2016年内蒙古呼和浩特市高考数学二模试卷（理）含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年内蒙古呼和浩特市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5分，满分 60分） 1已知复数 z 满足 =i，则 z 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知集合 A=y|y=2x+1， B=x|x2+x 0， AB=（ ） A x|x 0 B x| 1 x 1 C x|x 1 D x|x 0 或 x 1 3函数 f（ x） =x+1） 的零点所在区间是（ ） A（ ， 1） B（ 1， e 1） C（ e 1， 2） D（ 2， e） 4阅读程序框图，若输出 S 的值为 14，则判断框内可填写（ ） A i 6？ B i 8？ C i 5？ D i 7？ 5已知正项等比数列 前 n 项和为 a2+ 等于（ ） A 5 B 6 C 8 D 9 6不等式组 表示的平面区域的整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ） A 23 B 21 C 19 D 18 7某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（ ） 第 2 页（共 21 页） A B C D 8 | |=1， | |=2， =0，点 D 在 ，且 0，设 = + （ ，R），则 等于（ ） A 3 B C D 2 9已知函数 f（ x） =x+）的图象如图所示， f（ ） = ，则 f（ ） =（ ）A B C D 10已知点 A（ 0， 2），抛物线 C： y2=m 0）的焦点为 F，射线 抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点 N，若 | |1： ，则三角形 面积为（ ） A 2 B 2 C 4 D 2 11已知平面 截一球面得圆 M，过圆心 M 与 成 60二面角的平面 截该球面得圆 N，若该球的表面积为 64，圆 M 的面积为 4，则圆 N 的半径为（ ） A B 3 C D 12已知 a 0，则 x 的方程 ax=b 的充要条件是（ ） A xR， xR， xR， xR， 、填空题（共 4小题，每小题 5分，满分 20分） 13双曲线 4 的虚轴长是 14从 5 台甲型和 4 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少要有甲型与乙型电视机各 1台，则不同的取法共有 种 第 3 页（共 21 页） 15孙子算经卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ （只需写出一个答案即可） 16已知数列 各项均为正整数，对于 nN*有 = （ 其中 k 为使 为奇数的正整数） 1 时， 三、解答 题（共 5小题，满分 60分） 17已知函数 f（ x） = （ ）若 f（ a） = ，求 a+ ）的值； （ ）在 ，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，且满足（ 2a c） f（ A） = ，试证明： a2+b2+c2=ab+bc+ 18如图，在四棱锥 P ，底面 菱形， 0， 平面 D=，点 E， F 分别为 点 （ ）求证：直线 平面 （ ）求 平面 成角的正弦值 19某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为 河流发生洪水的概率为 假设两河流发生洪水与否互不影响）现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下两种方案： 方案 1：建一保护围墙，需花费 1000 元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约 56000 元； 方案 2：不采取措施，此时，当两条河流都发生洪水时损失为 60000 元，只有一条河流发生洪水时，损失为 10000 元 （ ）试求方案 2 中损失费 （随机变量）的分布列及期望； （ ）试比较哪一种方案好 20在直角坐标系 ，已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆 E 的离心率为 ，且过点 M（ 2， 3） （ ）求椭圆 E 的方程； （ ）设 P 是椭圆 E 上一点，过 P 作 两条斜率之积 的直线 椭圆 E 的右焦点 C 为圆心 为半径作圆，当直线 与圆 C 相切时，求 P 的坐标 第 4 页（共 21 页） 21已知函数 f（ x） = a 1） x，其中 aR （ ）当 a0 时，讨论函数 f（ x）的单调性； （ ）若对任意 1， ），且 x1 1 恒成 立，求 a 的取值范围 请考生在 22、 23、 24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22已知 ， C， D 为 接圆劣弧 上的点（不与点 A， C 重合），延长 E，延长 延长线于 F （ 1）求证： （ 2）求证： CDB 选修 4标系与参数方程 23在直角坐标系 ，射线 参数方程为 （ t 为参数， t0），以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 =2 （ ）求射线 极坐标方程； （ ）已知直线 l 的极坐标方程是 2+ ） =3 ，射线 曲线 C 的交点为 O、P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 长 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x 2a|+|x a|， xR， a0 （ 1）当 a=1 时，解不等式： f（ x） 2 （ 2）若 bR，证明： f（ b） f（ a），并求在等号成立时 的范围 第 5 页（共 21 页） 2016 年内蒙古呼和浩特市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5分，满分 60分） 1已知复数 z 满足 =i，则 z 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四 象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算求得 z，则答案可求 【解答】 解：由 =i，得 z i=（ 1 i） z=i， z 在复平面内对应的点的坐标为（ ），位于第二象限 故选： B 2已知集合 A=y|y=2x+1， B=x|x2+x 0， AB=（ ） A x|x 0 B x| 1 x 1 C x|x 1 D x|x 0 或 x 1 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 A 中 y 的范围确定出 A，求出 B 中 x 的范围确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解：由 A 中 y=2x+1 1，得到 A=y|y 1， 由 B 中不等式变形得： x（ x+1） 0， 解得： x 1 或 x 0，即 B=x|x 1 或 x 0， 则 AB=x|x 1， 故选： C 3函数 f（ x） =x+1） 的零点所在区间是（ ） A （ ， 1） B（ 1， e 1） C（ e 1， 2） D（ 2， e） 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 函数 f（ x） =x+1） 的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反 【解答】 解： f（ e 1） =1 = 0， f（ 2） =1 1=0， 函数 f（ x） =x+1） 的零点所在区间是 （ e 1， 2）， 故选 C 第 6 页（共 21 页） 4阅读程序框图，若输出 S 的值为 14，则判断框内可填写（ ） A i 6？ B i 8？ C i 5？ D i 7？ 【考点】 程序框图 【分析】 设计循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决 【解答】 解：第一次执行循环体时， S=1， i=3；第二 次执行循环时， S= 2， i=5；第三次执行循环体时， S= 7， i=7，第四次执行循环体时， S= 14， i=8， 所以判断框内可填写 “i 8？ ”， 故选 B 5已知正项等比数列 前 n 项和为 a2+ 等于（ ） A 5 B 6 C 8 D 9 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 利用等比数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：设正项等比数列 公比为 q 0， a2+ ，化为 q2+q 6=0， 解得 q=2 则 = = =9 故选： D 6不等式组 表示的平面区域的整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ） A 23 B 21 C 19 D 18 第 7 页（共 21 页） 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，分 别令 x=0， 1， 2， 3， 4 解不等式组即可得到结论 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图； 当 x=0 时，不等式组等价为 ，即 0y6，此时 y=0， 1， 2， 3， 4， 5， 6，有 7 个整点， 当 x=1 时，不等式组等价为 ，即 1y ，此时 y=1， 2， 3， 4， 5，有 5 个整点， 当 x=2 时，不等式组等价为 ，即 2y5，此时 y=2， 3， 4， 5，有 4 个整点， 当 x=3 时，不等式组等价为 ，即 3y ，此时 y=3， 4，有 2 个整点， 当 x=4 时，不等式组等价 ，即 y=4，此时 y 有 1 个整点， 当 x5 时，不等式组无解， 综上共有 7+5+4+2+1=19 个， 故选： C 7某几何体的三 视图如图所示，则其侧面积为（ ） A B C D 第 8 页（共 21 页） 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 从三视图可以推知，几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，易求侧面积 【解答】 解：几何体是四棱锥，底面是一个直角梯 形，一条侧棱垂直底面 且底面直角梯形的上底为 1，下底为 2，高为 1，四棱锥的高为 1 四个侧面都是直角三角形， 其中 高 = = 故其侧面积是S=S 故选 A 8 | |=1， | |=2， =0，点 D 在 ，且 0，设 = + （ ，R），则 等于（ ） A 3 B C D 2 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【分析】 =0， ， ，建立平面直角坐标系，分别写出 B、 C 点坐标，由于 0，设 D 点坐标为（ y， y），由平面向量坐标表示，可求出 和 【解答】 解：由 =0， ， ， 以 A 为原点，以 所在的直线为 x 轴正半轴，以 所在的直线为 y 轴的正半轴， 则 B 点坐标为（ 1， 0）， C 点坐标为（ 0， 2）， 0设 D 点坐标为（ y， y）， = + （ ， R）， 即（ y， y） =（ ， 2）， ， ， =2 故选： D 9已知函数 f（ x） =x+）的图象如图所示， f（ ） = ，则 f（ ） =（ ）A B C D 【考点】 余弦函数的图象 第 9 页（共 21 页） 【分析】 由周期求出 ，由特殊点的坐标求出 的值，可得 f（ x）的解析式，再利用诱导公式求得 f（ ）的 值 【解答】 解：由函数 f（ x） =x+）的图象，可得 = = ， =3， f（ ） =3 +） = ， f（ ） =+） = ， 故选： C 10已知点 A（ 0， 2），抛物线 C： y2=m 0）的焦点为 F，射线 抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点 N，若 | |1： ，则三角形 面积为（ ） A 2 B 2 C 4 D 2 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 作出 M 在准线上的射影 K，根据 | |定 | |值，进而列方程求得 m，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值 【解答】 解：抛物线 C： y2=焦点 F（ ， 0）， 设 M 在准线上的射影为 K， 由抛物线的定义知 | 由 | |1： ，可得 | |1： ， 则 | |2： 1， = ， 又 = 2 即有 =2，求得 m=4， 则三角形 面积为 41=2 故选： A 第 10 页（共 21 页） 11已知平面 截一球面得圆 M，过圆心 M 与 成 60二面角的平面 截该球面得圆 N，若该球的表面积为 64，圆 M 的面积为 4，则圆 N 的半径为（ ） A B 3 C D 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 先求出圆 M 的半径，球面的半径，然后根据勾股定理求出求出 长，找出二面角的平面角，从而求出 长，最后利用垂径定理即可求出圆 N 的半径 【解答】 解：球的表面积为 64，可得球面的半径为 4 圆 M 的面积为 4 圆 M 的半径为 2 根据勾股定理可知 过圆心 M 且与 成 60二面角的平面 截该球面得圆 N 0， 在直角三角形 ， ， 圆 N 的 半径为 故选： D 12已知 a 0，则 x 的方程 ax=b 的充要条件是（ ） A xR， xR， xR， xR， 考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 a 0， 足关于 x 的方程 ax=b，则 配方 = 利用二次函数的单调性即可判断出结论 【解答】 解： a 0， x 的方程 ax=b，则 = a 0， 当 x= 时， 有最大值， a 0，则 x 的方程 ax=b 的充要条件是 故选： D 第 11 页（共 21 页） 二、填空题（共 4小题，每小题 5分，满分 20分） 13双曲线 4 的虚轴长是 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求出双曲线的标准方程，求出 b，即可求出双曲线的虚轴长为 2b 【解答 】 解：双曲线的标准方程为 =1， 则 ，则 b= ，即虚轴长 2b=2 = ， 故答案为： ， 14从 5 台甲型和 4 台乙型电视 机中任意取出 3 台，其中至少要有甲型与乙型电视机各 1台，则不同的取法共有 70 种 【考点】 计数原理的应用 【分析】 任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各 1 台，有两种方法，一是甲型电视机 2 台和乙型电视机 1 台；二是甲型电视机 1 台和乙型电视机 2 台，分别求出取电视机的方法，即可求出所有的方法数 【解答】 解：甲型 2 台与乙型电视机 1 台共有 40；甲型 1 台与乙型电视机 2 台共有=30；不同的取法共有 70 种 故答案为： 70 15孙子算经卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二 ，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ 23，或 105k+23（ k 为正整数） （只需写出一个答案即可） 【考点】 进行简单的合情推理 【分析】 根据 “三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二 ”找到三个数：第一个数能同时被 3 和 5 整除；第二个数能同时被 3 和 7 整除；第三个数能同时被 5 和 7 整除，将这三个数分别乘以被 7、 5、 3 除的余数再相加即可求出答案 【解答】 解：我们首先需要先求出三个数： 第一个数能同时被 3 和 5 整除，但除以 7 余 1，即 15； 第二个数能同时被 3 和 7 整除，但除以 5 余 1，即 21； 第三个数能同时被 5 和 7 整除，但除以 3 余 1，即 70； 然后将这三个数分别乘以被 7、 5、 3 除的余数再相加，即： 152+213+702=233 最后，再减去 3、 5、 7 最小公倍数的整数倍，可得： 233 1052=23或 105k+23（ k 为正整数） 故答案为： 23，或 105k+23（ k 为正整数） 16已知数列 各项均为正整数，对于 nN*有 = （ 其中 k 为使 为奇数的正整数） 1 时， 31 【考点】 数列递推式 第 12 页（共 21 页） 【分析 】 由已知数列递推式求出数列的前几项，发现数列从第三项开始是周期为 6 的周期数列，故 610+2） =1 【解答】 解：由 = ，且 1， 得 11+5=38， ， 19+5=62， ， 31+5=98， ， 49+5=152， ， 数列 第三项开始是周期为 6 的周期数列 则 610+2） =1 答案为： 31 三、解答题（共 5小题，满分 60分） 17已知函数 f（ x） = （ ）若 f（ a） = ，求 a+ ）的值； （ ）在 ，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，且满足 （ 2a c） f（ A） = ，试证明： a2+b2+c2=ab+bc+ 【考点】 正弦定理；两角和与差的正弦函数 【分析】 （ ）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f（ x） =+ ） + ，由 f（ a） = ， 解得： + ） =1，进而可求 ， 两角和的正切函数公式即可得解 a+ ）的值 （ ）结合三角形的内角和定理及诱导公式可得 C+B） =对已知（ 2a c）用正弦定理化简可求 B，由 f（ A） = ，及 A 的范围可得 A，进而解得C=A=B，即 a=b=c，即可证明得解 a2+b2+c2=ab+bc+ 【解答】 解：（ ） f（ x） = = =+ ）+ ， f（ a） = =+ ） + ，解得： + ） =1， + =2， kZ，解得： =4， kZ， 4） = ， 第 13 页（共 21 页） a+ ） = =0 （ ）证明： A+B+C=，即 C+B= A， C+B） = A） = 将（ 2a c） 用正弦定理化简得：（ 2 2C+B） = 在 ， 0 A ， 0， ，又 0 B ，则 B= ， f（ A） = =+ ） + ，解得： + ） = ， 0 A ， + ， + = ，解得： A= ， C= A B= ， a=b=c， a2+b2+c2=ab+bc+证 18如图，在四棱锥 P ，底面 菱形， 0， 平面 D=，点 E， F 分别为 点 （ ）求证：直线 平面 （ ）求 平面 成角的正弦值 【考点】 直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）首先利用中点引 出中位线，进一步得到线线平行，再利用线面平行的判定定理得到结论 （ ）根据直线间的两两垂直，尽力空间直角坐标系，再求出平面 法向量，最后利用向量的数量积求出线面的夹角的正弦值 【解答】 解：（ ）证明：作 M 点 F 为 点， 点 E 为 中点 ， 第 14 页（共 21 页） 又 四边形 平行四边形， 面 面 直线 平面 （ ）已知 0， 进一步求得： 则：建立空间直角坐标系， 则 P（ 0， 0， 1）， C（ 0， 1， 0）， E（ ， 0， 0）， A（ ， ， 0）， B（ ， ， 0） 所以： ， 设平面 一个法向量为： ， ， 则： ， 解得： ， 所以平面 法向量为： ， 设向量 和 的夹角为 ， ， 面 成角的正弦值为 第 15 页（共 21 页） 19某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为 河流发生洪水的概率为 假设两河流发生洪水与否互不影响）现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下两种方案： 方案 1：建一保护围墙，需花费 1000 元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约 56000 元； 方案 2：不采取措施，此时，当两条河流都发生洪水时损失为 60000 元，只有一条河流发生洪水时，损失为 10000 元 （ ）试求方案 2 中损失费 （随机变量）的分布列及期望； （ ）试比较哪一种方案好 【考点】 离散型随机变量的期望与方差； 概率的意义；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）在方案 2 中，记 “甲河流发生洪水 “为事件 A， “乙河流发生洪水 “为事件 B，则 P（ A） =P（ B） =此能求出方案 2 中损失费 （随机变量）的分布列及期望（ ）对方案 1 来说，建围墙需花费 1000 元，它只能抵御一条河流的洪水，求出该方案中可能的花费，从而得到方案 1 最好 【解答】 解：（ ）在方案 2 中，记 “甲河流发生洪水 “为事件 A， “乙河流发生洪水 “为事件 B， 则 P（ A） =P（ B） = 有且只有一条河流发生洪水的概率为： P（ A + B） =P（ A） P（ ） +P（ ） P（ B） = 1 +（ 1 两河流同时发生洪水的概率为 P（ = 都不发生洪水的概率为 P（ ） =（ 1 1 = 设损失费为随同变量 ，则 的分布列为： 10000 60000 0 P （ ） =100000000100（元） （ ）对方案 1 来说，建围墙需花费 1000 元，它只能抵御一条河流的洪水， 但当两河流都有发生洪水时，损失约 56000 元， 而两河流同时发生洪水的概率为 p= 该方案中可能的花费为 1000+56000520 对于方案 2， 由（ 1）知损失费的数学期望为 6100 元， 比较知方案 1 最好 第 16 页（共 21 页） 20在直角坐标系 ，已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆 E 的离心率为 ，且过点 M（ 2， 3） （ ）求椭圆 E 的方程； （ ）设 P 是椭圆 E 上一点，过 P 作两条斜率之积 的直线 椭圆 E 的右焦点 C 为圆心 为半径作圆，当直线 与圆 C 相切时，求 P 的坐标 【考点】 椭圆 的简单性质 【分析】 （ I）设椭圆 E 的方程为： + =1（ a b 0），由题意可得： = ， =1，又 a2=b2+立解出即可得出 （ （ I）可知：圆心 C（ 2， 0），半径为 设 P（ 直线 斜率分别为 y y0=x 方程为： y y0=x 利用直线 相切的充要条件可得： +2（ 2 =0，同理可得：+2（ 2 =0，因此 方程： （ 2 =0 的两个实数根可得 = ，又 + =1联立解出即可得出 【解答】 解：（ I）设椭 圆 E 的方程为： + =1（ a b 0）， 由题意可得： = ， =1，又 a2=b2+ 联立解得 c=2， a=4， 2 椭圆 E 的方程为 + =1 （ （ I）可知：圆心 C（ 2， 0），半径为 设 P（ 直线 斜率分别为 则 y y0=x 方程为： y y0=x 由直线 相切时， = ， +2（ 2 =0，同理可得： +2（ 2=0， （ 2 =0 的两个实数根 第 17 页（共 21 页） ，且 = ， + =1 836=0，解得 2 或 由 2，解得 3；由 ， 解得 ，满足条件 点 P 的坐标分别为：（ 2， 3）， 21已知函数 f（ x） = a 1） x，其中 aR （ ）当 a0 时，讨论函数 f（ x）的单调性； （ ）若对任意 1， ），且 x1 1 恒成立，求 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区 间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求出函数 f（ x）的导函数 f（ x），再分类讨论，当 1 a0 时， x（ 0， a）时， f（ x） 0， f（ x）为增函数， x（ a， 1）时， f（ x） 0， f（ x）为减函数， x（ 1，+）时， f（ x） 0， f（ x）为增函数，当 a 1 时， x（ 0， 1）时， f（ x） 0， f（ x）为增函数， x（ 1， a）时， f（ x） 0， f（ x）为减函数， x（ a， +）时， f（ x） 0，f（ x）为增函数； （ ）由已知条件不妨设 上式等价于 f（ +f（ + 0 在 x（ 1， ）恒成立，构造辅助函数 g（ x） =f（ x） +x，则 y=g（ x）在 x（ 1， ）单调递增，由 g（ x）求导得 ，则 在 x（ 1， ）恒成立，即 在 x（ 1，）恒成立，令 ，由 x（ 1， ），则 （ 0， 1）得到 h（ x） 4，从而可求出 a 的取值范围 【解答】 解：（ ） f（ x） = = ， 当 1 a0 时， x（ 0， a）时， f（ x） 0， f（ x）为增函数， x（ a， 1）时， f（ x） 0， f（ x）为减函数， x（ 1， +）时， f（ x） 0， f（ x）为增函数 当 a 1 时， x（ 0， 1）时， f（ x） 0， f（ x）为增函数， 第 18 页（共 21 页） x（ 1， a）时， f（ x） 0， f（ x）为减函数， x（ a， +）时， f（ x） 0， f（ x）为增函数； （ ） 1 对任意 1， ），且 x1成立， 不妨设 上式等价于 f（ +f（ + 0 在 x（ 1， ）恒成立， 构造辅助函数 g（ x） =f（ x） +x，则 y=g（ x）在 x（ 1， ）单调递增 ， 则 在 x（ 1， ）恒 成立， 在 x（ 1， ）恒成立， 令 ， x（ 1， ）， （ 0， 1） h（ x） 4 a 4 请考生在 22、 23、 24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22已知 ， C， D 为 接圆劣弧 上的 点（不与点 A， C 重合），延长 E，延长 延长线于 F （ 1）求证： （ 2）求证： CDB 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ I）根据 A， B， C， D 四点共圆，可得 C 可得 而得解 （ 明 得 D为 C，所以 C=F，再根据割线定理即可得到结论 【解答】 证明：（