2016年福建省龙岩市高考数学一模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年福建省龙岩市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1设命题 p： x（ 0， +）， p 为（ ） A x（ 0， +）， x（ 0， +）， x（ 0， +）， =x（ 0， +）， 复数 （ i 为复数单位）的共轭复数为（ ） A 1+1 1+ 1 i 3若函数 f（ x） = ，则 f（ f（ ） =（ ） A 1B 0C 1D 3 4已知 公差为 的等差数列， 前 n 项和，若 等比数列，则 ） A B 35C D 25 5若 ，则 =（ ） A B C 2D 3 6阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的 n 的值为（ ） A 3B 4C 5D 6 7如图，正三棱锥 A 底面与正四面体 E 侧面 合，连接 异面直线 成角的大小为（ ） 第 2 页（共 20 页） A 30B 45C 60D 90 8若 A， B， C 为圆 O： x2+ 上的三点，且 ， ，则 =（ ） A 0B C D 9安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作，每天安排一人，甲、乙、丙每人安排一天，丁安排三天，并且丁至少要有两天连续安排，则不同的安排方法种数为（ ） A 72B 96C 120D 156 10设实数 x、 y 满足 ，则 z=|x 4y+1|的最大值和最小值之和是（ ） A 2B 3C 9D 11 11正项数列 前 n 项和为 2Sn=nN*），设 1） n ，则数列 前 2016 项的和为（ ） A B C D 12已知 A， B 分别是双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左、右顶点， P 是双曲线 斜率分别为 k1+ ） A（ ， +） B（ ， +） C ， +） D ， ） 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13倾斜角为 45的直线 l 经过抛物线 x 的焦点 F，且 l 与抛物线交于 A， B 两点，则 | |的值为 14（ x+y）（ x y） 8 的展开式中， 系数为 15如图是一个几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为 16若函数 f（ x） =2m（ 1nx+x） 唯一零点，则 m 的取值范围是 第 3 页（共 20 页） 三、解答题（本大题共 5小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） . 17已知函数 f（ x） = x+）（ 0， 0 ）为偶函数，点 P， Q 分别为函数 y=f（ x）图象上相邻的最高点和最低点，且 | |= （ 1）求函数 f（ x）的解析式； （ 2）在 ， a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边，已知 a=1， b= ， f（ ） = ，求角 C 的大小 18某校为了解一个英语教改实验班的情 况，举行了一次测试，将该班 30 位学生的英语成绩进行统计，得图示频率分布直方图，其中成绩分组区间是： 50， 60）， 60， 70）， 70， 80），80， 90）， 90， 100 （ 1）求出该班学生英语成绩的众数和平均数； （ 2）从成绩低于 80 分得学生中随机抽取 2 人，规定抽到的学生成绩在 50， 60）的记 1 绩点分，在 60， 80）的记 2 绩点分，设抽取 2 人的总绩点分为 ，求 的分布列和数学期望 19如图，在多面体 ，四边形 矩 形， 为等边三角形，D= （ 1）过 截面与线段 于点 N，使得 平面 确定点 N 的位置，并予以证明； （ 2）在（ 1）的条件下，求直线 平面 成角的正弦值 20已知椭圆 + =1（ a b 0）的一个焦点与抛物线 p 0）的焦点 F 重合，且点 F 到直线 x y+1=0 的距离为 ， 2的公共弦长为 2 （ 1）求椭圆 的坐标； （ 2）过点 F 的直线 l 与 于 A， B 两点，与 ， D 两点，求 + 的取值范围 21已知函数 f（ x） = +x，点 M（ 0， 1）在曲线 y=f（ x）上，且曲线在点 M 处的切线与直线 2x y=0 垂直 （ 1）求 a， b 的值； 第 4 页（共 20 页） （ 2）如果当 x0 时，都有 f（ x） +x，求 k 的取值范围 请考生在第 22,23,24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡将所选题号后的方框内涂黑 选修 4何证明选讲 22如图， 角平分线 延长线交它的外接圆于点 E （ 1）证明： = ； （ 2）若 面积 S= E，求 大小 选修 4标系与参数方程 23若以直角坐标系 O 为极点， 极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线 C 的极坐标方程是 = （ 1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线； （ 2）若直线 l 的参数方程为 （ t 为参数）当直线 l 与曲线 C 相交于 A， B 两点，求| | 选修 4等式选讲 24设函数 f（ x） =x |x+2| |x 3| m（ mR） （ ）当 m= 4 时，求函数 f（ x）的最大值； （ ）若存在 ，使得 f（ 4，求实数 m 的取 值范围 第 5 页（共 20 页） 2016 年福建省龙岩市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1设命题 p： x（ 0， +）， p 为（ ） A x（ 0， +）， x（ 0， +）， x（ 0， +）， =x（ 0， +）， 考点】 命题的否定 【分析】 利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可 【解答】 解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题 p： x（ 0， +）， p 为： x（ 0， +）， 故选： B 2复数 （ i 为复数单位）的共轭复数为（ ） A 1+1 1+ 1 i 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 先对复数进行化简运算，由共轭复数的定义可得答案 【解答】 解： = = = =1 i， 则其共轭复数 为 1+i， 故选： A 3若函数 f（ x） = ，则 f（ f（ ） =（ ） A 1B 0C 1D 3 【考点】 分段函数的应用；函数的值 【分析】 利用分段函数直接求解函数值即可 【解答】 解：函数 f（ x） = ， 则 f（ f（ ） =f（ =f（ 1） =2= 1 故选： A 4已知 公差为 的等差数列， 前 n 项和，若 等比数列，则 ） A B 35C D 25 第 6 页（共 20 页） 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 利用等差数列及等比数列的性质求出首项，由此能求出 【解答】 解： 公差为 的等差数列， 前 n 项和， =（ ）（ ）， 解得 ， + = 故选： C 5若 ，则 =（ ） A B C 2D 3 【考点】 同角三角函数基本关系的运用 【分析】 已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简求出 式利用同角三角函数间基本关系化简后，将 值代入计算即可求出值 【解答】 解： ，即 ， 原式 = + = = =3， 故选： D 6阅读如图所示的程序框图，运行相应的程 序，则输出的 n 的值为（ ） A 3B 4C 5D 6 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 n， S 的值，当 S= + 3 时满足条件，退出循环输出 S 的值为 5 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得： 第 7 页（共 20 页） n=1， S=0 不满足条件 S3， S= ， n=2； 不满足条件 S3， S= + ， n=3； 不满足条件 S3， S= + +1， n=4； 不满足条件 S3， S= + +1+ = + 3， n=5； 满足条件 S3，退出循环，输出 n 的值为 5 故选： C 7如图，正三棱锥 A 底面与正四面体 E 侧面 合，连接 异面直线 成角的大小为（ ） A 30B 45C 60D 90 【考点】 异面直线及其所成的角 【分析】 由已知 重心， 等边三角形，从而 平面 此能求出结果 【解答】 解： 正三棱锥 A 底面与正四面体 E 侧面 合，连接 重心， 等边三角形， 平面 异面直线 成角的大小为 90 故选： D 8若 A， B， C 为圆 O： x2+ 上的三点，且 ， ，则 =（ ） A 0B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据圆的性质可知 直径， 等边三角形，求出 入向量的数量积运算即可 【解答】 解：连结 B=， 等边三角形， 0， ， 圆 O 的直径， ， 0， 第 8 页（共 20 页） =1 = 故选： D 9安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作，每天安排一人，甲、乙、丙每人安排一天，丁安排三天，并且丁至 少要有两天连续安排，则不同的安排方法种数为（ ） A 72B 96C 120D 156 【考点】 计数原理的应用 【分析】 利用间接法，先排没有限制条件的种数，再排除丁没有连续的种数，问题得以解决 【解答】 解：甲，乙、丙三位教师安排星期一至星期六的任意三天，其余三天丁值日，故有20 种， 其中丁没有连续的安排，安排甲，乙、丙三位教师后形成了 4 个间隔，任选 3 个安排丁，故有 4 种， 故并且丁至少要有两天连续安排 120 24=96 种， 故选： B 10设实数 x、 y 满足 ，则 z=|x 4y+1|的最大值和最小值之和是（ ） A 2B 3C 9D 11 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，令 t=x 4y+1，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得 t 的范围，求出其绝对值的范围，则答案可求 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 联立 ，解得 B（ 2， 3）， 第 9 页（共 20 页） 令 t=x 4y+1，化为 ， 由图可知，当直线 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小， t 有最大值为 2， 当直线过 B 时，直线在 y 轴上的截距最大， t 有最小值为 9， z=|x 4y+1|的最大值和最小值分别为 9 和 0 则 z=|x 4y+1|的最大值和最小值的和为 9 故选： C 11正项数列 前 n 项和为 2Sn=nN*），设 1） n ，则数列 前 2016 项的和为（ ） A B C D 【考点】 数列的求和 【分析】 由 2Sn=nN*）， 0，可得：当 n=1 时， +得 n2时，化为：（ an+1）（ 1 1） =0，可得 1=1，利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式可得： 得 1） n =（ 1） n ，即可得出 【解答】 解： 2Sn=nN*）， 0， 当 n=1 时， +得 当 n2 时， 2（ 1） =，化为：（ an+1）（ 1 1）=0， 1=1， 数列 等差数列，公差为 1，首项为 1 +（ n 1） =n 1） n =（ 1） n =（ 1） n ， 则数列 前 2016 项的和 = + + = 1+ = 故选： D 第 10 页（共 20 页） 12已知 A， B 分别是双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左、右顶点， P 是双曲线 斜率分别为 k1+ ） A（ ， +） B（ ， +） C ， +） D ， ） 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由题意可得 A（ a， 0）， B（ a， 0），设 P（ m， n），代入双曲线的方程，运用直线的斜率公式可得 ， 0，再由基本不等式即可得到 k1+ 【解答】 解：由题意可得 A（ a， 0）， B（ a， 0），设 P（ m， n）， 可得 =1，即有 = ， 可得 = = ， 0， 则 k1+ = ， 由 A， B 为左右顶点，可得 k1 则 k1+， 故选： A 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13倾斜角为 45的直线 l 经过抛物线 x 的焦点 F，且 l 与抛物线交于 A， B 两点，则 | |的值为 32 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 由抛物线 x，可得焦点 F（ 2， 0），直线 l 的方程为： y=x 2， A（ B（ ，直线方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程的根与系数的关系、抛物线的定义即可得出 【解答】 解：由抛物线 x，可得焦点 F（ 2， 0）， 直线 l 的方程为： y=x 2， A（ B（ 联立 ，化为： 12x+4=0， x1+2， | | |=（ ）（ ） =（ x1+4=4+212+4=32 故答案为： 32 14（ x+y）（ x y） 8 的展开式中， 系数为 20 【考点】 二项式系数的性质 第 11 页（共 20 页） 【分析】 把（ x y） 8 按照二项式定理展开，即可得到（ x+y）（ x y） 8 的展开式中 系数 【解答】 解：（ x+y）（ x y） 8 =（ x+y）（ x6 x 故（ x+y）（ x y） 8 的展开式中 系数为 + =20， 故答案为： 20 15如图是一个几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为 【考点】 由 三视图求面积、体积 【分析】 由三视图得：该几何体是四棱锥，且一条侧棱与底面垂直，该几何体外接球转化为对应长方体的外接球，求出外接球的半径以及体积 【解答】 解：由三视图得：该几何体是下底面为边长为 4、 8 的矩形，高为 4 的四棱锥， 且一条侧棱与底面垂直， 所以该几何体的外接球也是长、宽、高为： 4、 8、 4 的长方体的外接球， 则外接球的直径为： =4 ，即半径是 2 ， 所以该几何体外接球的体积 V= = ， 故答案为： 16若函数 f（ x） =2m（ 1nx+x） 唯一零点，则 m 的取值范围是 m 0 或 m= 【考点】 函数与方程的综合运用；函数零点的判定定理 【分析】 由 f（ x） =0 得 2m（ 1nx+x） =据函数与方程之间的关 系转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可 【解答】 解：由 f（ x） =2m（ 1nx+x） ， 得 2m（ 1nx+x） = 若 m=0，则 x=0，不满足函数的定义域（ 0， +），故 m0， 设 h（ x） =2m（ 1nx+x），则函数的定义域为（ 0， +）， 函数的导数 h（ x） =2m（ 1+ ）， 若 m 0，则 h（ x） 0 恒成立，则函数单调递减，此时函数 h（ x）与 y=（ 0， +）上只有一个交点，满足条件 若 m 0，则 h（ x） 0 恒 成立，则函数单调递增， 要使函数 f（ x）只有一个零点，则两个函数只有一个交点，即此时两个函数相切， 设切点为（ a， b）， 第 12 页（共 20 页） 则 h（ x） =2m（ 1+ ）， y=2x， 则满足 得 a=1， m= ， 综上 m 0 或 m= ， 故答案为： m 0 或 m= 三、解答题（本大题共 5小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） . 17已知函数 f（ x） = x+）（ 0， 0 ）为偶函数，点 P， Q 分别为函数 y=f（ x）图象上相邻的最高点和最低点，且 | |= （ 1）求函数 f（ x）的解析式； （ 2）在 ， a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边，已知 a=1， b= ， f（ ） = ，求角 C 的大小 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 （ 1）由条件利用诱导公式、正弦函数的奇偶性，正弦函数的图象和性质求得 的值，可得函数的解析式 （ 2）由条件求得 A 的值，利用正弦定理求得 B 的值，利用三角形的内角和求得 C 的值 【解答】 解：（ 1）函数 f（ x） = x+）（ 0， 0 ）为偶函数， = ， f（ x） = x+ ） = 点 P， Q 分别为函数 y=f（ x）图象上相邻的最高点和最低点，且 | |= ， = ， =，函数 f（ x） = （ 2） a=1， b= ， f（ ） = ） = ， ， A= 第 13 页（共 20 页） ，由正弦定理可得 = ，求得 ， B= 或 B= 当 B= 时， C= A B= ，当 B= 时， C= A B= 18某校为了解一个英语教改实验班的情况，举行了一次测试，将该班 30 位学生的英语成绩进行统计，得图示频率分布直方图，其中成绩分组区间是 ： 50， 60）， 60， 70）， 70， 80），80， 90）， 90， 100 （ 1）求出该班学生英语成绩的众数和平均数； （ 2）从成绩低于 80 分得学生中随机抽取 2 人，规定抽到的学生成绩在 50， 60）的记 1 绩点分，在 60， 80）的记 2 绩点分，设抽取 2 人的总绩点分为 ，求 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）英语成绩在 80， 90）区间内对应的小矩形最高，由此能求 出该班学生英语成绩的众数，由频率分布直方图得该班学生英语成绩的平均数 （ 2）成绩低于 80 分的学生有 12 人，其中成绩在成绩在 50， 60）的学生有 2 人，成绩为 60，80）的学生有 10 人，设抽取 2 人的总绩点分为 ，则 的可能取值为 2， 3， 4，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和 【解答】 解：（ 1） 英语成绩在 80， 90）区间内对应的小矩形最高， 该班学生英语成绩的众数为 85 由频率分布直方图得该班学生英语成绩的平均数为： =81 （ 2）成绩低于 80 分的学生有 30（ ） =12 人， 其中成绩在成绩在 50， 60）的学生有 =2 人， 成绩为 60， 80）的学生有 =10 人， 设抽取 2 人的总绩点分为 ，则 的可能取值为 2， 3， 4， P（ =2） = = ， P（ =3） = = ， 第 14 页（共 20 页） P（ =4） = = ， 的分布列为： 2 3 4 P = 19如图，在多面体 ，四边形 矩形， 为等边三角形，D= （ 1）过 截面与线段 于点 N，使得 平面 确定点 N 的位置，并予以证明； （ 2）在（ 1）的条件下，求直线 平面 成角的正弦值 【考点】 直线与平面所成的角；直线 与平面平行的判定 【分析】 （ 1）当 N 为 中点时， 平面 结 M，连结 用中位线定理即可证明 是 平面 （ 2）过 F 作 平面 足为 O，过 O 作 x 轴 y 轴 P，则 P 为中点以 O 为原点建立空间直角坐标系，求出平面 法向量 ，则 |， |即为所求 【解 答】 解：（ 1）当 N 为 中点时， 平面 证明：连结 M，连结 四边形 矩形， M 是 中点， N 是 中点， 面 面 平面 （ 2）过 F 作 平面 足为 O，过 O 作 x 轴 y 轴 P，则 P 为中点 以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设 ，则 ， ， =1， （ = ， A（ ， ， 0）， B（ ， ， 0）， C（ ， ， 0）， F（ 0， 0， ）， N（ ， ，） =（ 0， 2， 0）， =（ ， ， ）， =（ ， ， ） 第 15 页（共 20 页） 设平面 法向量为 =（ x， y， z），则 ， ，令 z= 得 =（ 2， 0， ）， = 1， | |= ， | |= ， = = 直线 平面 成角的正弦值为 |， |= 20已知椭圆 + =1（ a b 0）的一个焦点与抛物线 p 0）的焦点 F 重合，且点 F 到直线 x y+1=0 的距离为 ， 2的公共弦长为 2 （ 1）求椭圆 的坐标； （ 2）过点 F 的直线 l 与 于 A， B 两点，与 ， D 两点，求 + 的取值范围 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）求得抛物线的焦点，可得 c= ，再由点到直线的距离公式可得 c=1，可得焦点F，求得抛物线的方程，设出 设 2的公共弦端点为（ m， n），（ m， n），（ m， n 0），由弦长求得交点坐标， 代入椭圆方程，解得 a， b，进而得到椭圆方程； （ 2）设过 F（ 1， 0）的直线为 x=，代入抛物线的方程 x，椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得 | |求得 + ，化简整理，即可得到所求范围 【解答】 解：（ 1）抛物线 p 0）的焦点 F（ ， 0）， 即有 c= ， 点 F 到直线 x y+1=0 的距离为 ，可得 d= = ， 即有 c=1， p=2，即 F（ 1， 0）； 第 16 页（共 20 页） 即有 x， 设 2的公共弦端点为（ m， n），（ m， n），（ m， n 0）， 则 2n=2 ，可得 n= ， m= ， 将（ ， ）代入椭圆方程可得， + =1， 又 ，解得 a=3， b=2 ， 即有椭圆的方程为 + =1； （ 2）设过 F（ 1， 0）的直线为 x=， 代入抛物线的方程 x，可得 44=0， 由弦长公式可得 | =4（ 1+ 由 x= 代入椭圆方程 82，可得 （ 8） 664=0， 由弦长公式可得 | = ， 可得 + = + = + ， 由 1+，可得 0 ， 即有 + 的取值范围为（ ， 21已知函数 f（ x） = +x，点 M（ 0， 1）在曲线 y=f（ x）上，且曲线在点 M 处的切线与直线 2x y=0 垂直 （ 1）求 a， b 的值； （ 2）如 果当 x0 时，都有 f（ x） +x，求 k 的取值范围 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （ 1）求出导数，求得切线的斜率和切点，由切线与 2x y=0 垂直，可得 a， b 的方程，解方程可得 a， b 的值； 第 17 页（共 20 页） （ 2）由题意可得 +e x +x，即有（ 1 k） e x ，即 1 k，可令 g（ x） = ，求出导数，判断单调性，可得最值，即可得到 【解答】 解：（ 1） f（ x） = +f（ x） = ， 由切线与直线 2x y=0 垂直，可得 f（ 0） =1， f（ 0） = ， 即 有 b=1， a b= ， 解得 a=b=1； （ 2）当 x0 时，都有 f（ x） +x， 即为 +e x +x， 即有（ 1 k） e x ，即 1 k ， 可令 g（ x） = ， g（ x） = =g（ x）， 即有 g（ x）为偶函数，只要考虑 x 0 的情况 由 g（ x） 1= ， x 0 时， e x， 由 h（ x） =2x ex+e x， h（ x） =2（ ex+e x） 2 2 =0， 则 h（ x）在 x 0 递减，即有 h（ x） h（ 0） =0， 即有 g（ x） 1 故 1 k1，解得 k0 则 k 的取值范围为（ ， 0 第 18 页（共 20 页） 请考生在第 22,23,24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡将所选题号后的方框内涂黑 选修 4