复变函数-工科复变4-1

我们从导数与积分的角度研究解析函数均获得成功于是，我们自然会想从数学分析中选取别的研究角度如幂级数来讨论解析函数实践证明，这种选择是成功的 我们先讨论解析函数的泰勒级数和罗伦级数展开式。,第四章 复级数,首先介绍复数列和复数项级数收敛的概念和判别法，以及幂级数的有关概念和性质。 然后讨论解析函数的泰勒级数和罗伦级数展开定理及其展开式的求法，它们是研究解析函数的性质和计算其积分的重要工具。,1 复数项级数和幂级数,一、复数列的收敛性及其判别法二、复数项级数的收敛性及其判别法三、幂级数及其收敛半径四、幂级数的运算性质,复数序列就是：这里 是复常数， ，该序列简单记为 。根据 的有界性来定义 的有界性。,研究级数和序列的基本性质，先从复数序列开始。一、复数序列的收敛性及其判别法：,定义1 设 一复常数，如果对任意 ，存在 使得当 时，有则称 极限是 ，或者 收敛且收敛到 ，记作,复数列的极限,定理1,定理2 复数序列 收敛到 的充分必要条件是： 并且,复数列收敛与实数列收敛的关系,那末对于任意给定的,能找到一个正整数N ,使得当,证明：如果,从而有,即,同理可证：,反之, 如果 ，那么当,从而有,所以,解 (1)令 ， 则 ，显然 ， 故当 ， 。,例1 判别下列数列的收敛性和极限 （1） （2） （3）,(2)显然当 时 ， ，因此,(3)由于 ，并且 发散，所 以该数列发散。,而,解,数列 是否收敛？,例2,所谓通项为复数 的复数项级数就是,前 n 项的和,称为级数的部分和.,二、 复数项级数的收敛性及其判别法,如果该部分和数列 收敛到 ，则称上述复数项级数收敛，且称 为该级数的和，记为 如果该部分和数列 发散，则称复数项级数发散。,级数收敛与发散的概念,说明：与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散性的基本方法是:,复数项级数与实数项级数收敛的关系(定理3),证明,因为,定理3,说明,复数项级数的收敛问题,两个实数项级数的收敛问题,解,所以原级数发散.,练习,级数收敛的必要条件定理4 如果级数 收敛，那么当 时，,注意：条件 ，该条件只是级数收敛的必要条件，而不是充分的，比如级数 尽管通项 ，但是它是发散的。,重要结论:,不满足必要条件,所以原级数发散.,判别级数的敛散性时, 可先考察,?,绝对收敛：如果级数收敛.定理5 如果 绝对收敛，那么 收敛。,绝对收敛级数的性质(定理5),证明,由于,而,根据实数项级数的绝对收敛性, 知,从而,说明,所以,综上可得:,例1 当 时，级数 绝对收敛 ，并且例2 判别下列级数的收敛性 (2) (3)解(1)由 不趋于零，故由推论得该级数发散。 (2) ,其绝对值级数的公比为 ，故该级数不仅收敛而且是绝对收敛。 (3)其实部级数为 ，虚部级数为,它们通项的绝对值当 时是单调下降，并且趋于零，故由交错级数的判别法知它们是收敛的，从而原复数项级数是收敛的。,例3,解,级数满足必要条件,但,例4,故原级数收敛, 且为绝对收敛.,因为,所以由正项级数的比值判别法知:,解,故原级数收敛.,所以原级数非绝对收敛 .,例5,解,1.幂级数的概念,称为复变函数项级数。,称为该级数前n项的部分和.,级数前n项的和,三、幂级数及其收敛半径,如果 在 上每一点 ，级数 收敛(于 )，则称级数 在 上收敛(于 ），记为 称 为级数 的和函数。,当 时，得到的函数项级数就是一幂级数，即幂级数为 其中z是复变数，系数 是复常数.为简便，下面只讨论 的情形，即其所有结果可通过变量替换 来推广到一般情形,我们知道 在一般情况下，级数是否存在一个圆 在该圆外部发散，而在内部绝对收敛呢？,Abel第一定理定理6 如果幂级数 在 处收敛，那么对于满足： 的任何点 ，幂级数 在该点不仅收敛，而且是绝对收敛。,证明,因而存在正数M,使对所有的n,由正项级数的比较判别法知:,收敛.,另一部分请课后完成,Abel第一定理推论推论 若级数 在点 发散，则它在满足 的 处发散,收敛半径,与幂级数 相对应，作一实系数的幂级数：其中x为实数。定理7 设级数（1.6）的收敛半径为 R , 按照不同情况，有：（i）如果 ，那么当 时，级数 绝对收敛；当 时，级数 发散；,（ii）如果 ，那么级数 在复平面上的每一点绝对收敛；（iii）如果 ，那么级数 在复平面上除去 外每点均发散。,在定理7 的情况（i）中，当 时，级数 可能发散，也可能收敛。定理 7 中的数 称为级数 的收敛半径。 称为它的收敛圆盘。求级数 的收敛半径归结为求级数的收敛半径。,定理8 如果下列条件之一成立，那么当 时，级数 的收敛半径 当 ， ；当 时， 。(1)(2) (3),收敛圆与收敛半径,对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种:,(1) 对所有的正实数都收敛.,由Abel定理:,级数在复平面内绝对收敛.,例如, 级数,对任意给定的 x ,则从某个n开始,有,于是,该级数对任意的实数 x 均收敛.,该级数在复平面内绝对收敛.,(2) 对所有的正实数除 z=0 外都发散.,此时, 级数在复平面内除原点外处处发散.,(3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收,敛的正实数.,例如, 级数,通项不趋于零,如图:,故级数发散.,.,.,收敛圆,收敛半径,.,.,事实上，在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.,问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?,例题,求收敛域常应用到的方法变量替换法。例1 求下列幂级数的收敛圆及其收敛区域。（1） （2）解 （1）令 ，则由于,得其收敛域为 1, 即它的收敛圆域是 而且在收敛的圆周上处处发散的。容易发生错误： ，而得,（2）令 ，则得由定理8可求出：上式右端级数的收敛半径 ，并且在 的内部是绝对收敛的，因此原级数在 时是绝对收敛的，而在 时是发散的。另外，由于 是收敛的，因此当 时， 原级数 绝对收敛。,解答,四.幂和函数在收敛圆盘内解析,由以上讨论知道，对于级数 ，总有一个收敛圆(或者仅仅为圆心点)存在，使得级数在此圆内收敛，那么其和函数在收敛圆内是否解析呢