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清华大学电子工程系陆建华第四章第四章拉普拉斯变换拉普拉斯变换LAPLACETRANSFORM41引言上一章讲述了F变换DTETFTFTJFF变换是将信号表示成复指数线性组合,JSSTEF变换在信号分析(频谱)及LTI系统分析(频响特性)具有非常重要的作用,而信号与系统之相互作用可由卷积定理方便表述。F变换侧重于信号分析同时注意到清华大学电子工程系陆建华41引言L变换作为F变换的推广,也是将信号表示成复指数线性组合,其中S为任意复数。L变换除了和F变换一样分析信号与LT1系统,同时提供了研究信号与系统的另一种工具,更重要的是L变换还可以用来分析F变换所不能分析的系统,如不稳定系统。STEJSL变换侧重于系统分析本章重点L变换在系统分析中应用,如系统函数的概念、系统时域特性、系统频域特性、系统稳定性分析等。清华大学电子工程系陆建华第四章拉普拉斯变换42L变换定义及其收敛性一定义JJSTSTDSESFJTFJSDTETFSF21,0考虑因果系统单边L变换UNILATERALORSINGLESIDED本课程重点下限取称为双边L变换BILATERALORDOUBLESIDED清华大学电子工程系陆建华42L变换定义及其收敛性规定单边L变换SSFFTF0L0DTETFSFST这样避免初始条件发生混淆明确为,当利用L变换求解微分方程时,可以直接引入而求得全部结果,无需计算跳变。0F00F00本课程未加说明均指系统,即系统起始从开始。00T清华大学电子工程系陆建华42L变换定义及其收敛性二L变换之收敛性由L变换定义可知,尽管FT不满足绝对可积条件,但乘以衰减因子以后,就有可能满足绝对可积条件,即存在L变换。TEL变换存在的条件分段连续间断点数有限FT为指数阶函数什么是指数阶函数对于给定的,可以找到一个,当时下式成立,则为指数阶函数TF00清华大学电子工程系陆建华42L变换定义及其收敛性0TTETFLIM0若本身发散,给它一个强有力的衰减压下去,则可能收敛。TFL变换扩大了变换存在范围,如,使更多信号存在变换。ATE举例收敛域(收敛区)收敛轴收敛坐标00J01TU0TTETULIM0,即00清华大学电子工程系陆建华42L变换定义及其收敛性2ATE0LIMTATTEEA,A00AJ0AA03T0SIN0,004单脉冲可以为任意值,收敛区为全平面5NT000,2,1N非指数阶的例子2TETF清华大学电子工程系陆建华42L变换定义及其收敛性三常用函数之L变换TFSFT1TUS/1比较1JTUFT2/1SATEAS1T0SIN2020S清华大学电子工程系陆建华42L变换定义及其收敛性NT1NSNT0COS202SS如何用L变换求解微分方程例44T0开关闭合,求TVCRCTVCTIE0T100TCCTVTEUTVTRITEUTVDTTDVRCCC清华大学电子工程系陆建华42L变换定义及其收敛性2取LSESVSRCSVCCRCSSERCSSESVC11113取L1TUEESVTVRCTCC11L三步曲建立微分方程、取L,求L1。与第二章介绍的微分方程求解三步曲相比,微分乘法,积分除法,而且齐次解、特解起始条件自动写入一次给出,从而步骤大为简化。清华大学电子工程系陆建华42L变换定义及其收敛性小结L变换之优点“微分”与“积分”运算转化为“乘法”、“除法”运算;解微分方程步骤简化,齐、特解一次给出,起始条件自动引入;扩大了变换存在范围,使更多信号存在变换;指数、正弦、余弦以及有不连续点的函数,用L变换更简便、省去了项;用系统可避开求之麻烦。00清华大学电子工程系陆建华第四章拉普拉斯变换43L变换的基本性质一线性LINEARITYSFKSFKTFKTFK22112211L0FSSFDTTDFL二微分三积分SFSSFDFT01LDFF010清华大学电子工程系陆建华43L变换的基本性质四时移SFETTUTTFST000L注意有0TTU五频移S域,复频域ASFETFATLASFAATF1L0A六尺度TTFDSSDFL七S域微分思考题16证明S域微分特性清华大学电子工程系陆建华43L变换的基本性质TTFLDSSFS11若,且变换存在八S域积分(九)初值SFTFLDTTDFLIMSSFFS0,不必求逆变换,直接通过找SF0FLIMLIMSSFTFST0(十)终值NOTE应用条件LIMTFT必须存在,否则无意义。如不存在此极限,TSIN但其广义极限存在0TTSINLIM应用以上终值定理也必须在广义极限条件下。清华大学电子工程系陆建华第四章拉普拉斯变换十一卷积SFSFTFTF2121L比较F变换卷积定理,证明方法同。课
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