辽宁省鞍山市2016年高考数学一模试卷（理科）含答案解析

内蒙古赤峰市 2016 年高考数学模拟试卷 （解析版） 一、选择题 1若集合 A=2， 3， B=x|5x+6=0|，则 AB=（ ） A 2， 3 B C 2 D 2， 3 2若复数 z 满足 +i，则 z 的共轭复数是（ ） A 1 i B 1+i C 1+i D 1 i 3若 m=6， n=4，按照如图所示的程序框图运行后，输出的结果是（ ） A B 100 C 10 D 1 4已知向量 ， 满足 + =（ 1， 3）， =（ 3， 7）， =（ ） A 12 B 20 C 12 D 20 5若函数 ，则 f（ f（ 1）的值为（ ） A 10 B 10 C 2 D 2 6设 a， bR，若 p： a b， q： 0，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7若点 P（ 直线 y= 2x 上，则 的值等于（ ） A B C D 8数学活动小组由 12 名同学组成，现将这 12 名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案有（ ）种 A A B C C C 34 C 43 D C C C 43 9从某大学随机抽取的 5 名女大学生的身高 x（厘米）和体重 y（公斤）数据如下表 x 165 160 175 155 170 y 58 52 62 43 60 根据上表可得回归直线方程为 ，则 =（ ） A 0已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A B C 13 D 11双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左、右焦点分别为 c， 0）， c， 0），M， N 两点在双曲线 C 上，且 |4|线段 双曲线 C 于点 Q，且|则双曲线 C 的离心率为（ ） A B 2 C D 12已知定义在 R 上的奇函数 f（ x）的图象为一条连续不断的曲线 f（ 1+x） =f（ 1 x）， f（ 1） =a，且当 0 x 1 时， f（ x）的导函数 f（ x）满足： f（ x） f（ x），则 f（ x）在 2015，2016上的最大值为（ ） A a B 0 C a D 2016 二、填空题 13若实数 x， y 满足 则 z=x+2y 的最大值是 14已知三棱锥 P 两垂直，且 ， C=1，则三棱锥 P内切球半径为 15已知圆（ x+1） 2+ 与抛物线 y2=m0）的准线交于 A、 B 两点，且 ，则 m 的值为 16已知 足 A= ，（ + ） =0，点 M 在 ，且 ，则取值范围是 三、解答题 17已知数列 足 ，且 =31， bn= （ 1）求证：数列 等比数列 （ 2）若不等式 m 对 nN*恒成立，求实数 m 的取值范围 18在某批次的某种灯泡中，随机地抽取 500 个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布直方图如下根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于 500 天的灯泡是优等品，寿命小于 300 天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品 （ I）根据这 500 个数据的频率分布直方图，求出这批日光灯管的平均寿命； （ ）某人从这个批次的灯管中随机地购买了 4 个进行使用，若以上述频率作为概率，用 灯管中优等品的个数，求 X 的分布列和数学期望 19如图，菱形 ， 0， 交于点 O， 平面 B= （ ）求证： 平面 （ ）当直线 平面 成角的大小为 45时，求 长度 20已知 f（ x） =线 y=f（ x）在（ 1， f（ 1）处的切线方程为 y= （ 1）求 a， b 的值； （ 2）求 f（ x）在 0， 1上的最大值； （ 3）证明：当 x 0 时， 1 e） x 10 21在直角坐标系 ，直线 l 的方程是 y=8，圆 C 的参数方程是 （ 为参数）以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （ 1）求直线 l 和圆 C 的极坐标方程； （ 2）射线 =（其中 ）与圆 C 交于 O、 P 两点，与直线 l 交于点 M，射线与 圆 C 交于 O、 Q 两点，与直线 l 交于点 N，求 的最大值 2016年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 1若集合 A=2， 3， B=x|5x+6=0|，则 AB=（ ） A 2， 3 B C 2 D 2， 3 【分析】 利用已知条件求出集合 B，然后求解交集 【解答】 解：集合 A=2， 3， B=x|5x+6=0|=2， 3， 则 AB=2， 3 故选： A 【点评】 本题考查集合的基本运算， 交集的求法，考查计算能力 2若复数 z 满足 +i，则 z 的共轭复数是（ ） A 1 i B 1+i C 1+i D 1 i 【分析】 求出复数 z 即可求解结果 【解答】 解：复数 z 满足 +i， z= = =1 i z 的共轭复数是： 1+i 故选： B 【点评】 本题考查复数的基本运算，是基础题 3若 m=6， n=4，按照如图所示的程序框图运行后，输出的结果是（ ） A B 100 C 10 D 1 【分析】 模拟程序的运行过程，由于条件 m n 成立，执行 y=m+n），计算即可解得答案 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得 m=6， n=4 满足条件 m n， y=6+4） =1， 输出 y 的值为 1 故选： D 【点评】 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题 4已知向量 ， 满足 + =（ 1， 3）， =（ 3， 7）， =（ ） A 12 B 20 C 12 D 20 【分 析】 求出两向量的坐标，代入数量积的坐标运算即可 【解答】 解： =（ 4， 4）， ， =（ 1， 5） =2（ 1） 25= 12 故选 A 【点评】 本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题 5若函数 ，则 f（ f（ 1）的值为（ ） A 10 B 10 C 2 D 2 【分析】 先求 f（ 1），再求 f（ f（ 1）即可 【解答】 解： f（ 1） =2 4= 2， f（ f（ 1） =f（ 2） =2（ 2） +2= 2， 故选 C 【点评】 本题考查了分段函数的应用及复合函数的应用 6设 a， bR，若 p： a b， q： 0，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不 充分也不必要条件 【分析】 根据不等式的基本性质，结合充要条件的定义，可得答案 【解答】 解：当 a b 时， 0 不一定成立，故 p 是 q 的不充分条件； 当 0 时， a b 0，故 p 是 q 的必要条件， 综上可得： p 是 q 的必要不充分条件， 故选： B 【点评】 本题考查的知识点是充要条件的概念，不等式的 基本特，难度不大，属于基础题 7若点 P（ 直线 y= 2x 上，则 的值等于（ ） A B C D 【分析】 根据点 P 在直线上，得到 用万能公式和诱导公式化简得出答案 【解答】 解： 点 P（ 直线 y= 2x 上， 2 2 = = 故选： B 【点评】 本题考查了诱导公式的应用，同角三角函数的关系，属于基础题 8数学活动小组由 12 名同学组成，现将这 12 名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案 有（ ）种 A A B C C C 34 C 43 D C C C 43 【分析】 先分组，再分配，最后选组长，根据分步计数原理可得 【解答】 解：将这 12 名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题有 后选一名组长各有 3 种， 故不同的分配方案为： 故选： B 【点评】 本题考查排列、组合的应用，分组分配问题，进行分组分析时要特别注意是否为平均分组，属于中档题 9从某大学随机抽取的 5 名女大学生的身高 x（厘米）和体重 y（公斤）数据如下表 x 165 160 175 155 170 y 58 52 62 43 60 根据上表可得回归直线方程为 ，则 =（ ） A 分析】 根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出 a 的值， 【解答】 解：由表中数据可得 =165， =55， （ ， ）一定在回归直线方程 上， 55=67+a， 解得 a= 故选： A 【点评】 本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一 10已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A B C 13 D 【分析】 几何体为三棱台，其中两个侧面和底面垂直，上下底为直角三角形利用勾股定理求出斜高 【解答】 解：由三视图可知几何体为三棱台，作出直观图如图所示， 则 平面 下底均为等腰直角三角形， C=1， AC=BC=CC=2， AB=2 棱台的上底面积为 = ，下底面积为 =2，梯形 的面积为（ 1+2） 2=3， 梯形 的面积为 =3， 过 A 作 AC于 D，过 D 作 AB，则 C=2， ABC斜边高的 ， ， = 梯形 的面积为 （ ） = 几何体的表面积 S= =13 故选： C 【点评】 本题考查了棱台的结构特征和三视图，面积计算，属于中档题 11双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左、右焦点分别为 c， 0）， c， 0），M， N 两点在双曲线 C 上，且 |4|线段 双曲线 C 于点 Q，且|则双曲线 C 的离心率为（ ） A B 2 C D 【分析】 确定 N， Q 的坐标，代入双曲线方程，即可求出双曲线 C 的离心率 【解答】 解： |4| | ， N（ ， y）， | Q 是 中点， Q（ c， y）， N， Q 代入双曲线 C： =1，可得 =1， =1， e= 故选： D 【点评】 本题考查双曲线 C 的离心率，考查学生的计算能力，属于中档题 12已知定义在 R 上的奇函数 f（ x）的图象为一条连续不断的曲线 f（ 1+x） =f（ 1 x）， f（ 1） =a，且当 0 x 1 时， f（ x）的导函数 f（ x）满足： f（ x） f（ x），则 f（ x）在 2015，2016上的最大值为（ ） A a B 0 C a D 2016 【分析】 求出函数的周期，结合函数在 0 x 1 时， f（ x）递减，求出 f（ x）在 2015， 2016上的单调性，从而求出函数的最大值即可 【解答】 解： 定义在 R 上的函数 f（ x）是奇函数， 满足 f（ x） +f（ x） =0， f（ x） = f（ x）， f（ x+1） =f（ 1 x）， f（ x+2） =f（ x+1） +1=f1（ x+1） =f（ x） = f（ x）， 即 f（ x+2） = f（ x）， f（ x+4） = f（ x+2）， f（ x+4） =f（ x）， 函数的周期为 4， 0 x 1 时， f（ x）的导函数 f（ x）满足： f（ x） 0， f（ x）在（ 0， 1）递减，即 f（ x）在 2015， 2016递减， f（ x）在 2015， 2016上的最大值为 f（ 2015）， f（ 2015） =f（ 4504 1） =f（ 1） = f（ 1）， f（ 1） =a， f（ 2015） = a， 故选： C 【点评】 本题考查了函数的奇偶性、周期性、单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题 二、填空题 13若实数 x， y 满足 则 z=x+2y 的最大值是 2 【分析】 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值， z=x+2y 表示直线在 y 轴上的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最大值即可 【解答】 解：满足题中约束条件的可行域如图所示 目标函数 z=x+2y 取得最大值， 即使得函数 在 y 轴上的截距 最大 结合可行域范围知，当其过点 P（ 0， 1）时， +21=2 故答案为： 2 【点评】 本题考查简单线性规划，解题的重点是作出正确的约束条件对应的区域，根据目标函数的形式及图象作出正确判断找出最优解， 14已知三棱锥 P 两垂直，且 ， C=1，则三棱锥 P内切球半径为 【分析】 利用三棱锥 P 内切球的球心，将三棱锥分 割成 4 个三棱锥，利用等体积，即可求得结论 【解答】 解：由题意，设三棱锥 P 内切球的半径为 r，球心为 O，则由等体积 O O O 得 = + ， r= 故答案为： 【点评】 本题考查三棱锥 P 内切球，考查学生分析转化问题的能力，正确求体积是关键 15已知圆（ x+1） 2+ 与抛物线 y2=m0）的准线交于 A、 B 两点，且 ，则 m 的值为 8 【分析】 抛物线 y2=m0）的准线为： x= ，圆心到准线的距离 d= ，可得=2 ，解出即可得出 【解答】 解：抛物线 y2=m0）的准线为： x= ， 圆心（ 1， 0）到准线的距离 d= ， =2 ，化为： =1， m0，解得 m=8 故答案为： 8 【点评】 本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、直线与圆相交弦长公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 16已知 足 A= ，（ + ） =0，点 M 在 ，且 ，则取值范围是 1， 3 【分 析】 由题意可知， 等边三角形，再结合题意画出图形，分 M 与 A 在 侧及 M 与 A 在 侧两种情况，利用正弦定理和余弦定理结合求得 取值范围，最后取并集得答案 【解答】 解：由 足 A= ，（ + ） =0， 可得 等边三角形， 又点 M 在 ，且 ， 如图 1若 M 与 A 在 侧， 设 ， ， 则 ， 可得 1 2 又 ， |= 2 60） =5 4 60） 1， 7）， 则 |1， ）； 如图 2若 M 与 A 在 侧， 设 ， ， 则 ， 可得 1 2 又 ， |= 2+60） =5+4 60） （ ， 9， 则 |（ ， 3 综上， |最小值为 1，最大值为 3， 故答案为： 1， 3 【点评】 本题考查平面向量的数量积运算，考查 了三角形的解法，体现了分类讨论的数学思想方法，灵活转化是解决该题的关键，题目设置难度较大 三、解答题 17已知数列 足 ，且 =31， bn= （ 1）求证：数列 等比数列 （ 2）若不等式 m 对 nN*恒成立，求实数 m 的取值范围 【分析】 （ 1）由题意可得 =3（ ），即为 =3等比数列的定义即可得证； （ 2）运用等比数列的通项公式，可得 n 1，由题意可得 m 的最大值，求得 f（ n） = = + ，为递减数列，可得最大值，进而得到 m 的范围 【 解答】 解：（ 1）证明： =31， 可得 =3（ ）， 即为 =3 则数列 首项为 =1， 3 为公比的等比数列； （ 2）由（ 1）可得 n 1， 不等式 m 对 nN*恒成立，即有 m 的最大值， 由 f（ n） = = + ， 由 3n 递增，可得 f（ n）递减， 即有 f（ 1）取得最大值 1， 则 m1，即有 m 的范围是 1， +） 【点评】 本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，注意运用构造法，考查数列不等式恒成立问题的解法，注意运用单调性，考查运算能力，属于中档题 18在某批次的某种灯泡中，随机地抽取 500 个样品，并对其寿命进行 追踪调查，将结果列成频率分布直方图如下根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于 500 天的灯泡是优等品，寿命小于 300 天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品 （ I）根据这 500 个数据的频率分布直方图，求出这批日光灯管的平均寿命； （ ）某人从这个批次的灯管中随机地购买了 4 个进行使用，若以上述频率作为概率，用 X 的分布列和数学期望 【分析】 （ I）根据这 500 个数据的频率分布直方图，利用组中值求 出这批日光灯管的平均寿命； （ ） X 的所有取值为 0， 1， 2， 3， 4分别求出相对应的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期望 【解答】 解：（ I）根据这 500 个数据的频率分布直方图，这批日光灯管的平均寿命为50505050505050； （ ） X 的所有取值为 0， 1， 2， 3， 4 由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为 从本批次灯泡中购买 4 个， X 表示 4 个灯泡中次品的个数，则 X B（ 4， P（ X=0） = 1 4= ， P（ X=1） = 1 3= ， P（ X=2） = 1 2= ， P（ X=3） = 1 = P（ X=4） = 1 0= 随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P X 的数学期望 E（ X） =0 +1 +2 +3 +4 =1 【点评】 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一 19如图，菱形 ， 0， 交于点 O， 平面 B= （ ）求证： 平面 （ ）当直线 平面 成角的大小为 45时，求 长度 【分析】 （ I）由 平面 出 菱形性质得 而 平面 （ O 为原点建立坐标系，设 CF=a，求出 和平面 法向量 ，则 | |= 即可求出 a 的值 【解答】 证明：（ I） 四边形 菱形， 平面 面 面 面 E=A， 平面 （ ）以 O 为原点，以 x 轴， y 轴，过 O 且平行于 直线为 z 轴建立空间直角坐标系 则 B（ 0， ， 0）， D（ 0， ， 0）， E（ 1， 0， 2），设 CF=a，则 F（ 1， 0， a） =（ 1， 0， a）， =（ 0， 2 ， 0）， =（ 1， ， 2） 设平面 法向量为 =（ x， y， z），则 ， 即 ，令 z=1，得 =（ 2， 0， 1） = = 直线 平面 成角的大小为 45， = 解得 a=3 或 a= （舍） |3 【点评】 本题考查了线面垂直的判定，空间向量与空间角的计算，属于中档题 20已知 f（ x） =线 y=f（ x）在（ 1， f（ 1）处的切线方程为 y= （ 1）求 a， b 的值； （ 2）求 f（ x）在 0， 1上的最大值； （ 3）证明：当 x 0 时， 1 e） x 10 【分析】 （ 1）求出 f（ x）的导数 ，计算 f（ 1）， f（ 1），求出 a， b 的值即可； （ 2）求出 f（ x）的导数，得到导函数的单调性，得到 f（ x）在 0， 1递增，从而求出 f（ x）的最大值； （ 3）只需证明 x 0 时， f（ x） （ e 2） x+1，设 g（ x） =f（ x）（ e 2） x 1， x 0，根据函数的单调性得到 2 e） x 1x，从而证出结论即可 【解答】 解：（ 1） f（ x） =2 f（ 1） =e 2a=b， f（ 1） =e a=b+1， 解得： a=1， b=e 2； （ 2）由（ 1）得： f（ x） = f（ x） =2x， f（ x） =2， f（ x）在（ 0， 减，在（ +）递增， f（ x） f（ =2 20， f（ x）在 0， 1递增， f（ x） f（ 1） =e 1； （ 3） f（ 0） =1，由（ 2）得 f（ x）过（ 1， e 1）， 且 y=f（ x）在 x=1 处的切线方程是 y=（ e 2） x+1， 故可猜测 x 0， x1 时， f（ x）的图象恒在切线 y=（ e 2） x+1 的上方， 下面证明 x 0 时， f（ x） （ e 2） x+1， 设 g（ x） =f（ x）（ e 2） x 1， x 0， g（ x） =2x（