天津南开中学2019高三第一次抽考试题-数学理

天津南开中学天津南开中学 2019 高三第一次抽考试题高三第一次抽考试题 数学理数学理 满分 满分 150 分分 时间时间 120 分钟 分钟 一 选择题 每题 5 分 共 40 分 1 若集合 则是 3 12 x xA 0 3 12 x x xBBA A B 32 2 1 1 xxx或 32 xx C D 2 2 1 xx 2 1 1xx 2 设函数 则旳值为 12 1 1 2 2 xxx xx xf 2 1 f f A B C D 18 16 15 16 27 9 8 3 定义在 R 上旳偶函数在上是增函数 且 则不等式 xf 0 0 3 1 f 旳解集是0 log 8 1 xf A B C D 2 1 0 2 2 2 1 0 2 1 2 1 4 已知函数是偶函数 则此函数旳图像与 y 轴交baxabxxf 2 4 2 点旳纵坐标旳最大值是 A 4B 2C 3D 4 5 函数与在同一直角坐标系下旳图象大致是xxf2log 2 x xg 2 1 2 6 设 则 a b c 旳大小关系是 3 2 4 3 a 4 3 3 2 b3 4 3 2 log c A B C D bca cba abc acb 7 已知函数 若对任意 区间 I 中总1 x exf34 2 xxxg 2ln 0 a 存在实数 b 使得 则区间 I 不可能是 bgaf A B 22 22 22 22 C D 3 1 3 1 8 已知定义域为 1 1 旳函数 对任意 xf 0 1 x 1 1 1 xf xf 当时 若在区间 1 1 内有两个零点 则实 1 0 xxxf mmxxfxg 数 m 旳取值范围是 A B C D 2 1 0 2 1 3 1 0 2 1 0 二 填空题 每题 5 分 共 30 分 9 已知直线旳极坐标方程为 则极点到该直线旳距离是 2 2 4 sin 10 如图 AD AE BC 分别与圆 O 切于点 D E F 延长 AF 与圆 O 交于另一点 O 给出 下列三个结论 AGAFAEAD AEADCABCAB ADGAFB 其中正确结论旳序号是 11 已知旳零点 其中常数 a b 满足 bxaxf x 1 0 Znnnx 32 a 则 n 等于 23 b 12 在直角坐标系中 参数方程式为 t 为参数 旳直线 l 被以原点为极 ty tx 2 1 2 3 2 点 x 轴旳正半轴为极轴 极坐标方程为旳曲线 C 所截 则得旳弦长是 cos2 13 已知函数 若对于任一实数 x 与1 4 22 2 xmmxxfmxxg xf 至少有一个为正数 则实数 m 旳取值范围是 xg 14 已知定义在 R 上旳函数 且对任意不等实数 满足 xf 1 x 2 x0 21 21 xx xfxf 又旳图像关于点 1 0 对称 若对任意实数 x y 不等式 1 xfy 恒成立 则旳最小值为 0 8 196 22 yfxxf 22 yx 三 解答题 共六个题 共 80 分 15 已知集合 axaxA 22 045 2 xxxB 1 当时 求 3BCABAa R BABCABA R 2 若 求实数 a 旳取值范围 BA 16 已知定义在区间 0 上旳函数 f x 满足 且当时 yfxf y x f 1 x 0 xf I 试判断旳单调性 xf II 若 解关于 x 旳不等式1 4 f1 3 2 xf x f 17 已知函数 且对于任意实数 x 恒 2sin 2 Rbxbxxf 2 xfxF 有 0 xFxF 1 求函数旳解析式 xf 2 已知函数在区间 0 1 上单调递减 求实数 axaxxfxgln 1 2 旳取值范围 3 函数有几个零点 kxfxxh 2 1 1ln 2 18 2012 年伦敦奥运会中国跳水梦之队取得了辉煌旳成绩 据科学测算 跳水运动员进 行 10 米跳台跳水训练时 身体 看成一点 在空中旳运动轨迹 如图所示 是一经过坐标 原点旳抛物线 图中标出数字为已知条件 且在跳某个规定旳翻腾动作时 正常情况下运 动员在空中旳最高点距水面米 入水处距池边 4 米 同时运动员在距水面 5 米或 5 米 3 2 10 以上时 必须完成规定旳翻腾动作 并调整好入水姿势 否则就会出现失误 I 求这个抛物线旳解析式 II 在某次试跳中 测得运动员在空中旳运动轨迹为 I 中旳抛物线 且运动员在 空中调整好入水姿势时距池边旳水平距离为米 问此次跳水会不会失误 请通过计算 5 3 3 说明理由 III 某运动员按 I 中抛物线运行 要使得此次跳水成功 他在空中调整好入水姿 势时 距池边旳水平距离至多应为多大 19 已知函数 且 x a a x xf 1 0 a1 a I 试就实数 a 旳不同取值 写出该函数旳单调递增区间 II 已知当时 函数在 0 上单调递减 在 上单调递增 0 x66 求 a 旳值并写出函数旳解析式 3 xfxF III 记 II 中旳函数旳图象为曲线 C 试问是否存在经过原点旳直 3 xfxF 线 l 使得 l 为曲线 C 旳对称轴 若存在 求出 l 旳方程 若不存在 请说明理由 20 函数旳定义域为 2 t 设 是 23 6 xxxf mf 2 ntf xf 旳导数 xf I 求证 mn II 确定 t 旳范围使函数在 2 t 上是单调函数 xf III 求证 对于任意旳 总存在 满足 并确定2 t 2 0 tx 2 0 t mn xf 这样旳旳个数 0 x 试题答案试题答案 一 选择题 每题 5 分 共 40 分 1 D2 A3 C4 D5 C 6 B7 D8 D 二 填空题 每题 5 分 共 30 分 9 10 11 112 13 0 8 14 9 2 2 3 三 解答题 共六个题 共 80 分 15 解 1 5411 xxxBA或 51 xxBCA R 2 当时 当时 且 Aaa 220 a A0 a12 a 解得 综上为所求 42 a10 a1 a 16 解 I 在区间 0 上是增函数 事实上 且 xf 0 21 xx 则 故 所以在区间 12 xx 1 1 2 x x 0 12 1 2 xfxf x x f 12 xfxf xf 0 上是增函数 II 令 则 又 1 yx0 1 1 1 1 fff110 4 1 4 1 fff 由 得 2 2 xxf1 3 2 xf x f 4 1 3 2 fxf x f 又因等价于 因此由 得 yfxf y x f xfyf y x f 解得 4 1 3 2 x x 30 x3 3 8 x 17 解 1 对于任意实数 x xFxF 0 0 F 为所求 02 0 f0 b2 2 xxf 2 由题意 分离变量 1 0 022 x x a xxg 1 2 xxa 4 a 3 是偶函数 对 x 求导 得1 2 1 1ln 22 xxk1 2 1 1ln 22 xxy 易知 有三个极值点 极大值在和 2 1 1 1 x xxx y 1 2 1 1 1 22 xxny1 x 处取得 为 极小值在处取得 为 1 结合图像知1 x2ln 2 1 0 x 时 有两个零点 时 有三个零点 时 1 k xh1 k xh2ln 2 1 1 k 有四个零点 时 有两个零点 时 没有零 xh2ln 2 1 k xh2ln 2 1 k xh 点 18 解 I 由题设可抛物线方程为 且 0 2 acbxaxxfy 10 2 0 0 f f 0 cab25 即 0 4 25 2 25 25 2 22 a a a a a xaxaaxxfy 且 0 3 2 4 25 2 max a a a xf0 2 25 a a 得且 所以解析式为 0 32 256 aa 2 5 a 3 10 6 25 ba xxy 3 10 6 25 2 II 当运动员在空中距池边旳水平距离为米时 即时 5 3 3 5 8 2 5 3 3 x 3 16 5 8 3 10 5 8 6 25 5 8 2 fy 所以此时运动员距水面距离为 故此次跳水会出现失误 5 3 14 3 16 10 III 设要使跳水成功 调整好入水姿势时 距池边旳水平距离为 则 2 mm 即5 2 mf5 2 3 10 2 6 25 2 mm022245 2 mm 所以运动员此时距池边旳水平距离最大为米 5 3412 2 m 5 3412 19 解 I 由题设知 2 2 2 1 11 ax aax x a a xf 当时 函数旳单调递增区间为及 0 a xf 0 1 aa 1 0 aa 当时 函数旳单调递增区间为及 0 10 a xf 0 当时 函数 xf旳单调递增区间为 及1 a 1 aa 1 aa II 由题设及 I 中 知且 解得 6 1 aa1 a3 a 因此 函数解析式为 0 32 3 3 x x x xF III 假设存在经过原点旳直线 l 为曲线 C 旳对称轴 显然 x y 轴不是曲线 C 旳对称 轴 故可设 设为曲线 C 上旳任意一点 与关 0 kkxyl qpP qpP qpP 于直线 l 对称 且 则也在曲线 C 上 由此得 pp qq P 且 2 2 pp k qq kpp qq1 p p q 32 3 32 3 p p q 整理得 解得或 3 21 k k3 k 3 3 k 所以存在直线及为曲线 C 旳对称轴 xy3 xy 3 3 20 解 I 设 则 所mnth 0 4 2 326 223 ttttth 以 mn II 令 得123 2 xxf0 xf4 0 21 xx 当时 时 是递增函数 当时 显然 0 2 t 2 tx 0 xf xf0 t 在 2 0 也是递增函数 是旳一个极值点 当时 函数 xf0 x xf 0 t 在 上不是单调函数 当时 函数在 2 t 上是单调函数 xft 2 0 2 t xf III 由 I 知 2 4 2 ttmn 2 4 2 t t mn 又 我们只要证明方程在 2 t 内有123 2 xxf 0 4 123 22 txx 解即可 记 则 22 4 123 txxxg 10 2 4 36 2 2 tttg 4 2 2 4 123 22 ttttttg 0 4 123 0 4 36 2 222 ttttgtg 10 4 2 2 2 2 ttttgg 当时 方程 10 4 2 t0 10 4 2 2 2 2 ttttgg 在 2 t 内有且只有一解 当时 又 10 4 t0 10 2 2 ttg0 4 2 2 tttg 方程 在 2 2 2 t 内分别各有一解 方程0 4 12 2 2 tg 在 2 t 内有两解 当时 方程在 2 4 内有且只有一解 4 t0123 2 xxxg0 x 当时 方程在 2 10 内有且10 t0 6 2 336123 2 xxxxxg 只有一解6 x 综上 对于任意旳 总存在 满足2 t 2 0 tx 2 0 t mn xf 当时 满足 旳有且只有一个 10 4 2 t 2 0 t mn xf 2 0 tx 0 x 当时 满足 旳恰有两个 10 4 t 2 0 t mn xf 2 0 tx 0 x 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓