小结练习（2）

小结与复习 第二课时 一元二次方程及应用一、复习目标：1.理解一元二次方程的概念和一般形式，能把一个一元二次方程化为一般形式.2.理解配方法，会用因式分解法、直接开平方法和公式法解简单的一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式.3.能用一元二次方程解决实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.二、复习重点和难点：（一）复习重点：1、用因式分解法、直接开平方法和公式法解简单的一元二次方程.2、应用一元二次方程知识解决实际问题。（二）复习难点：配方法，列一元二次方程解决实际问题，并检验解的合理性.三、复习过程：（一）知识梳理：1、一元二次方程定义：必须满足四个条件：（1）只含有一个未知数；（2）未知数最高次数为2；（3）整式方程；（4）最高次项的系数不能为零。如、是关于x的一元二次方程，求m的值；2、一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式为，在处理一元二次方程的问题时，要将方程化为一般形式：左边是个按降幂排列的二次三项式，右边是0，同时还要特别注意这个条件。每个一元二次方程一般形式不唯一，而是无数多个，但习惯上总把二次项系数符号化为正号，各项系数（包括常数项）化为整数（各项系数有公因式就要约去）。如、把方程(x+3)(3x-4)=(x+2)2化成一般形式；强调：对于方程，如果有的条件，就说明此方程为一元二次方程；如果没有，就说明方程有可能为一元二次方程，此时，也有可能为一元一次方程，此时。3、一元二次方程的解法（1）用直接开平方法与配方法解一元二次方程：用直接开平方法解一元二次方程时，实际上是利用平方根的定义，运用平方根的定义解形如方程时，特别要注意有正负两个解，不可丢掉一个。配方法是初中数学中一种重要的数学方法，它是推导公式法的基础，也是解一元二次方程的通法用配方法解一元二次方程步骤：（1）方程两边同除以二次项的系数，将二次项的系数化为1；（2）移项，使方程左边只有二次项和一次项，常数项在右边；（3） 配方，方程的两边要加上一次项系数的一半的平方，使方程左边变为一个完全平方式，右边是一个常数的形式；（4）如果右边是非负数，两边直接开平方解这个一元二次方程；（5）如果右边是负数，则原方程无解.强调：当二次项系数a=1,b为偶数，常数项比较大时，采用配方法较合适，如y2-2y-399=0。强调：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。（2）用公式法解一元二次方程：、对于它的解是：，我们把这个称之为一元二次方程的求根公式，要特别注意条件的运用，要求准确记忆，而推导过程也要求会。公式法是解一元二次方程的通法，也是最常用的方法，较配方法简单在上述两种方法都很难求解的情况下可考虑利用公式法求解。注意用公式法求解时。 应用求根公式解一元二次方程时应注意：化方程为一元二次方程的一般形式；确定a、b、c的值；求出b24ac的值；若b24ac0，则代人求根公式，求出x1 ,x2若b24a0，则方程无解（3）用因式分解法解一元二次方程：是最简单的解一元二次方程的方法，也是最常用的方法，当一个一元二次方程一边是零，而另一边易于分解成两个一次因式时，可以使每个一次因式等于零，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是一元二次方程的解。强调：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式如2(x4)2=3（x4）中，不能随便约去（x4）；4、一元二次方程与判别式：在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、确定，它的根的情况（是否有实数根）由确定设一元二次方程为，其根的判别式为：则方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程没有实数根说明：(1)根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a0.（2）用判别式去判定方程的根时，一定要先把方程变化为一般形式，再求出判别式的值；（3）上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，；有两个相等的实数根时，；没有实数根时，（4）一元二次方程有实数根，就包含了一元二次方程有有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根两种情况，此时判别式应满足，反之，当一元二次方程的判别式满足，就说明一元二次方程有有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根。（6）当时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根 5、一元二次方程的应用：列一元二次方程解应用题的一般步骤：“审”，“设”，“列”，“解”，“答”。（1）“审”是指读懂题目，审清题意，明确题目中的已知与未知的数量关系。（2）“设”是指设未知数，分为直接设和间接设。（3）“列”就是列方程，找出题中的相等关系，列出方程。（4）“解”就是求出所列方程的解。（5）“答”即检验并写出答案，注意看答案与实际问题是否相符。增长（降低）率问题的数量关系。6、强调两个公式：（1）理解平均增长（降低）率公式：平均增长（降低）率的基本关系式为，其中a是增长（降低）前的基础数量，x是平均增长（降低）率，n是增长（降低）的次数，b是增长（降低）后的数量。（2）商品利润问题商品总利润每件利润数量，每件利润售价价价；利润率=；（二）典例精析：例1分别用公式法和配方法解方程：【方法总结】：用公式法的关键在于把握两点：将该方程化为标准形式；牢记求根公式。用配方法的关键在于：先把二次项系数化为1，再移常数项；两边同时加上一次项系数一半的平方。例2、选择适当的方法解下列方程：（1）； （2）（3）； （4） 分析：根据方程的不同特点，应采用不同的解法。（1）宜用直接开方法；（2）宜用配方法；（3）宜用公式法；（4）宜用因式分解法或换元法。例3、已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根（1）求实数k的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由【分析】这是一道确定待定系数m的一元二次方程，又讨论方程解的情况的优秀考题，需要考生具备分类讨论的思维能力【答案】（1）= 2（k1） 24（k21）= 4k28k + 44k2 + 4 =8k + 8 原方程有两个不相等的实数根， 8k + 80，解得 k1，即实数k的取值范围是 k1（2）假设0是方程的一个根，则代入得 02 + 2（k1） 0 + k21 = 0，解得 k =1 或 k = 1（舍去）即当 k =1时，0就为原方程的一个根此时，原方程变为 x24x = 0，解得 x1 = 0，x2 = 4，所以它的另一个根是；例4、已知抛物线。（1）求证：不论为任何实数，抛物线与轴有两个不同的交点，且这两个点都在轴的正半轴上；（2）设抛物线与轴交于点A，与轴交于B、C两点，当ABC的面积为48平方单位时，求的值。（3）在（2）的条件下，以BC为直径作M，问M是否经过抛物线的顶点P？解析：（1），由，可得证。（2） 又 解得或（舍去） （3），顶点（5，9）， M不经过抛物线的顶点P。评注：二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，因此，善于促成二次函数问题与二次方程问题的相互转化，是解相关问题的常用技巧。例5、（2009年广东）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？解析：应搞清每一轮被感染后的电脑总数量。若设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，则第一轮中1台电脑感染x台电脑，第二轮有（1+x）台感染电脑会继续感染（1+x）x台电脑，此时，共有1+x+(1+x)x台感染电脑，依题意得1+x+(1+x)x=81或，解得x=8(负根舍去)，则第三轮感染818=648台电脑，再加已感染的81台共729台，所以3轮感染后会超过700台。【方法总结】：此类题一定要搞清每轮感染的电脑数及实际已经感染的电脑总数，根据题意列出正确的方程。例6、 某商场服装在销售中发现某童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“六一国际儿童节”，商场决定采用适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，问每件童装应降价多少元？解析：此题要抓住“每天销售利润每件利润每天销售数量”这个等量关系，设每件童装应降件x元，列方程得：，解得，又根据题意要尽快减少库存，故x应取20。【方法总结】：此类题一定要紧紧抓住总利润与每件利润、销售数量之间的数量关系，将这几个量用数字或含未知数的式子来表示，再根据题意列出相应的方程。例7、广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售（1）求平均每次下调的百分率（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：打98折销售；不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？分析：（1）设平价每次下调的