2020年淄博市高三第二次模拟数学试题及答案

按秘密级事项管理启用前部分学校高三教学质量检测数 学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第卷（选择题 60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则A B C D2已知复数满足，则的共轭复数是A B C D3在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测甲：我的成绩比乙高乙：丙的成绩比我和甲的都高丙：我的成绩比乙高成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A甲、乙、丙 B乙、甲、丙 C丙、乙、甲 D甲、丙、乙4设为两个平面，则的充要条件是A内有无数条直线与平行 B内有两条相交直线与平行C平行于同一条直线 D垂直于同一平面5已知曲线且过定点，若，且，则的最小值为A B C D6函数在的图象大致为A B C D7“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为A B C D8已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A B C D2、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9某健身房为了解运动健身减肥的效果，调查了名肥胖者健身前（如直方图（1）所示）后（如直方图（2）所示）的体重（单位：）变化情况：直方图（1） 直方图（2）对比数据，关于这名肥胖者，下面结论正确的是A他们健身后，体重在区间内的人数较健身前增加了2人B他们健身后，体重原在区间内的人员一定无变化C他们健身后，人的平均体重大约减少了D他们健身后，原来体重在区间内的肥胖者体重都有减少10已知点在双曲线上，是双曲线的左、右焦点，若的面积为，则下列说法正确的有A点到轴的距离为 BC为钝角三角形 D11如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，为线段的中点，点为底面内的动点，则下列结论正确的是A若时，平面平面B若时，直线与平面所成的角的正弦值为C若直线和异面时，点不可能为底面的中心D若平面平面，且点为底面的中心时，12已知，记，则A的最小值为 B当最小时，C的最小值为 D当最小时，第卷（非选择题 90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量，且，则_14在的展开式中，各项系数之和为，则展开式中的常数项为_15在中，内角所对的边分别是若，则_，面积的最大值为_（第一个空2分，第二个空3分）16已知函数的定义域为，导函数为，若，且，则满足的的取值范围为_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知数列满足，且（1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；（2）求数列的前项和18（12分）已知的内角的对边分别为，满足有三个条件：；其中三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题：（1）求；（2）设为边上一点，且，求的面积19（12分）图1是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中，将其沿折起使得与重合，连结，如图2（1）证明：图2中的四点共面，且平面平面；（2）求图2中的二面角的大小20（12分）已知椭圆()，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为（1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（2）若过点，延长线段与交于点，判断四边形能否为平行四边行？若能，求此时的斜率；若不能，说明理由21（12分）某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：，其中均为常数，为自然对数的底数现该公司收集了近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧散点图及一些统计量的值令，经计算得如下数据：（1）设和的相关系数为，设和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到001）；（ii）若下一年销售额需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元?附：相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘法估计公式为：参考数据：22（12分）设函数（1）讨论函数的单调性；（2）如果对所有的0，都有，求实数的最小值；（3）已知数列中，且，若数列的前n项和为，求证：答案1 答案C解析：由题意得，则故选C2 答案 B解析：由，得，所以故选B3 答案 A解析：若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A4 答案B解析：由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B5 答案 A解析：因为定点为，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立，即时取得最小值故选A6答案B解析：设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C又排除选项D；，排除选项A，故选B7 答案 D解析：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则，故选D8 答案C解析：由题意，得，设过的抛物线的切线方程为，联立， ，令，解得，即，解得，不妨设，由双曲线的定义得，则该双曲线的离心率为故选C3、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9 【答案】AD解：体重在区间内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人，故人增加了2个，故正确；他们健身后，体重在区间内的百分比没有变，但人员组成可能改变，故错误；他们健身后，人的平均体重大约减少了，故错误；因为图（2）中没有体重在区间内的人员，所以原来体重在区间内的肥胖者体重都有减少，故正确10 【答案】BC解：因为双曲线，所以，又因为，所以，所以选项A错误；将其代入得，即， 由对称性，不妨取P的坐标为，可知，由双曲线定义可知所以，所以选项B正确；由对称性，对于上面点P，在中，且，所以为钝角三角形，选项C正确；因为，所以，即，所以，所以选项D错误（余弦定理也可以解决）；11 【答案】AC解：因为，所以平面，平面，所以平面平面，A项正确；设的中点为，连接，则，平面平面，平面平面，平面，平面，设与平面所成的角为，则，则，B项错误连接，易知平面，由确定的平面即为平面，当直线和异面时，点不可在平面内，同时点不可在直线上，点也不可为底面的中心，选项C正确；连接，平面，、分别为、的中点，则，又，故，故D项错误；12 【答案】BC解：由，得：，的最小值可转化为函数图象上的点到直线上的点的距离的最小值的平方，由得：，与直线平行的直线的斜率为，则令，解得：，切点坐标为到直线的距离，即函数上的点到直线上的点的距离的最小值为，的最小值为，过与垂直的直线为，即，由，解得：，即当最小时，第卷（非选择题 90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13 答案 解析：向量，则，所以，解得14 答案 解析：因为在的展开式中，各项系数之和为，所以将代入，得，所以所以所以，令，即，则其系数为故答案为15 答案 ，解析:因为，所以由正弦定理可得，所以;所以，当，即时，三角形面积最大，最大值为 16 解析：因为，所以令，则，故函数为奇函数，故函数在R上单调递减，则，所以，故，即的取值范围为四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 解：（1）证明：因为，所以，即，所以数列是等差数列，且公差，其首项，2分所以，解得 5分(2)， 7分， 8分，得所以 10分18 解：（1）因为，所以，即，2分为钝角，与矛盾，故中仅有一个正确，正确； 3分显然，得； 4分当正确时，由，得（无解） 5分当正确时，由于，得； 6分（2）如图，因为，则 7分 则=， 8分， 10分故的面积为 12分19【解析】（1）由已知得，所以，故确定一个平面，从而四点共面 2分由已知得，故平面 3分又因为平面，所以平面平面4分（2）作，垂足为因为平面，平面平面，所以平面 5分由已知，菱形的边长为2，可求得，6分以为坐标原点， 的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，7分设平面的法向量为，则令，则 9分又平面的法向量可取为， 10分所以 11分因此二面角的大小为 12分20 【解析】（1）设直线，将代入得， 2分故， 4分于是直线的斜率，即所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值 5分（2）四边形能为平行四边形因为直线过点，所以不过原点且与有两个交点的充要条件是，由（1）得的方程为 6分设点的横坐标为由得，即 8分将点的坐标代入直线的方程得，因此 9分四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即于是解得，11分因为，所以当的斜率为或时，四边形为平行四边形 12分21附：相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘法估计公式为：参考数据：20. 解析：（1） 2分4分则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好5分 （2）（i）先建立关于的线性回归方程由，得，即6分 由于8分 9分所以关于的线性回归方程为，所以 10分（ii）下一年销售额需达到90亿元，即，代入得，又， 11分得，所以预测下一年的研发资金投入量约是3299亿元12分22 解：（1）的定义域为， 1分当时， ，当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增2分（2