高三数学理高考二轮复习专题学案系列课件：专题二 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数新人教版学案9 导数及其应用.ppt

1 了解导数的实际背景 理解导数的几何意义 熟记导数基本公式 掌握导数基本运算 2 能利用导数确定函数单调性 求单调区间 求函数的极值和最值 3 能利用导数解决实际问题 4 了解定积分基本定理的含义 会求简单的定积分 学案9导数及其应用 1 函数f x x 3 ex的单调递增区间是 a 2 b 0 3 c 1 4 d 2 解析f x x 3 ex x 3 ex x 2 ex 令f x 0 解得x 2 d 2 设a b 函数y x a 2 x b 的图象可能是 解析y x a 3x 2b a 由y 0 得x a或 当x a时 y取极大值0 当时 y取极小值且极小值为负 或当x b时 y 0 当x b时 y 0 c 3 2009 江西 设函数f x g x x2 曲线y g x 在点 1 g 1 处的切线方程为y 2x 1 则曲线y f x 在点 1 f 1 处切线的斜率为 a 4b c 2d 解析由已知g 1 2 而f x g x 2x 所以f 1 g 1 2 1 4 a 4 已知二次函数f x ax2 bx c的导数为f x f 0 0 对于任意实数x 都有f x 0 则的最小值为 a 3b c 2d 解析因为f x 2ax b 依题意 有可得c 0 c 题型一曲线的切线与函数的单调区间问题 例1 2009 全国 已知函数f x x4 3x2 6 1 讨论f x 的单调性 2 设点p在曲线y f x 上 若该曲线在点p处的切线l通过坐标原点 求l的方程 解 1 f x 4x3 6x 4x x x 当x 和x 0 时 f x 0 当x 0 和x 时 f x 0 因此 f x 在区间 和 0 上是减函数 f x 在区间 0 和 上是增函数 2 设点p的坐标为 x0 f x0 由l过原点知 l的方程为y f x0 x 因此f x0 x0f x0 因此切线l的方程为 探究拓展 一般地 涉及到函数的单调区间及求曲线在某点处的切线问题 往往借助于导数这一重要工具求解 通过判断导函数的符号 确定函数的单调区间 通过求出函数在某点处的导函数值 确定曲线在此点处切线的斜率 进而求出切线方程 变式训练1 2009 安徽 已知函数f x x a 2 lnx a 0 讨论f x 的单调性 解f x 的定义域是 0 设g x x2 ax 2 二次方程g x 0的判别式 a2 8 当 a2 8 0 即0 a 时 对一切x 0都有f x 0 此时f x 在 0 上是增函数 当 a2 8 0 即a 时 仅对x 有f x 0 对其余的x 0都有f x 0 此时f x 在 0 上也是增函数 当 a2 8 0 即a 时 方程g x 0有两个不同的实根此时f x 在 0 上单调递增 在 上单调递减 在 上单调递增 题型二函数的极值与最值问题 例2 2009 山东 已知函数f x ax3 bx2 x 3 其中a 0 1 当a b满足什么条件时 f x 取得极值 2 已知a 0 且f x 在区间 0 1 上单调递增 试用a表示出b的取值范围 解 1 由已知得f x ax2 2bx 1 令f x 0 得ax2 2bx 1 0 f x 要取得极值 方程ax2 2bx 1 0必须有解 所以 4b2 4a 0 即b2 a 此时方程ax2 2bx 1 0的根为 所以f x a x x1 x x2 当a 0时 f x f x 随x的变化情况如下表 所以f x 在x1 x2处分别取得极大值和极小值 当a 0时 f x f x 随x的变化情况如下表 所以f x 在x1 x2处分别取得极大值和极小值 综上 当a b满足b2 a时 f x 取得极值 2 要使f x 在区间 0 1 上单调递增 需使f x ax2 2bx 1 0在 0 1 上恒成立 探究拓展 求解函数的极值与最值问题常常利用求导的方法来解决 解决这类问题的一般方法是 1 分析得出函数的定义域 2 判断函数是否可导 如可导 则利用导函数求最值的方法进行求解 否则利用函数性质求解 3 如果一个函数在开区间内只有一个极值点 那么它也是相应的最值点 变式训练2设关于x的方程2x2 ax 2 0的两根分别为 1 证明 f x 在区间上是增函数 2 当a为何值时 f x 在区间上的最大值与最小值之差最小 1 证明由方程2x2 ax 2 0的两根分别为知x 时 2x2 ax 2 0 所以此时f x 0 所以f x 在区间上是增函数 2 解由 1 知在上 f x 是增函数 则f x 在区间的最小值为最大值为所以当a 0时 f x 在区间上的最大值与最小值之差最小 最小值为4 题型三导数与不等式 例3 设函数f x x4 ax3 2x2 b x r 其中a b r 1 当a 时 讨论函数f x 的单调性 2 若函数f x 仅在x 0处有极值 求a的取值范围 3 若对于任意的a 2 2 不等式f x 1在 1 1 上恒成立 求b的取值范围 解题示范 解 1 f x 4x3 3ax2 4x x 4x2 3ax 4 f x x 4x2 10 x 4 2x 2x 1 x 2 令f x 0 解得x1 0 x2 x3 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以f x 在 0 2 内是增函数 在 0 2 内是减函数 2 f x x 4x2 3ax 4 显然x 0不是方程4x2 3ax 4 0的根 为使f x 仅在x 0处有极值 必须有4x2 3ax 4 0恒成立 即有 9a2 64 0 解此不等式 得这时 f 0 b是唯一极值 因此满足条件的a的取值范围是 3 由条件a 2 2 可知 9a2 64 0 从而4x2 3ax 4 0恒成立 当x 0时 f x 0 当x 0时 f x 0 因此函数f x 在 1 1 上的最大值是f 1 与f 1 两者中的较大者 为使对任意的a 2 2 不等式f x 1在 1 1 上恒成立 当且仅当所以b 4 因此满足条件的b的取值范围是 4 探究拓展 本小题主要考查了函数的单调性 导数 极大 小 值及不等式恒成立问题 在解答这类问题时 要注意利用导函数的符号判断单调性 切记 导函数的偶次重根不是极值点 解答不等式恒成立问题 往往涉及函数的单调性 一定要判断出函数在所给区间上的单调性 利用函数的单调性解题 能大大简化解题过程 使解答变得简单明了 变式训练3已知函数 c 0且c 1 k r 恰有一个极大值点和一个极小值点 其中一个是x c 1 求函数f x 的另一个极值点 2 求函数f x 的极大值m和极小值m 并求m m 1时k的取值范围 解 1 由题意知f c 0 即得c2k 2c ck 0 c 0 k 0 由f x 0得 kx2 2x ck 0 由韦达定理知另一个极值点为x 1 2 由 式得当c 1时 k 0 当0 c 1时 k 2 当k 0时 f x 在 c 和 1 内是减函数 在 c 1 内是增函数 当k 2时 f x 在 c 和 1 内是增函数 在 c 1 内是减函数 综上可知 所求k的取值范围为 2 例4 2009 江苏 设a为实数 函数f x 2x2 x a x a 1 若f 0 1 求a的取值范围 2 求f x 的最小值 3 设函数h x f x x a 直接写出 不需给出演算步骤 不等式h x 1的解集 解 1 若f 0 1 则 a a 1 2 记f x 的最小值为g a 则有f x 2x2 x a x a 当a 0时 f a 2a2 由 知f x 2a2 此时g a 2a2 当a 0时 若x a 则由 知f x 若x a 由x a 2a 0 由 知f x 2a2 此时g a 综上 探究拓展 本小题主要考查函数的概念 性质 图象及解一元二次不等式等基础知识 考查灵活运用数形结合 分类讨论的思想方法进行探索 分析与解决问题的综合能力 变式训练4已知函数f x x2 alnx在 1 2 上是增函数 g x x 在 0 1 上是减函数 1 求f x g x 的表达式 2 求证 当x 0时 方程f x g x 2有唯一解 3 当b 1时 f x 2bx 在x 0 1 内恒成立 求b的取值范围 1 解f x 2x 依题意f x 0 x 1 2 即a 2x2 x 1 2 上式恒成立 a 2 又g x 1 依题意g x 0 x 0 1 即a x 0 1 上式恒成立 a 2 由 得a 2 f x x2 2lnx g x x 2 证明由 1 可知 方程f x g x 2 令h x 0 并由x 0 令h x 0 由x 0 解得0 x 1 列表分析 知h x 在x 1处有一个最小值0 当x 0且x 1时 h x 0 h x 0在 0 上只有一个解 即当x 0时 方程f x g x 2有唯一解 3 解所以b的取值范围为 1 b 1 考题再现 2009 海南 已知函数f x x3 3x2 ax b e x 1 若a b 3 求f x 的单调区间 2 若f x 在上单调递增 在上单调递减 证明 解题示范 1 解当a b 3时 f x x3 3x2 3x 3 e x 所以f x x3 3x2 3x 3 e x 3x2 6x 3 e x e x x3 9x x x 3 x 3 e x 2分当x 3或0 x 3时 f x 0 当 3 x 0或x 3时 f x 0 3分从而f x 在 3 0 3 上单调递增 在 3 0 3 上单调递减 4分 2 证明f x x3 3x2 ax b e x 3x2 6x a e x e x x3 a 6 x b a 由条件得 f 2 0 即23 2 a 6 b a 0 故b 4 a 6分从而f x e x x3 a 6 x 4 2a 将右边展开 与左边比较系数得 1 导数的实质是变化率的极限 其几何意义是曲线在某点处切线的斜率 2 对于可导函数 利用导函数的符号来确定原函数的单调性并进而确定单调区间 在求函数式中某些参变量的取值范围时 要注意导函数的符号加上等号 3 对于可导函数 在利用导数求函数极值时 要注意极值点处导函数为零 而导函数为零的点不一定是极值点 如 f x x3 因为f x 3x2 所以f 0 0 而在x 0的左右两侧f x 3x2 0 则原函数递增 所以x 0不是原函数极值点 所 以f x x 1 2 则f 1 0 而在x 1的左右两侧f x x 1 2 0 则原函数递增 所以x 1不是原函数的极值点 由此可知导函数的偶次重根不是原函数的极值点 导函数为零是函数取到极值的必要不充分条件 特别地 函数不可导点 如尖点 也可能是极值点 4 要准确理解定积分概念 熟练利用定积分公式解答有关问题 特别是被积函数上 下限的确定以及对谁进行积分的选择也要灵活确定 一 选择题1 设p为曲线c y x2 2x 3上的点 且曲线c在点p处切线倾斜角的取值范围是则点p横坐标的取值范围为 a b 1 0 c 0 1 d 解析 y x2 2x 3 y 2x 2 曲线在点p x0 y0 处切线倾斜角的取值范围是 曲线在点p处的切线斜率0 k 1 0 2x0 2 1 1 x0 a 2 2008 全国 设曲线在点 3 2 处的切线与直线ax y 1 0垂直 则a等于 a 2b c d 2解析 曲线在点 3 2 处的切线斜率为k y x 3 由题意知ax y 1 0的斜率为k 2 a 2 d 3 若函数则f x 在点 0 f 0 处切线的倾斜角为 a b c d 解析由题意可知f x x2 f 1 x f 2 令x 0 得f 0 f 2 令x 1 得f 2 1 所以f 0 1 d 4 2008 湖北 若f x x2 bln x 2 在 1 上是减函数 则b的取值范围是 a 1 b 1 c 1 d 1 解析由题意知即 x2 2x b x 1 2 1 b 0 1 b 0 b 1 c 5 2009 安徽 已知函数f x 在r上满足f x 2f 2 x x2 8x 8 则曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程是 a y 2x 1b y xc y 3x 2d y 2x 3解析由f x 2f 2 x x2 8x 8 得f 2 x 2f x 2 x 2 8 2 x 8 即2f x f 2 x x2 4x 4 f x x2 f x 2x 切线方程为y 1 2 x 1 即2x y 1 0 a 6 已知函数f x ax3 bx2 cx d的图象如图 且 x1 x2 则有 a a 0 b 0 c 0 d 0b a 0 b 0 c 0 d 0c a 0 b 0 c 0 d 0d a 0 b 0 c 0 d 0解析因f x 3ax2 2bx c 由题意可知导函数f x 的图象如图 所以a 0 c 0 则b 0 由原函数图象可知d 0 c 二 填空题7 若曲线f x ax3 lnx存在垂直于y轴的切线 则实数a的取值范围是 解析由题意可知又因为存在垂直于y轴的切线 8 2008 江苏 直线是曲线y lnx x 0 的一条切线 则实数b 解析 lnx 令 得x 2 故切点坐标为 2 ln2 将其代入直线方程 得ln2 2 b 所以b ln2 1 0 ln2 1 9 函数f x ax3 2ax2 a 1 x log2 a2 1 不存在极值点 则实数a的取值范围是 解析 a2 1 0 a 1或a 1 又函数f x 不存在极值点 令f x 3ax2 4ax a 1 0 则 16a2 4 3a a 1 4a a 3 0 所以0 a 3 综上可知 1 a 3 1 a 3 10 数学表达式的值为 解析原式 ln2 三 解答题11 设m是由满足下列两个条件的函数f x 构成的集合 定义f x x 0有实根 函数f x 的导数f x 满足0 f x 1 1 若判断方程f x x 0的根的个数 2 判断 1 中的函数f x 是否为集合m的元素 3 对于m中的任意函数f x 设x1是方程f x x 0的实根 求证 对于f x 定义域中任意的x2 x3 当 x2 x1 1 x3 x1 1时 有