[经济学]第三章 数据描述的综合指标

第三章 数据描述的综合指标,第一节 总量指标,第二节 相对指标,第三节 平均指标,第四节 变异指标,第五节 偏态与峰度,第一节 总量指标,反映现象总体规模或水平的综合指标，即数量指标，也称为绝对数。,一、总量指标概述,是反映一个国家的国情和国力，一个地区或一个单位人力、物力、财力的基本数据，是认识社会经济现象的起点；,（一）总量指标,（二）总量指标的意义,是计算其它综合指标的基础，相对指标和平均指标一般是由两个有联系的总量指标对比而形成的。,是加强社会经济管理，平衡供求关系，保证国民经济协调发展，全面提高社会经济效益的重要工具。是实现宏观经济调控和企业经营管理的基本指标。,二、总量指标的分类,（一）按时间特征分类,按反映的时间状况不同分为：,时期指标,时点指标,1.时点指标,表明现象总体在某一时刻（瞬间）的数量状况，如在某一时点的总人口数,2.时期指标,表明现象总体在一段时期内发展过程的总量，如在某一段时期内的出生人数、死亡人数,出生人数,人口总数,死亡人数,关于一个人口总体的总量指标,时期指标,时点指标,（二）按计量单位分类,按计量单位不同分为：,实物指标,价值指标,劳动指标,1. 实物量指标,是根据总体的属性和特征，采用实物单位作为度量标准的总量指标。如 某地区一年的粮食总产量,2. 价值量指标,是用货币单位计量的产品和劳务的数量。如 商品零售额,3. 劳动量指标,是以劳动时间为单位计算的产品产量或完成的工作量。,实物单位,价值单位,劳动单位,多个单位的结合运用：,（如：人次、吨公里）,（如：人/平方公里）,（如：艘/吨/千瓦）,如：台、件,如：米、平方米,如：标准吨,如：工日、工时,如：元,公顷,人,辆,计量单位,单一单位,复合单位：工时、吨公里等,自然单位：个、台等度量衡单位：吨等,总体标志总量,总体单位总数,按反映的总体内容不同分为：,（三）按内容分类,2.总体标志总量,1.总体单位总数,一个总体中只有一个单位总数，但可以有多个标志总量，它们由总体单位的数量标志值汇总而来。,总体单位某一数量标志的标志值总和,总体所包含的总体单位的数量,第二节 相对指标,比较两厂经济效益,不可比,不可比,可比,一、相对指标概述,指两个有联系的统计数据之间的比值，用来反映某些相关事物之间数量关联程度的综合指标；也称为相对数。,（一）相对指标,可使不能直接对比的现象找到共同的比较基础；,（二）相对指标的作用,可综合的表明有关现象之间的联系程度，反映事物发展变化的趋势；,是宏观调控与微观考核的重要依据。,用倍数、系数、成数、等表示,用双重计量单位表示的复名数,二、相对指标的计量单位,倍数与成数应当用整数的形式来表述5倍、3成、近7成3.25倍、8.6成,总人数30人男生人数20人女生人数10人男生比重为2/3女生比重为1/3男女比例为2:1,总量指标,非总量指标,相对指标,三、相对指标的种类,结构相对数,比例相对数,强度相对数,计划完成程度相对数,比较相对数,动态相对数,例：我国某年国民收入使用额为19715亿元，其中消费额为12945亿元，积累额为6770亿元。则,说明,为无名数，分子与分母属于同一总体； 同一总体各组的结构相对数之和为1；用来分析现象总体的内部构成状况。,（一）结构相对数,直接应用上述公式,A.计划任务数表现为绝对数时,（二）计划完成相对数,例1：己知某厂2000年的计划产品产量为10万吨，实际产量为12万号。则：,B. 计划任务数表现为相对数时,例2：己知某厂2000年的计划规定产品产量要比上年实际提高5而实际提高了7。则,例3：己知某厂2000年的计划规定产品成本比上年降低5%，实际降低提高6。则,即实际比计划单位成本下降了1.05%.,百分点,相当于百分数的计量单位，一个百分点就指1。,上例中，实际比计划多提高的百分点为（7-5）100=2（个百分点）,实际工作中常用，但并不是相对数,例：某年某地区甲、乙两个公司商品销售额分别为5.4亿元和3.6亿元。则,为无名数，一般用百分数和倍数表示； 反映同类现象数值在同一时间不同总体之间的对比关系。 3. 用来说明现象发展的不均衡程度。,说明,（三）比较相对数,例：我国某年国民收入使用额为19715亿元，其中消费额为12945亿元，积累额为6770亿元。则,为无名数，可用百分数或一比几或几比几表示；用来反映组与组之间的联系程度或比例关系。,说明,（四）比例相对数,例：某年某地区年平均人口数为100万人，在该年度内出生的人口数为8600人。则该地区,一般用、表示。其特点是分子来源于分母，但分母并不是分子的总体，二者所反映现象数量的时间状况不同。,1、无名数的强度相对数,（五）强度相对数,例：某地区某年末现有总人口为100万人，医院床位总数为24700张。则该地区,为用双重计量单位表示的复名数，反映的是一种依存性的比例关系或协调关系，可用来 反映经济效益、经济实力、现象的密集程度等。,2、有名数的强度相对数,是同一指标在不同时间上的对比，又称为发展速度。,动态相对数,为无名数； 用来反映现象的水平在时间上的变动程度。,说明,（六）动态相对数,正确选择对比的基础；指标对比要有可比性；相对指标要与总量指标结合运用；多种相对指标结合运用。,使用相对指标应注意的问题,正确选择对比基础,本单位历史水平本行业（全国）平均（先进）水平,经济发展、价格水平均较为正常的时期,注意指标间的可比性,1998年相对于1997年，美国的GDP增长速度为3.9，同期中国GDP增长速度为7.8，恰好为美国的2倍；但根据同期汇率（1美元兑换8.3元人民币），1998年中国GDP总量约合9671亿美元，约相当于同期美国GDP总量84272亿美元的1/9。,相对指标应当结合总量指标使用,结构相对数比例相对数比较相对数动态相对数计划完成相对数强度相对数,（部分与总体关系）（部分与部分关系）（横向对比关系）（纵向对比关系）（实际与计划关系）（关联指标间关系）,多种相对指标应当结合运用,人口性别比为1.03：1,1999年末我国共有总人口12.6亿人，其中男性人口为6.4亿，女性人口为6.2亿。,男性人口的比重为50.8,比1980年末的9.9亿人增加了28,人口密度是美国的4.5倍,人口密度为130人/平方公里,人口出生率为15.23,女性人口的比重为49.2,第三节 平均指标,平均指标,数值平均数,位置平均数,算术平均数调和平均数几何平均数,中位数众数,基本形式：,例：,直接承担者, 注意区分算术平均数与强度相对数,一、算术平均数,STAT,83名女生的身高,变量一般水平、代表性数值,分布的集中趋势、中心数值,设数据集,数据个数 N,简单算术平均数,式中： 为算术平均数; 为总体单位总数； 为第i 个单位的标志值。,（一）简单算术平均数,解：平均每人日销售额为：,某售货小组5个人，某天的销售额分别为520元、600元、480元、750元、440元，则,【例】,式中： 为算术平均数; 为第 组的次数； 为组数； 为第 组的标志值或组中值。,（二）算术平均数,【例】某企业某日工人的日产量资料如下：,计算该企业该日全部工人的平均日产量。,解：,分析：,起到权衡轻重的作用,决定平均数的变动范围,权数与加权,权数与加权,权数与加权,权数与加权,权数与加权,算术平均数的计算取决于变量值和权数的共同作用：变量值决定平均数的范围；权数则决定平均数的位置,性质 对每一变量给以相同的改变量A，则平均数也有改变量A：,（三）算术平均数的基本性质,性质 对每一变量改变同一倍数，则平均数也改变同一倍数：,性质3. 对每一全书都改变同一倍数，则平均数不变：,性质4. 所有变量与平均数的离差代数和等于零：,离差的概念,-1,-1,-2,1,3,【例】 设X=（2，4，6，8），则其调和平均数可由定义计算如下：,再求算术平均数：,求各标志值的倒数 ： ， ， ，,再求倒数：,是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，又叫倒数平均数,调和平均数,二、调和平均数,简单调和平均数,适用于总体资料未经分组整理、尚为原始资料的情况,式中： 为调和平均数; 为变量值 的个数； 为第 个变量值。,（一）简单调和平均数,加权调和平均数,适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况,式中： 为第 组的变量值； 为第 组的标志总量。,（二）加权调和平均数,当己知各组变量值和标志总量时，作为算术平均数的变形使用。若已知分组资料的各组变量值及各组的权数时，直接用加权算术平均数的公式。,因为：,（三）调和平均数与算术平均数的关系,x、f 为已知,若只知 x 和xf ，而f 未知，则不能使用加权算术平均方式，只能使用其变形即加权调和平均方式。,苹果 单价 购买量 总金额 品种 （元）（公斤） （元）红富士 2 3 6青香蕉 1.8 5 9,计算该企业该日全部工人的平均日产量。,即该企业该日全部工人的平均日产量为12.1375件。,是N项变量值连乘积的开N次方根。,几何平均数,用于计算现象的平均比率或平均速度,应用：,三、几何平均数,比值的平均数的计算方法,由于比值（平均数或相对数）不能直接相加，求解比值的平均数时，需将其还原为构成比值的分子、分母原值总计进行对比,设比值,则有：,统计学第四章 统计特征值,己知 ，采用基本平均数公式,己知 ，采用加权算术平均数公式,己知 ，采用加权调和平均数公式,统计学第四章 统计特征值,比值的平均数的计算方法,【例A】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：,计算该公司该季度的平均计划完成程度。,统计学第四章 统计特征值,比值的平均数的计算方法,【例A】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：,计算该公司该季度的平均计划完成程度。,应采用加权算术平均数公式计算,统计学第四章 统计特征值,比值的平均数的计算方法,【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下（按计划完成程度分组）：,计算该公司该季度的平均计划完成程度。,统计学第四章 统计特征值,比值的平均数的计算方法,【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下（按计划完成程度分组）：,计算该公司该季度的平均计划完成程度。,求解比值的平均数的方法,应采用平均数的基本公式计算,统计学第四章 统计特征值,式中： 为几何平均数; 为变量值的个数； 为第 个变量值。,（一）简单几何平均数,【例】某流水生产线有前后衔接的五道工序。某日各工序产品的合格率分别为95、92、90、85、80，求整个流水生产线产品的平均合格率。,分析：,设最初投产100A个单位 ，则第一道工序的合格品为100A0.95；第二道工序的合格品为（100A0.95）0.92； 第五道工序的合格品为（100A0.950.920.900.85）0.80；,因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品， 故该流水线总的合格品应为 100A0.950.920.900.850.80；则该流水线产品总的合格率为：,即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故需采用几何平均法计算。,因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品， 故该流水线总的合格品应为 100A0.950.920.900.850.80；则该流水线产品总的合格率为：,即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故需采用几何平均法计算。,思考,若上题中不是由五道连续作业的工序组成的流水生产线，而是五个独立作业的车间，且各车间的合格率同前，又假定各车间的产量相等均为100件，求该企业的平均合格率。,因各车间彼此独立作业，所以有 第一车间的合格品为：1000.95； 第二车间的合格品为：1000.92； 第五车间的合格品为：1000.80。则该企业全部合格品应为各车间合格品的总和，即总合格品=1000.95+1000.80,分析：,不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解比值的平均数的方法计算。又因为,应采用加权算术平均数公式计算，即,式中： 为几何平均数; 为第 组的次数； 为组数； 为第 组的标志值或组中值。,（二）加权几何平均数,【例】某金融机构以复利计息。近12年来的年利率有4年为3，2年为5，2年为8，3年为10，1年为15。求平均年利率。,设本金为V，则至各年末的本利和应为：,第1年末的本利和为：,第2年末的本利和为：, ,第12年末的本利和为：,分析：,则该笔本金12年总的本利率为：,即12年总本利率等于各年本利率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故计算平均年本利率应采用几何平均法。,解：,分析,第1年末的应得利息为：,第2年末的应得利息为：,第12年末的应得利息为：, ,设本金为V，则各年末应得利息为：,则该笔本金12年应得的利息总和为：=V（0.034+0.052+0.151）,这里的利息率或本利率不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解比值的平均数的方法计算。因为,假定本金为V,所以，应采用加权算术平均数公式计算平均年利息率，即：,解：,（比较：按复利计息时的平均年利率为6.85）,是否为比率或速度,各个比率或速度的连乘积是否等于总比率或总速度,是否为其他比值,算术平均法,求解比值的平均数的方法,数值平均数计算公式的选用顺序,指标,指总体中出现次数最多的变量值，用 表示,它不受极端数值的影响，用来说明总体中大多数单位所达到的一般水平。,（一）众数,四、位置平均数,解：人均收入出现次数最多的是1080，由此众数为Mo 1080元。,例：在某城市中随机抽取9个家庭，调查得到每个家庭的人均月收入数据如下（单位元），计算人均月收入的众数。108075010801080850960200012501630,1、原始数据的众数的确定。,【例A】已知某企业某日工人的日产量资料如下:,计算该企业该日全部工人日产量的众数。,2、单项数列的众数的确定。,相邻两组的频数相等时，众数组的组中值即为众数,相邻两组的频数不相等时，众数采用下列近似公式计算,上限公式：,下限公式：,步骤：(1)首先确定众数所在的组,3、组距数列的众数的确定,(2)利用相应公式计算众数,身高 人数 比重 （CM） （人） （%） 150-155 3 3.61 155-160 11 13.25 160-165 34 40.96 165-170 24 28.92 170以上 11 13.25 总计 83 100,某年级83名女生身高资料,概约众数：众数所在组的组中值，在本例为162.5cm,【例B】某车间50名工人月产量的资料如下：,计算该车间工人月产量的众数。,当数据分布存在明显的集中趋势，且有显著的极端值时，适合使用众数；当数据分布的集中趋势不明显或存在两个以上分布中心时，不适合使用众数（前者无众数，后者为双众数或多众数，也等于没有众数）,4、众数的原理及应用,413名学生出生时间分布直方图,（无众数）,（双众数）,当数据分布呈现出双众数或多众数时，可以断定这些数据来源于不同的总体。,将总体各单位标志值按大小顺序排列后，指处于数列中间位置的标志值，用 表示,（二）中位数,不受极端数值的影响，在总体标志值差异很大时，具有较强的代表性。,1、中位数的作用：,中位数把标志值数列分为两个部分,一部分标志值小于或等于它,另一部分标志值大于或等于它.,2、中位数的确定,(1) 未分组数据中位数的确定,设一组资料有n个数值从小到大排列x1 ,x2 ,xn，处在数列的中点位置的数值，就是中位数，记作：Me。,原始数据: 24 22 21 26 20排 序: 20 21 22 24 26位 置: 1 2 3 4 5,中位数 22,例：,原始数据: 10 5 9 12 6 8排 序: 5 6 8 9 10 12位 置: 1 2 3 4 5 6,例：,中位数的位次为：,即第3个单位的标志值就是中位数,中位数的位次为,中位数应为第3和第4个单位标志值的算术平均数，即,【例】某企业某日工人的日产量资料如下：,计算该企业该日全部工人日产量的中位数。,中位数的位次：,(2) 单项数列中位数的确定,共 个单位,共 个单位,共 个单位,共 个单位,L,U,中位数组,组距为h,共 个单位,假定该组内的单位呈均匀分布,中位数下限公式为,(3)组距数列中位数的确定,【例】某车间50名工人月产量的资料如下：,计算该车间工人月产量的中位数。,a.中位数一定存在；b.中位数与算术平均数相近；c.中位数不受极端值影响，只受中间位置标志值的影响；d.变量值与中位数离差绝对值之和最小。,（4）中位数的作用及用法,变量值34556910中位数 5平均值 6与中位数离差 -2 -1 0 0 1 4 5与平均数离差 -3 -2 -1 -1 0 3 4,绝对数值之和 13 14,变量值与中位数离差绝对值之和最小。,（三）中位数、众数和算术平均数的关系,1、运用中位数、众数、算术平均数的数量关系判断总体分布特征。,2、利用位置平均数与算术平均数的关系进行推算。,若分布偏斜程度不大，算术平均数、中位数、众数存在一定的比例关系，即：,由此可推出以下三个公式：,（四）分位数,1、四分位数,将总体各单位标志值按大小顺序排列后，用三个点或三个数值将数列分成四个等份，这三个点Q1、Q2和Q3所分别对应的数值称为四分位数。,处于25%和75%位置上的值Q1和Q3称为（下、上）四分位数,四分位数位置的确定,原始数据: 23 21 30 32 28 25 26排 序: 21 23 25 26 28 30 32位 置: 1 2 3 4 5 6 7,Q1= 23,Q3= 30,【例】,2、十分位数,将总体各单位标志值按大小顺序排列后，用九个数值将数列分成十等份，这九个点所对应单元的标志值称为十分位数。,未分组数据：,十分位数D1的位置 =,十分位数D2的位置 =,十分位数位置的确定,十分位数D9的位置 =, ,第四节 变异指标,（一）变异指标的概念,统计上用来反映总体各单位标志值之间差异程度和平均数的代表程度的综合指标，也称做标志变动度。,平均指标是一个代表性数值，它反映总体各单位某一数量标志的一般水平，而把总体各单位之间的差异抽象化了。但总体各单位之间的差异是客观存在的，这种差异也是统计总体的重要特征之一。因此，要全面反映一个总体的特征，还必须测定总体各单位之间差异程度。,一、变异指标概述,1、可以揭示数据分布的离中趋势；,2、是衡量均值代表性高低的尺度；,（二）变异指标的作用,3、可以反映社会经济活动过程的均衡性和稳定性,二、标志变异指标的种类,指所研究的数据中，最大值与最小值之差，又称全距。,1. 极差,【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：,计算该公司该季度计划完成程度的全距。,优点:计算方法简单、易懂；缺点:易受极端数值的影响，不能全面反映所有标志值差异大小及分布状况，准确程度差,往往应用于生产过程的质量控制中,极差的特点,是从变量数列中剔除了最大和最小的部分极端值之后，对剩下来的单元计算的极差称为分位差。常用的分位差为四分位差。即：,2. 分位差,排除了少数极端值对分布变异范围的异常影响； 分为程度越高，分位差排除的极端值的比例就越小。,分位差的特点, 简单平均差适用于未分组资料,是各个数据与其算术平均数的离差绝对值的算术平均数，用A.D 表示,3. 平均差,计算公式：,【例A】某售货小组5个人，某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元，求该售货小组销售额的平均差。,解：,即该售货小组5个人销售额的平均差为93.6元, 加权平均差适用于分组资料,【例B】计算下表中某公司职工月工资的平均差,解：,即该公司职工月工资的平均差为138.95元,优点:不易受极端数值的影响，能综合反映全部单位标志值的实际差异程度；缺点:用绝对值的形式消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题，不便于作数学处理和参与统计分析运算。,平均差的特点,一般情况下都是通过计算另一种标志变异指标标准差，来反映总体内部各单位标志值的差异状况, 简单标准差适用于未分组资料,计算公式：,总体算术平均数,【例A】某售货小组5个人，某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元，求该售货小组销售额的标准差。,解：,（比较：其销售额的平均差为93.6元）,即该售货小组销售额的标准差为109.62元。, 加权标准差适用于分组资料,【例B】计算下表中某公司职工月工资的标准差。,解：,（比较：其工资的平均差为138.95元）,即该公司职工月工资的标准差为167.9元。,由同一资料计算的标准差的结果一般要略大于平均差。证明：当a,b,c0时，有,标准差的特点,不易受极端数值的影响，能综合反映全部单位标志值的实际差异程度；用平方的方法消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题，可方便地用于数学处理和统计分析运算.,标准差的简捷计算,平均差与标准差的大小不仅与数据的离差状况有关，而且与变量值的平均水平有关，故当两个总体的平均数不等就不能用其来度量变量值的离散程度及平均数的代表性； 平均差与标准差受计量单位、研究对象的影响，故不同对象、不同单位的平均差或标准差之间没有可比性.,平均差与标准差的局限,可比,身高的差异水平：cm,体重的差异水平：kg,可比,5. 离散系数,各种变指标与其算术平均数之比。一般用V表示。,【例】某年级一、二两班某门课的平均成绩分别为82分和76分，其成绩的标准差分别为15.6分和14.8分，比较两班平均成绩代表性的大小。,解：,一班成绩的标准差系数为：,二班成绩的标准差系数为：,因为 ，所以一班平均成绩的代表性比二班大。,第五节 偏态与峰度,一、偏态及其测定,指分布数列的不对称性。,非对称的，偏斜的分布,对称的、高度适中的分布,既偏斜又低平的分布,偏态系数小于0，平均数在众数之左，是一种左偏分布，又称负偏。,偏态系数大于0，平均数在众数之右，是一种右偏分布，又称为正偏。,（一）皮尔逊偏态测定法,Pearson