高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理课堂导学案新人教B版选修.docx

1.3.1 二项式定理课堂导学三点剖析一、二项展开式的通项【例1】已知（）n展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列.（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有有理项.解析：依题意，前三项系数的绝对值是1，,（）2,且=1+,所以n2-9n+8=0,所以n=8（n=1舍）.Tr+1=（）8-r（）r=（-1）r.（1）若Tr+1为常数项，当且仅当=0时，即3r=16.因为rN，这不可能，所以展开式中没有常数项.（2）若Tr+1为有理项，当且仅当=4为整数.因为0r8,rN，所以r为4的倍数，所以r=0、4、8.则有理项为T1=x4,T5=x,T9=x-2.温馨提示 对二项展开式结构特点认识的深刻和熟练，是解决类似问题的关键.二、利用二项式定理求系数的和【例2】已知（+3x2）n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，求展开式中系数最大的项.解：令x=1得各项系数的和为（1+3）n=4n，而各项的二项式系数的和为+=2n.由已知4n=2n+992,2n=32（2n=-31舍），n=5,设第r+1项系数最大，则即r.又rN,r=4.系数最大的项是第5项.T5=（）（3x2）4=.温馨提示 （1）赋值法是解决二项展开式有关系数（或二项式系数）“和”问题的一般方法. （2）要注意系数和二项式系数的本质区别.三、二项式定理的综合应用【例3】（1）9192除以100的余数是几？（2）求证：32n+2-8n-9（nN*）能被64整除.（1）解析：9192=（90+1）92=9092+9091+ 902+90+1,由于前面各项均能被100整除，只有末尾两端不能被100整除，由于90+1=8 281=8 200+81.被100除余81.（2）证明：32n+2-8n-9=9n+1-8n-9=（8+1）n+1-8n-9=（8n+1+8n+8n-1+8+1）-8n-9=8n+1+8n+8n-1+82,而上式各项均为64的倍数，32n+2-8n-9（nN*）能被64整除.温馨提示 用二项式定理证明整除问题时，首先须注意（ab）n中，a、b中有一个必须是除数的倍数，其次，展开式的规律必须清楚余项是什么，必须写出余项，同理可处理系数的问题.各个击破类题演练 1求（x+-1）5展开式中的常数项.解析：由于本题只是5次展开式，可以直接展开（x+）-15,即（x+）-15=（x+）5-5（x+）4+10（x+）3-10（x+）2+5（x+）-1.由x+的对称性，只有在（x+）的偶次幂中，其展开式才会出现常数项，且是各自的中间项，所以，其常数项为-5-10-1=-51.变式提升 1若（2x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2的值是（ ）A.1 B.-1 C.0 D.2解析：（2x+）4=（）4+（2x）1（）3+（2x）2（）2+（2x）3+（2x）4，a0=C04（）4=9，a1=21（）3=24,a2=22（）2=72,a3=23=32，a4=24=16.（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2=972-（56）2=9 409-9 408=1.答案：A类题演练 2（1）若（2x+）3=a0+a1x+a2x2+a3x3,则（a0+a2）2-（a1+a3）2的值为（ ）A.-1 B.1 C.0 D.2（2）（2x+）3的展开式中各项二项式系数之和为_.解析：（1）令x=1,则（2+）3=a0+a1+a2+a3,令x=-1,则（-2+3）3=a0-a1+a2-a3,相乘得（a0+a2）2-（a1+a3）2=（a0+a2）+（a1+a3）（a0+a2）-（a1+a3）=（2+）3（-2+）3=（-1）3=-1,选A.（2）各项二项式系数之和为+=23=8.答案：（1）A （2）8变式提升 2+2+29等于（ ）A.3210 B.310 C.（39-1） D.（3 10-1）解析：观察结构与二项展开式结构作比较，发现2（+2+22+29）=2119+2218+210=（2+1）10-1=310-1.所以原式=（310-1）,选D.答案：D类题演练 3求证：对任何自然数n,33n-26n-1可被676整除.证明：当n=0时，原式=0,可被676整除；当n=1时，原式=0，也可被676整除.当n2时，原式=27n-26n-1=（26+1）n-26n-1=（26n+26n-1+262+26+1）-26n-1=26n+26n-1+262.每一项都含262这个因数，故可被262=676整除，综上所述，对一切自然数n，33n-26n-1可被676整除.变式提升 3（1）设（1+x）3+（1+x）4+（1+x）50=a0+a1x+a2x2+a3x3+a50x50,则a3为（ ）A. B. C. D.（2）（1-x3）（1+x）10的展开式中，x5的系数是（ ）A.-297 B.-252 C.297 D.207解析：（1）（1+x）3+（1