广西柳州高中2015-2016年高一上12月月考数学试卷及答案解析

第 1 页（共 21 页） 2015年广西柳州高中高一（上） 12 月月考数学试卷 一、选择题 （ 12题，每题 5 分，共 60分） 1已知集合 A=x|1=0，则下列式子表示正确的有（ ） 1A 1AA 1， 1A A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2集合 xN|x=5 2n， nN的非空真子集个数是（ ） A 2 B 3 C 6 D 7 3下列表示同一个函数的是（ ） A y=y= 与 C y=y= D 与 y=已知 a=b=c=（ ） A a c b B a b c C c a b D c b a 5已知幂函数 f（ x）的图象经过（ 9， 3），则 f（ 2） f（ 1） =（ ） A 3 B C D 1 6已知函数 f（ x）与 g（ x）的图象在 R 上不间断，由下表知方程 f（ x） =g（ x）有实数解的区间是（ ） x 1 0 1 2 3 f（ x） g（ x） （ 1， 0） B（ 0， 1） C（ 1， 2） D（ 2， 3） 7在下列图象中，二次函数 y=指数函数 y=（ ） ） 第 2 页（共 21 页） A B C D 8若函数 y=f（ x）的值域是 ，则函数 的值域是（ ） A B C D 9在 y=x|， y=|， ， 四个函数中，周期为 的有（ ）个 A 3 B 2 C 1 D 0 10若 = ，则 的值是（ ） A B C 2 D 2 11 f（ x）是定义在区间 c， c上的奇函数，其图象如图所示：令 g（ x） =x） +b，则下列关于函数 g（ x）的叙述正确的是（ ） A若 a 0，则函数 g（ x）的图象关于原点对称 B若 a= 1， 2 b 0，则方程 g（ x） =0 有大于 2 的实根 C若 a0， b=2，则方程 g（ x） =0 有两个实根 D若 a1， b 2，则方程 g（ x） =0 有三个实根 第 3 页（共 21 页） 12设函数 y=f（ x）定义域为 D，若对于任意 且 x1+a，恒有 f（ +f（ =2b，则称点（ a， b）为函数 y=f（ x）图象的对称中心研究并利用函数 f（ x） =3x）的对称中心，计算的值（ ） A 8058 B 8058 C 8060 D 8060 二、填空题 （ 4题，每题 5 分，共 20分） 13设全集 U 是实数集 R， M=x|4， N 为函数 y=4x 3 定义域，则图中阴影部分所表示的集合是 14已知 f（ x）是定义域为 R 的奇函数，当 x 0 时， f（ x） = 4x+1，写出分段函数 f（ x）的解析式 15设函数 f（ x） =x+）， A 0， 0， 若 f（ x）在区间 ， 上具有单调性，且 f（ ） =f（ ） = f（ ），则 f（ x）的最小正周期为 16已知一个四次方程至多有四个根，记为 ， k4）若方程 x4+4=0 各个实根 所对应的点 均在直线 y=实数 三、解答题（第 17 题 10分，第 182分，共 70 分） 17化简、求值： （ 1）求 的值； （ 2）已知 ， 0，求 的值 第 4 页（共 21 页） 18已知 y=f（ x） =x+）， A 0， 0， | 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，相邻两个最值点间的距离为 ，图象过点（ 0， 1） （ 1）求函数解析式； （ 2）把 y=f（ x）图象向右平移 m（ m 0）个单位，所得图象关于 x= 对称，求 m 的最小值 19设集合 A=y|y=2x+1， x 1， B=x| 1 a1+a，若 A B=B， （ 1）求集合 A； （ 2）求实数 a 的取值范围 20已知 ，求： （ 1）单调增区间、对称中心； （ 2）当 时，求 f（ x）值域； （ 3）当 x ， 时，解不等式 y0 21某企业为打入国际市场，决定从 A、 B 两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如表：（单位：万美元） 年固定成本 每件产品成本 每件产品销售价 每年最多可生产的件数 A 产品 20 m 10 200 B 产品 40 8 18 120 其中年固定成本与年生产的件数无关， m 是待定常数，其值由生产 A 产品的原材料决定，预计 m6， 8，另外，年销售 x 件 B 产品时需上交 设生产出来的产品都能在当年销售出去 （ 1）求该厂分别投资生产 A、 B 两种产品的年利润 生产相应产品的件数 x 之间的函数关系，并求出其定义域； （ 2）如何投资才可获得最大年利润？请设计相关方案 22已知 f（ x）是定义在 1， 1上的奇函数，且 f（ 1） =1，若 a， b 1， 1，且 a+b0，有恒成立 （ 1）判断 f（ x）在 1， 1上的单调性，并证明你的结论； 第 5 页（共 21 页） （ 2）解不等式 f（ f（ 解集； （ 3）若 f（ x） 2 对所有的 x 1， 1， a 1， 1恒成立，求实数 m 的取值范围 第 6 页（共 21 页） 2015年广西柳州高中高一（上） 12 月月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 （ 12题，每题 5 分，共 60分） 1已知集合 A=x|1=0，则下列式子表示正确的有（ ） 1A 1AA 1， 1A A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【考点】 集合的包含关系判断及应用 【专题】 集合思想；定义法；集合 【分析】 先表示出集合 A= 1， 1，再根据集合与元素，集合与集合间的关系对各式作出判断，其中 是正确的 【解答】 解：因为 A=x|1=0= 1， 1，则： 1A，所以 正确； 1A，所以 不正确； A，所以 不正确； 1， 1A，所以 正确； 因此，正确的式子有 2 个， 故答案为： B 【点评】 本题主要考查了集合的包含关系的判断和应用，涉及集合的表示，子集的概 念和空集的应用，属于基础题 2集合 xN|x=5 2n， nN的非空真子集个数是（ ） A 2 B 3 C 6 D 7 【考点】 子集与真子集 【专题】 集合思想；综合法；集合 【分析】 先求出集合中元素的个数，从而求出其非空真子集个数即可 【解答】 解： n=0 时： x=5， n=1 时： x=3， n=2 时： x=1， 第 7 页（共 21 页） 故集合共有 3 个元素， 其非空真子集个数是： 23 2 个， 故选： C 【点评】 本题考察了子集和真子集的定义，是一道基础题 3下列表示同一个函数的是（ ） A y=y= 与 C y=y= D 与 y=考点】 判断两个函数是否为同一函数 【专题】 函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 对于 A， B 可以通过求定义域，由定义域不同判断不是同一函数，而 C 的两函数的定义域和对应法则都相同，从而判断出为同一函数， D 根据三角函数的诱导 公式得到这两函数的对应法则不同，不是同一函数 【解答】 解： A y=， y=0， +），定义域不同，不是同一函数； B 的定义域为 0， +）， 的定义域为 R，定义域不同，不是同一函数； C y=， ，这两函数的定义域都是 x|x0， 是同一函数，即该选项正确； D. ，与 y=对应法则不同，不是同一函数 故选： C 【点评】 考查函数的三要素：定义域、值域和对应法则，而由定义域和对应法则即可确定一个函数，从而知道判断两函数是否为同一函数的方法为：求定义域和对应法则 4已知 a=b=c=（ ） A a c b B a b c C c a b D c b a 【考点】 对数值大小的比较 【专题】 计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 利用对数函数、三角函数、指数函数的单调性 求解 【解答】 解： a=， b=0， 0 c=， 第 8 页（共 21 页） a c b 故选： A 【点评】 本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、三角函数、指数函数的单调性的合理运用 5已知幂函数 f（ x）的图象经过（ 9， 3），则 f（ 2） f（ 1） =（ ） A 3 B C D 1 【考点】 幂函数的 概念、解析式、定义域、值域 【专题】 计算题 【分析】 求出幂函数的解析式，然后求解 f（ 2） f（ 1）的值即可 【解答】 解：设幂函数 f（ x） =的图象经过（ 9， 3），所以 3=9a， a= 所以幂函数为 f（ x） = ， 所以 f（ 2） f（ 1） = 故选 C 【点评】 本题考查幂函数的解析式的求法，函数值的求法，考查计算能力 6已知函数 f（ x）与 g（ x）的图象在 R 上不间断，由下表知方程 f（ x） =g（ x）有实数解的区间是（ ） x 1 0 1 2 3 f（ x） g（ x） （ 1， 0） B（ 0， 1） C（ 1， 2） D（ 2， 3） 【考点】 函数零点的判定定理 【专题】 计算题；函数的性质及应用 【分析】 构造函数 F（ x） =f（ x） g（ x），则由题意， F（ 0） =0， F（ 1） =0，即可得出结论 【解答】 解：构造函数 F（ x） =f（ x） g（ x），则由题意， F（ 0） =0， F（ 1） =0， 函数 F（ x） =f（ x） g（ x）有零点的区间是（ 0， 1）， 方程 f（ x） =g（ x）有实数解的区间是（ 0， 1）， 第 9 页（共 21 页） 故选： B 【点评】 本题考查方程 f（ x） =g（ x）有实数解的区间，考查函数的零点，考查学生的计算能力，属于基础题 7在下列图象中，二次函数 y=指数函数 y=（ ） ） A B C D 【考点】 函数的图象 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 根据二次函数的对称轴首先排除 B、 D 选项，再根据 a b 的值的正负，结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案 【解答】 解：根据指数函数 y=（ ） a， b 同号且不相等 则二次函数 y=对称轴 0 可排除 B 与 D 选项 C， a b 0， a 0， 1，则指数函数单调递增，故 C 不正确 故选： A 【点评】 本题考查了同一坐标系中指数函数图象与二次函数图象的关系，根据指数函数图象确定出 a、 8若函数 y=f（ x）的值域是 ，则函数 的值域是（ ） A B C D 【考点】 基本不等式在最值问题中的应用 【分析】 先换元，转化成积定和的值域，利用基本不等式 【解答】 解：令 t=f（ x），则 ， 则 y=t+ =2 当且仅当 t= 即 t=1 时取 “=”， 第 10 页（共 21 页） 所以 y 的最小值为 2 故选项为 B 【点评】 做选择题时，求得最小值通过排除法得值域； 考查用基本不等式求最值 9在 y=x|， y=|， ， 四个函数中，周期为 的有（ ）个 A 3 B 2 C 1 D 0 【考点】 三角函数的周期性及其求法 【专题】 计算题；数形结合；分析法；三角函数的图像与性质 【分析】 根据三角函数的周期性，先求出各个函数的周期，从而得出结论 【解答】 解：由于函数 y=x|没有周期性，故不满足条件 由于 f（ x+） y=|x+） |=| |=|=f（ x），故不满足条件 由于 y=x ）的周期 T= =2，故不满足条件 由于 y=2x+ ）的周期为 ，故不满足条件 故选： D 【点评 】 本题主要考查三角函数的周期性和求法，考查分析与运算能力，属于基础题 10若 = ，则 的值是（ ） A B C 2 D 2 【考点】 同角三角函数基本关系的运用 【专题】 三角函数的求值 【分析】 原式分子分母同乘以 ，化简后代入已知即可求值 【解答】 解： = ， = = = = 故选： A 【点评】 本题主要考查了同角三角 函数基本关系的运用，属于基本知识的考查 第 11 页（共 21 页） 11 f（ x）是定义在区间 c， c上的奇函数，其图象如图所示：令 g（ x） =x） +b，则下列关于函数 g（ x）的叙述正确的是（ ） A若 a 0，则函数 g（ x）的图象关于原点对称 B若 a= 1， 2 b 0，则方程 g（ x） =0 有大于 2 的实根 C若 a0， b=2，则方程 g（ x） =0 有两个实根 D若 a1， b 2，则方程 g（ x） =0 有三个实根 【考点】 奇函数 【专题】 压轴题 【分析】 奇函数的 图象关于原点对称；当 a0 时 x）与 f（ x）有相同的奇偶性； f（ x） +b 的图象可由f（ x）上下平移得到 充分利用以上知识点逐项分析即可解答 【解答】 解： 若 a= 1， b=1，则函数 g（ x）不是奇函数，其图象不可能关于原点对称，所以选项 A 错误； 当 a= 1 时， f（ x）仍是奇函数， 2 仍是它的一个零点，但单调性与 f（ x）相反，若再加 b， 2 b 0，则图象又向下平移 b 个单位长度，所以 g（ x） = f（ x） +b=0 有大于 2 的实根，所以选项 B 正确； 若 a= ， b=2，则 g（ x） = f（ x） +2，其图象由 f（ x）的图象向上平移 2 个单位长度，那么 g（ x）只有 1 个零点，所以 g（ x） =0 只有 1 个实根，所以选项 C 错误； 若 a=1， b= 3，则 g（ x）的图象由 f（ x）的图象向下平移 3 个单位长度，它只有 1 个零点，即 g（ x）=0 只有一个实根，所以选项 D 错误 故选 B 【点评】 本题考查奇函数的图象特征及函数 x）与 f（ x）的奇偶性关系，同时考查由 f（ x）到 f（ x）+b 的图象变化 第 12 页（共 21 页） 12设函数 y=f（ x） 定义域为 D，若对于任意 且 x1+a，恒有 f（ +f（ =2b，则称点（ a， b）为函数 y=f（ x）图象的对称中心研究并利用函数 f（ x） =3x）的对称中心，计算的值（ ） A 8058 B 8058 C 8060 D 8060 【考点】 正弦函数的奇偶性 【专题】 转化思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 观察到自变量前后对称相加和为定值 2，故令 a=1， x1+，求得 f（ +f（ = 4，从而求得要求式子的值 【解答】 解：观察到自变量前后对称相加和为定值 2，故令 a=1， x1+， ，为定值， ， 故 2S= 44029， S= 8058 故选： A 【点评】 本题主要考查正弦函数的函数的图象的对称性，求函数的值，属于中档题 二、填空题 （ 4题，每题 5 分，共 20分） 13设全集 U 是实数集 R， M=x|4， N 为函数 y=4x 3 定义域 ，则图中阴影部分所表示的集合是 x|1 x2 【考点】 表达集合的关系及运算；交、并、补集的混合运算 【专题】 数形结合；定义法；集合 【分析】 由图象可知阴影部分对应的集合为 N（ 然后根据集合的基本运算即可 【解答】 解： M=x|4=x|x 2 或 x 2， 由 4x 3 0，得 1 x 3，即 N=x|1 x 3， 由图象可知阴影部分对应的集合为 N（ x| 2x2， 第 13 页（共 21 页） N（ =x|1 x2； 故答案为： x|1 x2 【点评】 本题主要考查集合的基本运算，利用 确定集合的关系是解决本题的关键 14已知 f（ x）是定义域为 R 的奇函数，当 x 0 时， f（ x） = 4x+1，写出分段函数 f（ x）的解析式 【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】 转化思想；转化法；函数的性质及应用 【分析】 根据函数奇偶性的性质即可得到结论 【解答】 解： f（ x）是定义域为 R 的奇函数， f（ 0） =0， 若 x 0， 则 x 0， 即当 x 0 时， f（ x） =4x+1= f（ x）， 即 f（ x） = 4x 1， 则 ； 故答案为： ； 【点评】 本题主要考查函数解析式的求解，利用函数奇偶性的对称性是解决本题的关键 15设函数 f（ x） =x+）， A 0， 0，若 f（ x）在区间 ， 上具有单调性 ，且 f（ ） =f（ ） = f（ ），则 f（ x）的最小正周期为 【考点】 三角函数的周期性及其求法 【专题】 三角函数的图像与性质 第 14 页（共 21 页） 【分析】 依题意，可知 x= = 为 f（ x） =x+）的一条对称轴，且（ ， 0）即（ ，0）为 f（ x） =x+）的一个对称中心，从而可得 T= = ，继而可求得 f（ x）的最小正周期 【解答】 解： f（ x） =x+）在区间 ， 上具有单调性， 0， T= = ， 即 ， 0 3； 又 f（ ） =f（ ） = f（ ）， x= = 为 f（ x） =x+）的一条对称轴，且（ ， 0）即（ ， 0）为 f（ x） =x+）的一个对称中心， 依题意知， x= 与（ ， 0）为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心， T= = = ， 解得： =2（ 0， 3， T= =， 故答案为： 【点评】 本题考查三角函数的周期性及其求法，确定 x= 与（ ， 0）为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心是关键 ，也是难点，属于难题 16已知一个四次方程至多有四个根，记为 ， k4）若方程 x4+4=0 各个实根 所对应的点 均在直线 y=x 的同侧，求实数 a 的取值范围 a 6 或 a 6 【考点】 根的存在性及根的个数判断；二元一次不等式（组）与平面区域 【专题】 数形结合；转化法；函数的性质及应用 【分析】 原方程等价于 x3+a= ，原方程的实根是曲线 y=x3+a 与曲线 y= 的交点的横坐标，分别作出左右两边函数的图象：分 a 0 与 a 0 讨论，可得答案 第 15 页（共 21 页） 【解答】 解：方程的根显然 x0，原方程等价于 x3+a= ， 原方程的实根是曲线 y=x3+a 与曲线 y= 的交点的横坐标， 而曲线 y=x3+a 是由曲线 y=上或向下平移 |a|个单位而得到的， 若交点 （ i=1， 2， ， k）均在直线 y=x 的同侧， 因直线 y=x 与 y= 交点为：（ 2， 2），（ 2， 2）； 所以结合图象可得 或 ， 解得 a 6 或 a 6 故答案为： a 6 或 a 6 【点评】 本题综合考查函数与方程的应用，数形结合是数学解题中常用的思想 方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质考查学生的转化二行推理能力 三、解答题（第 17 题 10分，第 182分，共 70 分） 17化简、求值： 第 16 页（共 21 页） （ 1）求 的值； （ 2）已知 ， 0，求 的值 【考点】 运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用 【专题】 计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值 【分析】 （ 1）利用对数式的运算性质和运 算法则即可求解 （ 2）利用同角三角函数基本关系式即可得解 诱导公式化简所求即可求值 【解答】 解：（ 1）原式 = （ 2）原式 = ， 0， 在第一或第三象限， 又 0， ， 故原式 = 【点评】 本题主要考查了指数式和对数式的运算，同角三角函 数基本关系式，诱导公式的应用，解题时要注意运算法则和运算性质的合理运用，是基础题 18已知 y=f（ x） =x+）， A 0， 0， | 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，相邻两个最值点间的距离为 ，图象过点（ 0， 1） （ 1）求函数解析式； （ 2）把 y=f（ x）图象向右平移 m（ m 0）个单位，所得图象关于 x= 对称，求 m 的最小值 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式；函数 y=x+）的图象变换 【专题】 计算题；数形结合；分析法；三角函数的图像与性质 【分析】 （ 1）由 ，利用周期公式可求 ，利用已知及勾股定理可求 A 的值，代入（ 0， 1），结合范围 ，即可求的 的值，即可得解函数解析式 第 17 页（共 21 页） （ 2）利用函数 y=x+）的图象变 换可得：，由题意可得 ，结合 m 0，即可得解 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ 1） ， ， f（ x） =22x+） 代入（ 0， 1）得 ， ， （ 2）平移后得 代入 ，则 ， 令 m 0，令 k=0 得 【点评】 本题主要考查了由 y=x+）的部分图象确定其解析式，函数 y=x+）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质 的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题 19设集合 A=y|y=2x+1， x 1， B=x| 1 a1+a，若 A B=B， （ 1）求集合 A； （ 2）求实数 a 的取值范围 【考点】 指数函数的定义、解析式、定义域和值域 【专题】 分类讨论；转化法；函数的性质及应用；集合 【分析】 （ 1）根据指数函数的图象与性质，化简集合 A 即可； （ 2）化简集合 B，根据集合的运算性质，把问题转化为讨论 a 的取值，解对应不等式的问题 【解答】 解：（ 1） x 1， 0 2x 2， 1 2x+1 3， 第 18 页（共 21 页） 故 A=y|1 y 3； （ 2） A B=B， AB， 不等式 1 a1+a 等价于 2 aaxa， 当 a 0 时， ， AB， 13，解得 a 0； 当 a 0 时，则 ，不满足 AB； 当 a=0 时，则 B=R，满足 AB； 综上， a 的取值范围是： 【点评】 本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，也考查了集合的化简与运算问题，考查了分类讨论思想与转化法的应用问题，是综合性题目 20已知 ，求： （ 1）单调增区间、对称中心； （ 2）当 时，求 f（ x）值域； （ 3）当 x ， 时，解不等式 y0 【考点】 三角函数的最值；复合三角函数的单调性 【专题】 计算题；函数思想；数学模型法；三角 函数的图像与性质 【分析】 （ 1）由相位在余弦函数的增区间内求解 x 的范围得函数的增区间，再由相位的终边落在 y 轴上求解 x 的取值集合得到函数的对称中心； （ 2）由 x 的范围求得 的范围，进一步求得函数的值域； （ 3）求解三角不等式，与 x ， 取交集得答案 【解答】 解：（ 1）由 ，解得 ， 函数的单调增区间为 ； 由 ，故对称中心为 ； （ 2） ， ， 当 时， ， 第 19 页（共 21 页） 当 时， ， 故值域 ； （ 3）原不等式 ， ，解得 ， 令 ，令 ，令 ， 又 x， 取交集得原不等式解集为 【点评】 本题考查三角函数的图象和性质，考查了复合函数的单调性，复合函数的单调性满足同增异减的原则，是中档题 21某企业为打入国际市场，决定从 A、 B 两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如表：（单位：万美元） 年固定成本 每件产品成本 每件产品销售价 每年最多可生产的件数 A 产品 20 m 10 200 B 产品 40 8 18 120 其中年固定成本与年生产的件数无关， m 是待定常数，其值由生产 A 产品的原材料决定，预 计 m6， 8，另外，年销售 x 件 B 产品时需上交 设生产出来的产品都能在当年销售出去 （ 1）求该厂分别投资生产 A、 B 两种产品的年利润 生产相应产品的件数 x 之间的函数关系，并求出其定义域； （ 2）如何投资才可获得最大年利润？请设计相关方案 【考点】 函数最值的应用 【专题】 应用题；作差法 【分析】 （ 1）利润 =年销售收入固定成本产品成本特别关税，可求得该厂分别投资生产 A、 B 两种产品的年利润 生产相应产品的件数 x 之间的函数关系和定义域；（ 2）作差法比较 年利润 确定 计相关方案 【解答】 解：（ 1） 0x（ 20+=（ 10 m） x 20， 0 x200，且 xN 8x（ 8x+40） 0x 40， 0 x120 且 xN （ 2） 6m8 第 20 页（共 21 页） 10 m 0