[高三数学]第16讲圆锥曲线有关性质的探究与证明

1,2010届高中总复习第2轮,湖南学海文化传播有限责任公司,,本课件主要使用工具为office2003，Mathtype5.0, 几何画板4.0, flashplayer10.0, 数学 （理科 湖南）,2,直线与圆锥曲线,专题四,圆锥曲线有关性质的探究与证明,第 16 讲,3,1.椭圆、双曲线和抛物线的几何性质有：范围、对称性、顶点、焦点、离心率、渐近线等.对不同的曲线以及焦点在不同坐标轴上的同类曲线，其几何性质既有共同点也有不同点，应用时要加以区分. 2.圆锥曲线与其对称轴的交点叫做顶点.椭圆有两条对称轴，两个焦点和四个顶点;双曲线有两条对称轴，两个焦点和两个顶点;抛物线只有一条对称轴，一个焦点和一个顶点.双曲线有两条渐近线，椭圆和抛物线没有渐近线. 3.圆锥曲线上一点到焦点的距离叫做焦半径，它等于该点到相应准线的距离与曲线的离心率之积.椭圆上一点所对应的两条焦半径之和等于椭圆的长轴长，双曲线上一点所对应的两条焦半径之差的绝对值等于双曲线的实轴长.,4,4.设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，则椭圆上的点到椭圆中心的最大距离为a，最小距离为b，椭圆上的点到一个焦点的最大距离为ac，最小距离为ac. 5.在圆锥曲线中，过焦点的弦叫做焦点弦，过焦点且垂直于焦点所在对称轴的弦叫做圆锥曲线的通径.椭圆和抛物线的通径是最短的焦点弦，双曲线的通径是端点在同一支的焦点弦中最短的一条.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)为抛物线y22px的焦点弦的两个端点，则y1y2p2. 6.实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率为,5,1.(2008湖北卷)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长，给出下列式子：a1+c1=a2+c2；a1-c1=a2-c2；c1a2a1c2；其中正确式子的序号是( ) A. B. C. D.,6,解析,对椭圆，有|PF|a1c1;对椭圆，有|PF|a2c2，所以a1-c1=a2-c2. 显然，b1b2，则a12-c12a22-c22，即a12+c22a22+c12. 因为a1-c1=a2-c2，即a1+c2=a2+c1，所以(a1+c2)2=(a2+c1)2，即a12+c22+2a1c2=a22+c12+2a2c1，于是a1c2a2c1.所以正确，故选B.,长半轴长a，短半轴长b和半焦距c是椭圆的三个特征数，通过数形结合找出三者的内在联系，再转化为目标问题，是本题的解题策略.,感悟,7,2.(2009安微卷)点P(x0,y0)在椭圆 上,x0=acos,y0=bsin, 直线l2与直线l1: 垂直,O为坐标原点,直线OP的倾斜角为,直线l2的倾斜角为.证明： (1)点P是椭圆 与直线l1的惟一交点； (2)tan,tan,tan构成等比数列.,解析,(1)证法1：由 得代入椭圆方程得,8,将 代入上式，得x2-2acosx+a2cos2=0，从而x=acos.因此，方程组 有惟一解即l1与椭圆有惟一交点P.,证法2：显然P是椭圆与l1的交点，若是椭圆与l1的交点，代入l1的方程得coscos1+sinsin1=1,即cos(-1)=1,=1，故P与Q重合.,9,证法3：在第一象限内，由 可得 椭圆在点P处切线的斜率 切线方程为 即 因此，l1就是椭圆在点P处的切线.根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线l1的惟一交点.,10,(2)由题设 l1的斜率为l2的斜率为 由此得tantan=tan20,所以tan,tan,tan构成等比数列.,本题反映了椭圆的两个一般性质，其中第一个结论的本质是直线l1与椭圆相切，因而可以证明直线l1的方程与椭圆方程所组成的方程组有且只有一组解.题设中将点P的坐标用参数形式表示，其意图是引领解题过程进行三角运算，使得运算量大大减少，体现了一种解题技巧.,感悟,11,(2009江西卷改编)如图，已知圆G(x-2)2+y2=r2是椭圆的内接ABC的内切圆, 其中A为椭圆的左顶点.（1）证明：圆G的半径r为定值；（2）过点M(0,1)作圆G的两条切线，交椭圆于E,F两点，证明：直线EF与圆G相切,证明圆锥曲线的几何性质,12,（1）利用相似三角形的性质建立一个关于r的方程，解方程可求得r的值. （2）先求点E，F的坐标，再求直线EF的方程，然后证明圆心G到直线EF的距离等于圆的半径.,思路,解析,（1）因为AG是BAC的平分线，点在椭圆上，则点B，C关于x轴对称.设点B(2+r,y0) ，BC交x轴于H，过圆心G作GDAB于D，则|GD|=r，|AD|=36-r2，|AG|6，|HB|y0.,13,所以圆心G(2,0)到直线EF的距离故直线EF与圆G相切,点评,证明定值问题，一般转化为求值问题来解决；证明直线与圆相切，一般转化为证明圆心到直线的距离等于圆半径.,14,(2009北京卷改编)设直线l是圆x2+y2=2的任意一条切线，且直线l与双曲线 相交于A，B两点，O为坐标原点，证明：OAOB.,变式训练1,思路,将OAOB转化为 再根据数量积的坐标运算完成证明.,证明,设直线l与圆x2+y2=2相切于点P(x0，y0)，则切线l的方程是x0x+y0y=2.由 及x02+y02=2，得(3x02-4)x2-4x0x+8-2x02=0.,15,设点A，B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，则所以,16,当x02=2时，点 此时点 或 所以AOB90.故OAOB.,17,证明圆锥曲线的不等式性质,通过点A，B的坐标建立相关参数之间的关系，再利用放缩原理证明不等式.,思路,18,（1）设点A(x1，y1),B(x2，y2)(x1，x2，y1，y20)，因为点A，B在双曲线上，则所以,证明,（2）由题设|PA|PB|，则x12+(y1-m)2=x22+(y2-m)2，即x12-x22=y22-y12+2m(y1-y2).因为 则,19,即所以即据题意，y1y2，且y1a，y2a，所以因为a0，所以a2+b2am.,点评,等与不等是对立统一的两个方面，先建立相关参数的等量关系，再将其转化为所证不等式，是证明圆锥曲线的不等式性质的基本策略.,20,变式训练2,先将截距a，b用点A，B的坐标表示，再根据椭圆的有关性质得出所证不等式.,思路,设点A，B是椭圆 上不关于坐标轴对称的相异两点，线段AB的中垂线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b，证明：4a2+b29.,证明,设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线l的方程为分别令y0，x0，,21,得设线段AB的中点为M(x0，y0)，则因为点M在椭圆内部，则 即所以4a2+b20)相交于M、N两点，点B是点A关于原点的对称点，过点B作x轴的垂线l，点M、N在直线l上的射影分别为M1、N1. （1）试探究当点A在何位置时，有AM1AN1 ； （2）记AMM1，AM1N1，ANN1的面积分别为S1，S2，S3，试探究是否存在常数，使对任意的点A，都有S22=S1S3成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.,24,（1）由AM1AN1，得 从而将问题转化为求点A的坐标. （2）先将S1，S2，S3用适当的形式表示，再考察S22与S1S3的比值是否为常数，然后作出判断.,思路,解析,（1）依题意可设点A(a，0)，直线MN的方程为x=my+a，点M(x1,y1),N(x2,y2)，点M1(-a,y1),N1(-a,y2)，则由 消去x，得y2-2mpy-2ap=0，,25,于是y1y2=-2ap.所以若AM1AN1，则所以2ap，即故当点A为抛物线的焦点时，有AM1AN1.,（2）因为点B(a，0)（a0），则,26,因为于是x1+x2=m(y1+y2)+2a=2(m2p+a).又y12=2px1，y22=2px2，则于是,27,所以S22=4S1S3. 故存在=4，使对任意的点A，都有S22=S1S3成立.,28,过椭圆 的右焦点F作倾斜角为45的直线l,交椭圆于A,B两点,O为原点，已知向量 与向量m(3，1)共线.（1）试探究椭圆的离心率是否为定值；（2）设点M为椭圆上任意给定的一点，试探究是否存在实数，使,（1）将已知条件转化为a，b，c的关系，再判断离心率是否为定值. （2）设 再探究与的平方和是否等于1，然后作出判断.,变式训练3,思路,29,解析,（1）设点F(c，0)，则直线l的方程是yxc，代入椭圆方程，整理得(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则因为向量 与向量m(3，1)共线，则(x1+x2)+3(y1+y2)=0，即(x1+x2)+3(x1+x2-2c)=0，即所以 即a2=3b2，所以故椭圆的离心率为定值,30,（2）因为a2=3b2，则椭圆的方程可化为设 则点M(x1+x2,y1+y2).因为点M在椭圆上，则即因为点A，B在椭圆上，则又,31,所以23b2+23b2=3b2，即2+2=1.令sin，c