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第四节线段的定比分点与平移 1 线段的定比分点 1 p分有向线段所成的比设p1 p2是直线l上的两点 点p是l上不同于p1 p2的任意一点 则存在一个实数 使 叫做点p分有向线段所成的比 图1 p在线段p1p2上 p为内分点 p在线段p1p2或p2p1的延长线上 p为外分点 0 且 1 内分取 外分取 0 0 2 定比分点坐标公式设p1 x1 y1 p2 x2 y2 p x y p分有向线段 所成的比为 则有中点坐标公式 当 1时 p为的中点 2 平移 1 图形的平移将平面坐标系内的图形f上按照 移动 得到图形f 把这一过程叫做图形的平移 按同一方向平移相同长度即各点按平移向量a平移 2 平移公式平移前的点p x y 原坐标 平移后的点p x y 新坐标 平移向量 h k 则 所有点 同一方向 相同的长度 图2 注意 点的平移公式 其实就是向量的坐标公式 h k x x y y 从而有 如图2 1 已知点p分有向线段的比为3 则p1分的比为 解析 p分有向线段的比为3 如图3 答案 b 图3 2 设向量 7 5 按向量a 3 6 平移得到向量 则的坐标为 a 10 1 b 4 11 c 7 5 d 3 6 解析 平移指的是相对位置发生改变 而大小形状都不改变 故选c 答案 c 3 已知两点p1 3 5 p2 1 2 在的延长线上有一点p 使得 15 则点p的坐标是 答案 9 4 4 把函数的图象f按向量a 2 平移后得到函数y 2sinx的图象f 则平移前的图象f的函数解析式为 解析 设平移前的图象f上的任一点为p x y 平移后与之对应的点为p x y 则有 点p x y 在函数y 2sinx的图象上 y 2sinx 5 已知在 abcd中 点a 1 1 b 2 3 cd的中点为e 4 1 将 abcd按向量a平移 使c点移到原点o 1 求向量a 2 求平移后平行四边形的四个顶点的坐标 解 1 如图4 abcd中 设c x y 由中点坐标公式 d点坐标为 8 x 2 y 图4 又向量 即 1 2 8 2x 2 2y 2 a b c d按向量a平移后的坐标公式为 平移后四个顶点的坐标依次为a 1 b 1 c 0 0 d 1 2 定比分点公式及其应用 例1 已知直线y kx 2 p 2 1 q 3 2 1 当k 2时 这条直线与直线pq的交点分所成的比是多少 2 当这条直线和线段pq有交点时 求k的取值范围 分析 运用定比分点坐标公式 注意起点 终点 分点及 的意义 拓展提升 直线与线段的交点问题 可以选用 作参数 解决问题较为方便 同样证三点共线也可以考虑利用定比分点坐标公式来证 只要证明公式中两个式子求出的比值相同即可 定比 的符号有着明确的几何意义 分点 起点 终点的相对位置确定了 的符号 反过来 的符号又可确定分点 起点 终点的位置关系 平移公式及其应用 例2 是否存在一个平移 它把点 0 1 移至 1 0 且把点 1 3 移至 0 4 解 假设存在平移a x y 存在平移a 1 1 满足题设条件 已知a 3 7 b 5 2 将按向量a 1 2 平移后所得向量的坐标是 a 1 7 b 2 5 c 10 4 d 3 3 解析 a 3 7 b 5 2 2 5 由于向量不管怎样平行移动 向量不变 即向量对应的坐标不变 故正确答案是b 答案 b 2 函数y 2sin2x的图象按向量c m n 平移后得到函数y 2sin2 x m n的图象 即y f x 的图象 由 1 得f x 拓展提升 平移公式与有向线段的定比分点坐标公式一样 在高考中并非是重点 通常出现在解析几何或三角函数中 通过平移化简曲线方程或求三角函数的解析式 关于平面图形的平移 关键在于掌握好平移公式 确定平移向量 注意公式的正 逆使用 并特别注意分清新 旧函数的解析式 解 1 f a b sin2a 2 cos2b 2 1 由题意得 1 关于线段的定比分点 要弄清楚按定比划分线段和定比的意义 也可以把定比分点问题转化为向量共线问题 这样处理线段比例时用向量平行的充要条件更为简捷 2 将图形按向量a h k 平移 也就是将图形沿x轴向右 或向左 平移 h 个单位 h 0时向右 h0时向上 k 0时向下 函数y f x 图象按向量a h k 平移后 新图象所对应的函数解析式为y f x h k 因此图形按向量平移和沿x轴 沿y轴方向平移所得结果是一致的 只是前者更利于研究 方便于过程的阐述 3 将一个图形平移 图形的形状 大小不变 只是
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