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随机过程1. 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重50kg，标准差为5kg，若用最大载重量为5000kg的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障部超载的概率大于0.9772.解：记表示第箱的重量，则独立同分布，且设汽车可装箱符合要求，即而根据列维中心极限定理可知 于是 ，而，故所以解得 即每辆车最多可装98箱。2. 设随机变量相互独立且服从同一正态分布，试求的分布。解：由可知由于相互独立，根据特征函数的性质可得，的特征函数为上式即为正态分布的特征函数，所以有唯一性可知3. 已知随机过程，其中为随机变量，服从正态分布。（1） 按物理结构分，属哪一类随机过程；（2） 按概率结构分，又属哪一类随机过程。解：（1）因为随机过程的参数空间为连续集合，而服从正态分布，亦在上取值，即的状态空间为连续集合，故此随机过程属于参数空间为连续集，状态空间为连续集的随机过程。（2）因为，所以 为二阶矩过程。 由于服从正态分布， 中任意多个随机变量 的线性组合服从正态分布，故服从维正态分布，所以 还是正态随机过程。4. 二阶矩过程的相关函数为 此过程是否均方连续、均方可微，若可微，则求和。解：由对称性知，存在且等于，显然在任意点上连续，故广义二阶可微，即是均方可微的随机过程，从而均方连续。5设更新过程 的更新时间距的概率密度函数为求证：均值函数，并求其更新强度。解：因为更新间距，故更新时刻 ，其概率密度函数与分布函数分别为注：6.设随机过程，其中是服从区间上均匀分布随机变量，试证：（1）当时，为平稳序列。（2）当时，不是平稳过程。证：（1）当参数空间为时 当时，当与不全为零时，有即只与有关。，即故当时，为平稳序列。（3） 当参数空间为时，由于为的函数，不是常数，故当时，不是平稳过程。7如果是取整数值且相互独立的随机序列。 （1）试证是马尔可夫链，在什么条件下是其次的？（2）设，试证是齐次马尔可夫链，指出其状态空间，并求其一步转移概率。解：（1）是独立随机变量序列，故为马尔可夫过程，其状态集，所以是马尔可夫链。其一步转移转移概率与有关，所以一般情况下是非齐次马尔科夫链，仅当与绝对时刻无关，即同分布时，为齐次马尔可夫链。（
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