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方程与相减后所得的直线方程的几何意义在平常的学习中知道,如果把两相交圆 和:的方程相减所得到的直线l:表示两圆公共弦所在直线方程。但很多同学在用这个结论时没注意到前提条件必须是两圆相交。如果两圆不相交,两圆相减照样可以得到直线l,但l的几何意义就改变了。因而有必要就两圆的5种位置关系进行讨论直线l的几何意义。我就两圆的5种位置关系进行研究。一两圆相交设、是两圆的交点,则有和成立,即、满足方程即。所以直线l表示两圆相交弦所在直线。二两圆相切(内切或外切)当把两相交的圆逐渐往两侧移动时,两交点逐渐靠近,最终重合为一点,此时两圆外切,同时与两圆相交的直线l也就与两圆只有一个公共点,直线l成为两外切圆的过同一切点的公切线。因此,直线l:表示两外切圆的过同一切点的公切线。当把两相交的圆逐渐往中间移动时,两交点逐渐靠近,最终重合为一点,此时两圆内切,同时,与两圆相交的直线l也就与两圆只有一个公共点,直线l成为两内切圆的过同一切点的公切线。因此,直线l:表示两内切圆的公切线。例如,圆:与圆:相切于原点,那么两圆相减得:,该直线与两圆相切于原点。下面就两圆外切情况加以证明。设圆,圆的半径分别为,则,。由两圆外切得: ,化简得: 即:又,即:,。利用直线Ax+By+C=0分线段的比为,那么直线l分的比为=。又,所以l(当直线与直线l的斜率不存在时也成立);且,所以点到直线l的距离为,点到直线l的距离为。所以直线l与两圆相切。三两圆相离这里首先得了解式子的含义。因为圆的方程有两种表示,即。当点P(x,y)在圆外时,式子表示点P到圆的切线长。因而,对直线方程可以变形为:,即点P到两圆的切线长相等。因此,直线l的几何意义是:到两相离圆的切线长相等的点的集合。更进一步,如果两圆的半径相等,直线l就是两圆的对称轴。四两圆内含同“三”易知,直线l上的点到两圆的切线长相等。(注:以上两圆非同心圆)五范例例:已知圆与圆:外切于点O,且两圆的过点O的公切线为,已知圆的圆心落在直线上,求圆的方程。解:易得。设圆:,即:,圆
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