自动控制原理5 ppt课件

西南交通大学电气工程学院2009,2,第五章 频率响应法,5.1 频率特性5.2 频率特性图5.3 奈奎斯特(Nyquist)稳定性判据 5.4 控制系统的稳定裕量小结,3,5.1 频率特性,频率响应系统对正弦输入信号的稳态响应频率特性频率响应特性，即正弦信号输入时，系统稳态输出与输入量之比(正弦传递函数)频率响应法的特点：易于试验和测量。可用试验方法测量出系统的频率特性，以此求得控制系统数学模型；可用于系统的稳定性分析(应用Nyquist稳定性判据)；是一种图解法，形象直观计算量小。,4,5.1 频率特性,频率响应法的局限性和不足：系统的频率响应和时域响应之间存在联系，但难以把握。实际设计工程中，采用近似设计准则来调节系统的频率响应。, 分析一阶RC网络的频率特性。,输入,5,5.1 频率特性,6,T=R,C: 系统结构参数w : 输入正弦信号的频率,5.1 频率特性,7,线性定常系统的频率特性设线性定常系统的传函,5.1 频率特性,(对于含有重极点的情况，下面得到的结论同样适用),输入,8,(5.1),5.1 频率特性,如果G(s)含有mi 重极点s = - pi, 则 y(t) 中含有,输出,9,稳态响应( 稳定系统 ),可以知道 b 与 b* 互为一对共轭复数,(5.2),5.1 频率特性,10,设,G(jw)为一复数,写成,5.1 频率特性,则,11,5.1 频率特性,12,又可以给出，正弦输入下,正弦输出对于正弦输入的幅值比正弦输出对于正弦输入的相位移,频率特性，即正弦传递函数,5.1 频率特性,返回,13,5.2 频率特性图,频率特性,工程上应用最广泛的频率特性图是Bode图(对数坐标图)和极坐标图(Nyquist图、幅相频率特性图),极坐标图：图中反映出的量为频率特性的幅值和相角，而频率w为参变量(隐含)；,14,5.2 频率特性图,Bode图:将频率特性分为幅频特性和相频特性，分别绘于(半)对数坐标上；频率w(横)坐标：用lgw 分度；幅值A(w)用20lgA(w)dB分度： 20lgA(w) lgw相角j (w)用线性分度： j (w) lgw,w 与 lgw 之间的对应关系,15,采用Bode图的优点：便于运算，使幅值的相乘转换为相加运算；环节串联，其增益 A=A1A2An, 而 lgA= lgA1+lgA2+lg An便于处理较宽的频带，且能突出最常用的低频段；便于作图：常可采用渐近线(直线段)近似处理。,5.2 频率特性图,16,关于20lgA(w)的单位分贝(dB)人耳对声强的感觉符合对数规律：,5.2 频率特性图,功率增益：而人耳感觉到的功率增益： 贝尔如N1=10, N2=30, 功率增大了3倍，而人耳感觉到的功率增大了lg3 = 0.48 (贝尔),17,实际应用中，“贝尔”单位太大，取其值1/10作测量单位，称为分贝(dB)，即,5.2 频率特性图,(因常为电压、电流等为考察量的幅值比),18,5.2.1 典型环节的频率特性及其图,比例环节,(5.8),19,积分环节和微分环节,(5.9),5.2.1 典型环节的频率特性及其图,幅频：,相频：,积分环节,20,微分环节,(5.10),5.2.1 典型环节的频率特性及其图,微分环节的Bode图与积分环节的Bode图关于横轴对称,21,惯性环节和一阶微分环节,5.2.1 典型环节的频率特性及其图,低频段 ( w 1/T )转折频率 ( w =1/T= wn ),幅频：,22,渐近线,5.2.1 典型环节的频率特性及其图,23,误差 (实际曲线与折线)20lgA(w) 的最大误差在转折频率 w=1/T 处在 w=10/T 处在 w=0.1/ T 处,5.2.1 典型环节的频率特性及其图,24,幅频特性误差修正表幅频特性误差修正曲线,5.2.1 典型环节的频率特性及其图,25,相频：,5.2.1 典型环节的频率特性及其图,相频特性的几个函数值,渐近线,26,最大误差出现在w=0.1/T 和w=10/T处，j = 5.7次大误差出现在w=0.4/T 和w=2.5/T处，j = 5.3按等距分度：0.4/T 距0.1/T 的相对距离：lg(0.4/0.1) = 0.60210.62.5/T 距 1/T 的相对距离：lg( 2.5/ 1 ) = 0.39790.4与折线相交：w =0.16/T 和 w =6.3/T,5.2.1 典型环节的频率特性及其图,惯性环节极坐标图,27,28,一阶微分环节,(5.12),5.2.1 典型环节的频率特性及其图,其Bode图与一阶惯性环节的Bode图关于横轴对称。,一阶微分环节极坐标图,29,振荡环节和二阶微分环节二阶振荡环节,(5.13),转折频率：,5.2.1 典型环节的频率特性及其图,当 时(低频段)： 当 时(高频段)：,幅频：,30,渐近线斜率为-40dB/dec.,二阶振荡环节Bode图,5.2.1 典型环节的频率特性及其图,相频：,31,幅频特性误差修正曲线,幅频特性中, z=0.50.7, 渐近线(折线)近似效果较好；相频特性， 渐近线(折线)近似效果不好；,极坐标图,z 1,(过阻尼)时，类似于一阶惯性环节。,5.2.1 典型环节的频率特性及其图,32,谐振频率wr和谐振峰值Mr在wn附近，幅频特性出现谐振峰值Mr ，其大小与z 有关。,5.2.1 典型环节的频率特性及其图,定义：谐振频率wr，谐振峰值Mr处的频率；,33,5.2.1 典型环节的频率特性及其图,34,其Bode图与二阶振荡环节的Bode图关于横轴对称。,(5.16),5.2.1 典型环节的频率特性及其图,二阶微分环节,35,5.2.2 系统Bode图的绘制,由基本(典型)环节的幅频、相频曲线，绘制系统的Bode图曲线。,分成5个典型环节：, 绘制Bode图,36,5.2.2 系统Bode图的绘制,1、幅频特性画每个环节(不包括比例环节)的渐近线(折线),代数相加;20lg5=14(dB), 将0dB线下移14dB(即在原坐标上加14dB);误差修正: (第(2)/(3)步可交换),可计算几个点 (着重转折点)记:,37,5.2.2 系统Bode图的绘制,38,幅频特性图：,5.2.2 系统Bode图的绘制,39,40,2、相频特性相频特性曲线可以直接计算几个点：,5.2.2 系统Bode图的绘制,41,相频特性图(近似曲线),5.2.2 系统Bode图的绘制,42,G(jw)的Bode图,5.2.2 系统Bode图的绘制,返回,43,5.3 奈奎斯特(Nyquist)稳定性判据,1932年，H.Nyquist提出的稳定性判据判断闭环系统的稳定性(不求特征根)的方法：代数判据：适用于特征方程为代数方程的系统，不适用于时滞系统；根轨迹法：对于时滞系统有效，但很麻烦；Nyquist判据：利用开环频率特性(G(jw)H(jw)判断闭环系统稳定性的一种图解方法；,44,5.3 奈奎斯特(Nyquist)稳定性判据,Nyquist判据特点：应用方便：分析时滞系统的稳定性也较方便，也可推广到多变量系统，以及分析某类非线性系统的稳定性；开环频率特性可以通过试验测取，这对于不易建模的系统很有意义。Nyquist判据判断特征方程1+G(s)H(s) = 0在S右半平面内特征根的数目，其理论基础是复变函数的映射定理(Cauchy定理)。,45,5.3.1 映射定理,设,s=s+jw 是复变量映射定理：若F(s)在S平面上的闭曲线GS 的内部共有P个极点和Z个零点。设GS 不经过F(s)的任何零点和极点，则GS 唯一的映射到F(s)平面上的一条闭曲线GF，当 s 按顺时针方向沿GS 变化一周时，在F(s)平面上，轨迹F(s)按顺时针方向沿GF 包围原点的周数N 等于Z-P,N 的方向：顺时针方向为正，逆时针方向为负。,46,5.3.1 映射定理,根据映射定理，由F平面上GF 包围原点的周数，可知S平面上GS 中的零点数与极点数之差。,47,例如：设,如图示：GS 中有一个零点-z1, 当s沿着GS 顺时针方向移动一周时，Dfz1 = 2p, Dfz2 = 0, Dfp1 = 0, Dfp2 = 0因此，DF(s) = 2p, F 平面上，GF 顺时针包围原点一周。,F,5.3.1 映射定理,48,由此可推知：若GS 顺时针包围了F(s)的Z个零点和P个极点，则角F(s)的变化量:,DfF = DfZ DfP = 2pZ - 2pP即为当s沿着GS 顺时针方向移动一周时，映射曲线GF在F平面的相角变化为： 2pN = 2pZ - 2pP因此， GF顺时针包围原点的周数为：N = Z - P,5.3.1 映射定理,F,49,5.3.2 Nyquist稳定性判据,根据开环幅相频率特性图判断闭环系统的稳定性。对于闭环控制系统：,开环传函:,闭环传函:,特征多项式: 开环传函G(s)H(s)的分母与分子之和,设,50,5.3.2 Nyquist稳定性判据,实际系统：分母阶次n大于或等于分子阶次mnm因此，D(s)的阶次 = Q(s)的阶次 = n,作,在s平面上做闭曲线GS ：整个虚轴和s右半平面上半径为无穷大的半圆称为Nyquist曲线(按顺时针方向)，也称为“D形围线”(形状象字母),51,由映射定理：s 顺时针沿着D形围线GS变化一周时(w:- ), F(s)在F平面上的轨迹GF顺时针包围原点的周数N为：N = Z P (5.17)Z = F(s)在S右半平面的零点数 = 特征多项式D(s)在S右半平面的零点数(即在S右半平面的特征根数)P = F(s)在S右半平面的极点数 = 开环传函在S右半平面的极点数(Q(s)的零点),5.3.2 Nyquist稳定性判据,52,已知P, N 确定Z闭环系统稳定Z = 0，于是可得闭环系统稳定的充要条件 N = P (5.18)即 s 顺时针沿 D 形围线 GS 变化一周时，在1+GH 平面上, 1+G(s)H(s) 的轨迹 GF 须逆时针包围原点 P 周。这就是Nyquist稳定判据的基本内容。,5.3.2 Nyquist稳定性判据,53,几点注记,5.3.2 Nyquist稳定性判据,Nyquist稳定性判据 G(s)H(s) 在 jw 轴上无零点、极点的情况： G(s)H(s) 在 s 右半平面有 P 个极点，且 常量，闭环系统稳定的充要条件为，当 s 顺时针沿 D 形围线变化一周时，GH平面上G(s)H(s) 的轨迹须逆时针包围 (-1,0) 点 P 周。,在1+GH 平面上轨迹 1+G(s)H(s) 对原点的包围周数，等于在GH 平面上轨迹G(s)H(s)对(-1,0)点的包围周数;,54,nm时, , 当s沿D形围线的无穷大半圆变化时, G(s)H(s)映射为GH平面上一点原点。因此，当nm时,只需要考虑s沿虚轴变化(s=jw, - w m，D, E, A汇聚成一个点， E点可省去)AB之间：s = -90 A B之间： G(s)H(s): 180 0P = 0, N = 0,Z = N + P = 0 闭环系统稳定,58,5.3.2 Nyquist稳定性判据,P = 0, N = 0, Z = N + P = 0 闭环系统稳定若：则 P = 1, N = -1, Z = N + P = 0,59,5.3.2 Nyquist稳定性判据,(1)(2),(3)求与实轴的交点:令g(s) = s(0.2s + 1)(0.5s + 1)=0.1s3 + 0.7s2 + s v=Img(jw)=0v = Im-0.1 jw3 - 0.7w2 + jw=w(1-0.1w2) = 0w = - , G(jw)H(jw)|w=- = -K / 7,60,5.3.2 Nyquist稳定性判据,(4)(5)(6),稳定性: 当K7, G(s)H(s)轨迹顺时针包围(-1,0)点两次，N=2; 而P=0,Z=N+P=2 有两个闭环极点(特征根)在s右半平面，闭环系统不稳定,61,5.3.2 Nyquist稳定性判据,(1)(2),(3) 求与实轴的交点:,62,5.3.2 Nyquist稳定性判据,稳定性: 当K1, N= -1; 而 P=1, Z=N+P=0, 开环系统不稳定, 但闭环系统稳定当K6时，N= -1，Z=N+P=0.闭环系统稳定的K值的范围: 6K 0，称为正相角裕量，闭环系统稳定；g 1, gm0, 称为正增益裕量(20lg| G(jwg)H(jwg) | 0)，闭环系统不稳定；最小相位系统，相角裕量g 和 增益裕量gm均为正值时，闭环系统稳定。 g 、gm，以及wc、 wg等是控制系统重要的频率特性指标，它们与时域指标之间可建立起一定的近似关系。控制系统设计中也往往直接根据频域指标进行初步设计。,75,5.4.2 (最小相位系统的)稳定裕量,jv,返回,76,小结,频率响应法是经典控制理论的重要组成部分，是控制系统分析和综合的一种实用工程方法。要求：掌握频率响应法的概念；熟悉系统Bode图；熟练应用Nyquist稳定性判据；熟练掌握g, gm, wc , wg的概念与定义, 以及Mr, wr的概念与定义。,返回,77,Homework,1、绘制下列传递函数的Bode图2、考虑题1给出的各个传递函数，用Nyquist判据判断每个系统的稳定性，并给出N,P,Z的取值。,78,3、考虑下列的两个开环传递函数，画出其极坐标图，并用Nyquist判据判断闭环系统的稳定性。针对稳