；（8）A可经行的初等变换化为单位矩阵。8、设A=(aij)mn，B=（bij）np ，对A，B分别施行变换：（1）交换A的第i行与第j行；（2）A的第j行乘以数k加到第i行；（3）B的第j列乘以非零的数k；（4）B的第j列乘以数k加到第i列。问AB应怎样变化？9、分别对可逆矩阵A施行下述的初等变换：（1）行的第一种初等变换；（2）列的第二种初等变换；（3）行的第三种初等变换。试讨论A-1的变化。10、设A，B都是n阶方阵，AB=I，证明：A与B互为逆矩阵。 证明 因AB=I，所以A=(AB)B-1=IB-1=B-1. 同理，B=( A-1A)B=A-1(AB)=A-1I=A-1. 故A，B互为逆矩阵。问这样的证明有无错误？如
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