2011届高三数学全程复习11 第十一编统计、统计案例（共39页）教学案 新人教版

第十一编第十一编 统计 统计案例统计 统计案例 11 1 11 1 抽样方法抽样方法 1 为了了解所加工的一批零件的长度 抽取其中 200 个零件并测量了其长度 在这个问题中 总体的一个样 本是 答案答案 200 个零件的长度 2 某城区有农民 工人 知识分子家庭共计 2 004 户 其中农民家庭 1 600 户 工人家庭 303 户 现要从中 抽取容量为 40 的样本 则在整个抽样过程中 可以用到下列抽样方法 简单随机抽样 系统抽样 分层抽样中的 答案答案 3 某企业共有职工 150 人 其中高级职称 15 人 中级职称 45 人 初级职称 90 人 现采用分层抽样抽取容量 为 30 的样本 则抽取的各职称的人数分别为 答案答案 3 9 18 4 2008 2008 广东理 广东理 某校共有学生 2 000 名 各年级男 女生人数如下表 已知在全校学生中随机抽取 1 名 抽到二年级女生的概率是 0 19 现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生 则应在三年级抽取的学生人 数为 一年级二年级三年级 女生 373xy 男生 377370z 答案答案 16 5 某工厂生产 A B C 三种不同型号的产品 其相应产品数量之比为 2 3 5 现用分层抽样方法抽出一个 容量为 n 的样本 样本中 A 型号产品有 16 件 那么此样本的容量 n 答案答案 80 更多成套系列资源请您访问 谢谢您对我们的帮助支持 基础自测 例例 1 1 某大学为了支援我国西部教育事业 决定从 2007 应届毕业生报名的 18 名志愿者中 选取 6 人组成志 愿小组 请 用抽签法和随机数表法设计抽样方案 解解 抽签法 第一步 将 18 名志愿者编号 编号为 1 2 3 18 第二步 将 18 个号码分别写在 18 张外形完全相同的纸条上 并揉成团 制成号签 第三步 将 18 个号签放入一个不透明的盒子里 充分搅匀 第四步 从盒子中逐个抽取 6 个号签 并记录上面的编号 第五步 所得号码对应的志愿者 就是志愿小组的成员 随机数表法 第一步 将 18 名志愿者编号 编号为 01 02 03 18 第二步 在随机数表中任选一数作为开始 按任意方向读数 比如第 8 行第 29 列的数 7 开始 向右读 第三步 从数 7 开始 向右读 每次取两位 凡不在 01 18 中的数 或已读过的数 都跳过去不作记录 依次可得到 12 07 15 13 02 09 第四步 找出以上号码对应的志愿者 就是志愿小组的成员 例例 2 2 某工厂有 1 003 名工人 从中抽取 10 人参加体检 试用系统抽样进行具体实施 解解 1 将每个人随机编一个号由 0001 至 1003 2 利用随机数法找到 3 个号将这 3 名工人剔除 3 将剩余的 1 000 名工人重新随机编号由 0001 至 1000 4 分段 取间隔 k 10 0001 100 将总体均分为 10 段 每段含 100 个工人 5 从第一段即为 0001 号到 0100 号中随机抽取一个号 l 6 按编号将 l 100 l 200 l 900 l 共 10 个号码选出 这 10 个号码所对应的工人组成样本 例例 3 3 14 分 某一个地区共有 5 个乡镇 人口 3 万人 其中人口比例为 3 2 5 2 3 从 3 万人中抽取 一个 300 人 的样本 分析某种疾病的发病率 已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关 问应采取什么样的方法 并写出具体过程 解解 应采取分层抽样的方法 3 分 过程如下 1 将 3 万人分为五层 其中一个乡镇为一层 5 分 2 按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本 300 15 3 60 人 300 15 2 40 人 300 15 5 100 人 300 15 2 40 人 300 15 3 60 人 10 分 因此各乡镇抽取人数分别为 60 人 40 人 100 人 40 人 60 人 12 分 3 将 300 人组到一起即得到一个样本 14 分 例例 4 4 为了考察某校的教学水平 将抽查这个学校高三年级的部分学生本年度的考试成绩 为了全面反映实 际情况 采 取以下三种方式进行抽查 已知该校高三年级共有 20 个班 并且每个班内的学生已经按随机方式编好了 学号 假定该校每班学生的人数相同 从高三年级 20 个班中任意抽取一个班 再从该班中任意抽取 20 名学生 考察他们的学习成绩 每个班抽取 1 人 共计 20 人 考察这 20 名学生的成绩 把学生 按成绩分成优秀 良好 普通三个级别 从其中共抽取 100 名学生进行考察 已知该校高三学生共 1 000 人 若按成绩分 其中优秀生共 150 人 良好生共 600 人 普通生共 250 人 根据上面的叙述 试回答下列问题 1 上面三种抽取方式的总体 个体 样本分别是什么 每一种抽取方式抽取的样本中 样本容量分别 是多少 2 上面三种抽取方式各自采用的是何种抽取样本的方法 3 试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤 解解 1 这三种抽取方式的总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩 个体都是指高三年级每个 学生本年度的考试成绩 其中第一种抽取方式的样本为所抽取的 20 名学生本年度的考试成绩 样本容量为 20 第二种抽取方式的样本为所抽取的 20 名学生本年度的考试成绩 样本容量为 20 第三种抽取方式的 样本为所抽取的 100 名学生本年度的考试成绩 样本容量为 100 2 三种抽取方式中 第一种采用的是简单随机抽样法 第二种采用的是系统抽样法和简单随机抽样法 第三种采用的是分层抽样法和简单随机抽样法 3 第一种方式抽样的步骤如下 第一步 首先用抽签法在这 20 个班中任意抽取一个班 第二步 然后从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取 20 名学生 考察其考试成绩 第二种方式抽样的步骤如下 第一步 首先用简单随机抽样法从第一个班中任意抽取一名学生 记其学号为 a 第二步 在其余的 19 个班中 选取学号为 a 的学生 加上第一个班中的一名学生 共计 20 人 第三种方式抽样的步骤如下 第一步 分层 因为若按成绩分 其中优秀生共 150 人 良好生共 600 人 普通生共 250 人 所以在抽取 样本时 应该把全体学生分成三个层次 第二步 确定各个层次抽取的人数 因为样本容量与总体的个体数之比为 100 1 000 1 10 所以在每 个层次中抽取的个体数依次为 10 150 10 600 10 250 即 15 60 25 第三步 按层次分别抽取 在优秀生中用简单随机抽样法抽取 15 人 在良好生中用简单随机抽样法抽取 60 人 在普通生中用简单随机抽样法抽取 25 人 1 有一批机器 编号为 1 2 3 112 为调查机器的质量问题 打算抽取 10 台入样 问此样本若采用 简单随机抽样方法将如何获得 解解 方法一方法一 首先 把机器都编上号码 001 002 003 112 如用抽签法 则把 112 个形状 大小 相同的号签放在同一个箱子里 进行均匀搅拌 抽签时 每次从中抽出 1 个号签 连续抽取 10 次 就得 到一个容量为 10 的样本 方法二方法二 第一步 将原来的编号调整为 001 002 003 112 第二步 在随机数表中任选一数作为开始 任选一方向作为读数方向 比如 选第 9 行第 7 个数 3 向 右读 第三步 从 3 开始 向右读 每次读取三位 凡不在 001 112 中的数跳过去不读 前面已经读过的也 跳过去不读 依次可得到 074 100 094 052 080 003 105 107 083 092 第四步 对应原来编号 74 100 94 52 80 3 105 107 83 92 的机器便是要抽取的对象 2 某单位在岗职工共 624 人 为了调查工人用于上班途中的时间 该单位工会决定抽取 10 的工人进行调查 请问如何采用系统抽样法完成这一抽样 解解 1 将 624 名职工用随机方式编号由 000 至 623 2 利用随机数表法从总体中剔除 4 人 3 将剩下的 620 名职工重新编号由 000 至 619 4 分段 取间隔 k 62 620 10 将总体分成 62 组 每组含 10 人 5 从第一段 即为 000 到 009 号随机抽取一个号 l 6 按编号将 l 10 l 20 l 610 l 共 62 个号码选出 这 62 个号码所对应的职工组成样本 3 某电台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查 参加调查的总人数为 12 000 人 其中持各种 态度的人数如下表 很喜爱喜爱一般不喜爱 2 4354 5673 9261 072 电视台为进一步了解观众的具体想法和意见 打算从中抽取 60 人进行更为详细的调查 应当怎样进行抽 样 解解 可用分层抽样方法 其总体容量为 12 000 很喜爱 占 00012 4352 应取 60 00012 4352 12 人 喜爱 占 00012 5674 应取 60 00012 5674 23 人 一般 占 00012 9263 应取 60 00012 9263 20 人 不喜爱 占 00012 0721 应取 60 00012 0721 5 人 因此采用分层抽样在 很喜爱 喜爱 一般 和 不喜爱 的 2 435 人 4 567 人 3 926 人和 1 072 人中分别抽取 12 人 23 人 20 人和 5 人 4 某初级中学有学生 270 人 其中一年级 108 人 二 三年级各 81 人 现要利用抽样方法抽取 10 人参加某 项调查 考虑选用简单随机抽样 分层抽样和系统抽样三种方案 使用简单随机抽样和分层抽样时 将学 生按一 二 三年级依次统一编号为 1 2 270 使用系统抽样时 将学生统一随机编号为 1 2 270 并将整个编号依次分为 10 段 如果抽得号码有下列四种情况 7 34 61 88 115 142 169 196 223 250 5 9 100 107 111 121 180 195 200 265 11 38 65 92 119 146 173 200 227 254 30 57 84 111 138 165 192 219 246 270 关于上述样本的下列结论中 正确的是 填序号 1 都不能为系统抽样 2 都不能为分层抽样 3 都可能为系统抽样 4 都可能为分层抽样 答案答案 4 一 填空题一 填空题 1 2008 2008 安庆模拟 安庆模拟 某校高中生共有 900 人 其中高一年级 300 人 高二年级 200 人 高三年级 400 人 现分层抽取容量为 45 的样本 那么高一 高二 高三年级抽取的人数分别为 答案答案 15 10 20 2 某牛奶生产线上每隔 30 分钟抽取一袋进行检验 则该抽样方法为 从某中学的 30 名数学爱好者中抽取 3 人了解学习负担情况 则该抽样方法为 那么 分别为 答案答案 系统抽样 简单随机抽样 3 下列抽样实验中 最适宜用系统抽样的是 填序号 某市的 4 个区共有 2 000 名学生 且 4 个区的学生人数之比为 3 2 8 2 从中抽取 200 人入样 某厂生产的 2 000 个电子元件中随机抽取 5 个入样 从某厂生产的 2 000 个电子元件中随机抽取 200 个入样 从某厂生产的 20 个电子元件中随机抽取 5 个入样 答案答案 4 2008 2008 重庆文 重庆文 某校高三年级有男生 500 人 女生 400 人 为了解该年级学生的健康情况 从男生中任 意抽取 25 人 从女生中任意抽取 20 人进行调查 这种抽样方法是 答案答案 分层抽样法 5 某中学有高一学生 400 人 高二学生 300 人 高三学生 200 人 学校团委欲用分层抽样的方法抽取 18 名 学生进行问卷调查 则下列判断不正确的是 填序号 高一学生被抽到的概率最大 高三学生被抽到的概率最大 高三学生被抽到的概率最小 每名学生被抽到的概率相等 答案答案 6 某商场有四类食品 其中粮食类 植物油类 动物性食品类及果蔬类分别有 40 种 10 种 30 种 20 种 现从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测 若采用分层抽样的方法抽取样本 则抽取的植物油 类与果蔬类食品种数之和是 答案答案 6 7 2008 2008 天津文 天津文 1111 一个单位共有职工 200 人 其中不超过 45 岁的有 120 人 超过 45 岁的有 80 人 为 了调查职工的健康状况 用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为 25 的样本 应抽取超过 45 岁的 职工 人 答案答案 10 8 将参加数学竞赛的 1 000 名学生编号如下 0001 0002 0003 1000 打算从中抽取一个容量为 50 的 样本 按系统抽样的方法分成 50 个部分 如果第一部分编号为 0001 0002 0020 从第一部分随机 抽取一个号码为 0015 则第 40 个号码为 答案答案 0795 二 解答题二 解答题 9 为了检验某种作业本的印刷质量 决定从一捆 40 本 中抽取 10 本进行检查 利用随机数表抽取这个样 本时 应按怎样的步骤进行 分析分析 可先对这 40 本作业本进行统一编号 然后在随机数表中任选一数作为起始号码 按任意方向读下 去 便会得到 10 个号码 解解 可按以下步骤进行 第一步 先将 40 本作业本编号 可编为 00 01 02 39 第二步 在附录 1 随机数表中任选一个数作为开始 如从第 8 行第 4 列的数 78 开始 第三步 从选定的数 78 开始向右读下去 得到一个两位数字号码 59 由于 59 39 将它去掉 继续向右 读 得到 16 由于 16 39 将它取出 继续读下去 可得到 19 10 12 07 39 38 33 21 后面一个 是 12 由于在前面 12 已经取出 将它去掉 再继续读 得到 34 至此 10 个样本号码已经取满 于是 所要抽取的样本号码是 16 19 10 12 07 39 38 33 21 34 10 某政府机关有在编人员 100 人 其中副处级以上干部 10 人 一般干部 70 人 工人 20 人 上级机关为了 了解政府机构改革意见 要从中抽取一个容量为 20 的样本 试确定用何种方法抽取 如何抽取 解解 用分层抽样抽取 1 20 100 1 5 5 10 2 5 70 14 5 20 4 从副处级以上干部中抽取 2 人 一般干部中抽取 14 人 从工人中抽取 4 人 2 因副处级以上干部与工人人数较少 可用抽签法从中分别抽取 2 人和 4 人 对一般干部可用随机数 表法抽取 14 人 3 将 2 人 4 人 14 人编号汇合在一起就得到了容量为 20 的样本 11 从某厂生产的 10 002 辆电动自行车中随机抽取 100 辆测试某项性能 请合理选择抽样方法进行抽样 并 写出抽样过程 解解 因为总体容量和样本容量都较大 可用系统抽样 抽样步骤如下 第一步 将 10 002 辆电动自行车用随机方式编号 第二步 从总体中剔除 2 辆 剔除法可用随机数表法 将剩下的 10 000 辆电动自行车重新编号 分别为 00001 00002 10000 并分成 100 段 第三步 在第一段 00001 00002 00100 这 100 个编号中用简单随机抽样抽出一个作为起始号码 如 00006 第四步 把起始号码依次加间隔 100 可获得样本 12 某单位有工程师 6 人 技术员 12 人 技工 18 人 要从这些人中抽取一个容量为 n 的样本 如果采用系统 抽样法和分层抽样法抽取 不用剔除个体 如果样本容量增加一个 则在采用系统抽样时 需要在总体中 先剔除 1 个个体 求样本容 量 n 解解 总体容量为 6 12 18 36 当样本容量是 n 时 由题意知 系统抽样的间隔为 n 36 分层抽样的比例是 36 n 抽取工程师 36 n 6 6 n 人 抽取技术人员 36 n 12 3 n 人 抽取技工 36 n 18 2 n 人 所以 n 应是 6 的倍数 36 的约数即 n 6 12 18 36 当样本容量为 n 1 时 在总体中剔除 1 人后还剩 35 人 系统抽样的间隔为 1 35 n 因为 1 35 n 必须是整 数 所以 n 只能取 6 即样本容量为 6 11 2 11 2 总体分布的估计与总体特征数的估计总体分布的估计与总体特征数的估计 1 一个容量为 20 的样本 已知某组的频率为 0 25 则该组的频数为 答案答案 5 2 2008 2008 山东理 山东理 右图是根据 山东统计年鉴 2007 中的资料作成的 1997 年至 2006 年我省城镇居民 百户家庭人口数的茎叶图 图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十 位数字 右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字 从图中可以得到 1997 年至 2006 年我省城 镇居民百户家庭人口数的平均数为 答案答案 303 6 3 在抽查产品的尺寸过程中 将其尺寸分成若干组 a b 是其中的一组 抽查出的个体在该组上的频率 为 m 该组在频率分布直方图的高为 h 则 a b 基础自测 答案答案 h m 4 2008 2008 山东文 山东文 9 9 从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩 统计如表 则这 100 人成绩的标准差为 分数 54321 人数 2010303010 答案答案 5 102 5 为了了解某地区高三学生的身体发育情况 抽查了该地区 100 名年龄为 17 5 岁 18 岁的男生体重 kg 得到频率分布直方图如下 根据上图可得这 100 名学生中体重在 56 5 64 5 的学生人数是 答案答案 40 例例 1 1 在学校开展的综合实践活动中 某班进行了小制作评比 作品上交时间为 5 月 1 日至 30 日 评委会 把同学们上交 作品的件数按 5 天一组分组统计 绘制了频率分布直方图 如图所示 已知从左到右各长方形高的比为 2 3 4 6 4 1 第三组的频数为 12 请解答下列问题 1 本次活动共有多少件作品参加评比 2 哪组上交的作品数量最多 有多少件 3 经过评比 第四组和第六组分别有 10 件 2 件作品获奖 问这两组哪组获奖率高 解解 1 依题意知第三组的频率为 146432 4 5 1 又因为第三组的频数为 12 本次活动的参评作品数为 5 1 12 60 2 根据频率分布直方图 可以看出第四组上交的作品数量最多 共有 60 146432 6 18 件 3 第四组的获奖率是 18 10 9 5 第六组上交的作品数量为 60 146432 1 3 件 第六组的获奖率为 3 2 9 6 显然第六组的获奖率高 例例 2 2 对某电子元件进行寿命追踪调查 情况如下 寿命 h 100 200200 300300 400400 500500 600 个数 2030804030 1 列出频率分布表 2 画出频率分布直方图 3 估计电子元件寿命在 100 h 400 h 以内的概率 4 估计电子元件寿命在 400 h 以上的概率 解解 1 样本频率分布表如下 寿命 h 频数频率 100 200 200 10 200 300 300 15 300 400 800 40 400 500 400 20 500 600 300 15 合计 2001 2 频率分布直方图 3 由频率分布表可以看出 寿命在 100 h 400 h 的电子元件出现的频率为 0 65 所以我们估计电子 元件寿命在 100 h 400 h 的概率为 0 65 4 由频率分布表可知 寿命在 400 h 以上的电子元件出现的频率为 0 20 0 15 0 35 故我们估计电子 元件寿命在 400 h 以上的概率为 0 35 例例 3 3 为了解 A B 两种轮胎的性能 某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了 8 个进行测试 下面列 出了每一个轮胎行驶的最远里程数 单位 1 000 km 轮胎 A96 112 97 108 100 103 86 98 轮胎 B108 101 94 105 96 93 97 106 1 分别计算 A B 两种轮胎行驶的最远里程的平均数 中位数 2 分别计算 A B 两种轮胎行驶的最远里程的极差 标准差 3 根据以上数据你认为哪种型号的轮胎性能更加稳定 解解 1 A 轮胎行驶的最远里程的平均数为 8 98861031001089711296 100 中位数为 2 98100 99 B 轮胎行驶的最远里程的平均数为 8 10697939610594101108 100 中位数为 2 97101 99 2 A 轮胎行驶的最远里程的极差为 112 86 26 标准差为 s 8 2143083124 2222222 2 221 7 43 B 轮胎行驶的最远里程的极差为 108 93 15 标准差为 s 8 63745618 22222222 2 118 5 43 3 由于 A 和 B 的最远行驶里程的平均数相同 而 B 轮胎行驶的最远里程的极差和标准差较小 所以 B 轮胎性能更加 稳定 例例 4 4 14 分 某化肥厂甲 乙两个车间包装肥料 在自动包装传送带上每隔 30 min 抽取一包产品 称其重 量 分别 记录抽查数据如下 甲 102 101 99 98 103 98 99 乙 110 115 90 85 75 115 110 1 这种抽样方法是哪一种 2 将这两组数据用茎叶图表示 3 将两组数据比较 说明哪个车间产品较稳定 解解 1 因为间隔时间相同 故是系统抽样 2 分 2 茎叶图如下 5 分 3 甲车间 平均值 1 x 7 1 102 101 99 98 103 98 99 100 7 分 方差 s12 7 1 102 100 2 101 100 2 99 100 2 3 428 6 9 分 乙车间 平均值 2 x 7 1 110 115 90 85 75 115 110 100 11 分 方差 s22 7 1 110 100 2 115 100 2 110 100 2 228 571 4 13 分 1 x 2 x s12 s22 甲车间产品稳定 14 分 1 为了了解小学生的体能情况 抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试 将所得数据整理后 画出频率 分布直方图如图所示 已知图中从左到右前三个小组的频率分别是 0 1 0 3 0 4 第一小组的频数为 5 1 求第四小组的频率 2 参加这次测试的学生人数是多少 3 在这次测试中 学生跳绳次数的中位数落在第几小组内 解解 1 第四小组的频率 1 0 1 0 3 0 4 0 2 2 设参加这次测试的学生人数是 n 则有 n 一一一一一一 一一一一一一 5 0 1 50 人 3 因为 0 1 50 5 0 3 50 15 0 4 50 20 0 2 50 10 即第一 第二 第三 第四小组的频数分别 为 5 15 20 10 所以学生跳绳次数的中位数落在第三小组内 2 从高三学生中抽取 50 名同学参加数学竞赛 成绩的分组及各组的频数如下 单位 分 40 50 2 50 60 3 60 70 10 70 80 15 80 90 12 90 100 8 1 列出样本的频率分布表 2 画出频率分布直方图 3 估计成绩在 60 90 分的学生比例 4 估计成绩在 85 分以下的学生比例 解解 1 频率分布表如下 成绩分组频数频率 40 50 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 2 3 10 15 12 8 0 04 0 06 0 20 0 30 0 24 0 16 合计 501 00 2 频率分布直方图如图所示 3 成绩在 60 90 的学生比例即为学生成绩在 60 90 的频率 即为 0 20 0 30 0 24 100 74 4 成绩在 85 分以下的学生比例即为学生成绩不足 85 分的频率 设相应的频率为 b 由 8085 60 0 b 8090 60 0 84 0 故 b 0 72 估计成绩在 85 分以下的学生约占 72 3 有甲 乙两位射击运动员在相同条件下各射击 10 次 记录各次命中环数 甲 8 8 6 8 6 5 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 8 7 1 分别计算他们环数的标准差 2 谁的射击情况比较稳定 解解 1 x甲 10 1 8 8 6 8 6 5 9 10 7 4 7 1 x乙 10 1 9 5 7 8 7 6 8 6 8 7 7 1 2 一 s 10 1 8 7 1 2 8 7 1 2 6 7 1 2 8 7 1 2 6 7 1 2 5 7 1 2 9 7 1 2 10 7 1 2 7 7 1 2 4 7 1 2 3 09 s甲 1 76 2 一 s 10 1 9 7 1 2 5 7 1 2 7 7 1 2 8 7 1 2 7 7 1 2 6 7 1 2 8 7 1 2 6 7 1 2 8 7 1 2 7 7 1 2 1 29 s乙 1 14 2 x甲 x乙 s乙 s甲 乙射击情况比较稳定 4 2008 2008 海南 宁夏理 海南 宁夏理 1616 从甲 乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度 单位 mm 结果 如下 甲品种 271273280285285287292294295 301303303307308310314319323 325325328331334337352 乙品种 284292295304306307312313315 315316318318320322322324327 329331333336337343356 由以上数据设计了如下茎叶图 根据以上茎叶图 对甲 乙两品种棉花的纤维长度作比较 写出两个统计结论 答案答案 乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度 或 乙品种棉花的纤维长度普遍大 于甲品种棉花的纤维长度 甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散 或 乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的 纤维长度更集中 稳定 甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大 甲品种棉花的纤维长度的中位数为 307 mm 乙品种棉花的纤维长度的中位数为 318 mm 乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的 而且大多集中在中间 均值附近 甲品种棉花的纤维长度除 一个特殊值 352 外 也大致对称 其分布较均匀 一 填空题一 填空题 1 下列关于频率分布直方图的说法中不正确的是 直方图的高表示取某数的频率 直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率 直方图的高表示该组上的个体数与组距的比值 直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值 答案答案 2 甲 乙两名新兵在同样条件下进行射击练习 每人打 5 发子弹 命中环数如下 甲 6 8 9 9 8 乙 10 7 7 7 9 则这两人的射击成绩 比 稳定 答案答案 甲 乙 3 某校为了了解学生的课外阅读情况 随机调查了 50 名学生 得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的 数据 结果用条形图表示如下 根据条形图可得这 50 名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 h 答案答案 0 9 4 某班 50 名学生在一次百米测试中 成绩全部介于 13 秒与 19 秒之间 将测试结果按如下方式 分 成六组 第一组 成绩大于等于 13 秒且小于 14 秒 第二组 成绩大于等于 14 秒且小于 15 秒 第六组 成绩大于等于 18 秒且小于等于 19 秒 右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图 设成绩小于 17 秒的学生人数占全班总人数的百分比为 x 成绩大于等于 15 秒且小于 17 秒的学 生人数为 y 则从频率分布直方图中可分析出 x 和 y 分别为 答案答案 0 9 35 5 2009 2009 启东质检启东质检 为了解某校高三学生的视力情况 随机地抽查了该校 100 名高三学生的视力情况 得到 频率分布直方图如图所示 由于不慎 部分数据丢失 但知道前四组的频数成等比数列 后六组的频数成 等差数列 设最大频率为 a 视 力在 4 6 到 5 0 之间的学生数为 b 则 a b 的值分别为 答案答案 0 27 78 6 甲 乙两名同学在 5 次体育测试中的成绩统计的茎叶图如图所示 若甲 乙两人的平均成绩 分别是 x甲 x乙 则 x甲 x乙 比 稳定 答案答案 乙 甲 7 2008 2008 上海理 上海理 9 9 已知总体的各个体的值由小到大依次为 2 3 3 7 a b 12 13 7 18 3 20 且总体的中位数为 10 5 若要使该总体的方差最小 则 a b 的取值分别是 答案答案 10 5 10 5 8 某教师出了一份共 3 道题的测试卷 每道题 1 分 全班得 3 分 2 分 1 分 0 分的学生所占比例分别为 30 40 20 10 若全班 30 人 则全班同学的平均分是 分 答案答案 1 9 二 解答题二 解答题 9 在育民中学举行的电脑知识竞赛中 将九年级两个班参赛的学生成绩 得分均为整数 进行整理后分成五 组 绘制如图所示的频率分布直方图 已知图中从左到右的第一 第三 第四 第五小组的频率分别是 0 30 0 15 0 10 0 05 第二小组的频数是 40 1 求第二小组的频率 并补全这个频率分布直方图 2 求这两个班参赛的学生人数是多少 3 这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内 不必说明理由 解解 1 各小组的频率之和为 1 00 第一 三 四 五小组的频率分别是 0 30 0 15 0 10 0 05 第二小组的频率为 1 00 0 30 0 15 0 10 0 05 0 40 落在 59 5 69 5 的第二小组的小长方形的高 一一 一一 10 40 0 0 04 则补全的直方图如图所示 2 设九年级两个班参赛的学生人数为 x 人 第二小组的频数为 40 人 频率为 0 40 x 40 0 40 解得 x 100 人 所以九年级两个班参赛的学生人数为 100 人 3 因为 0 3 100 30 0 4 100 40 0 15 100 15 0 10 100 10 0 05 100 5 即第一 第二 第三 第四 第五小组的频数分别为 30 40 15 10 5 所以九年级两个班参赛学生的 成绩的中位数应落在第二小组内 10 为了了解高一学生的体能情况 某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试 将所得数据整理后 画出 频率分布直方图 如图所示 图中从左到右各小长方形面积之比为 2 4 17 15 9 3 第二小组频数为 12 1 第二小组的频率是多少 样本容量是多少 2 若次数在 110 以上 含 110 次 为达标 试估计该学校全体高一学生的达标率是多少 3 在这次测试中 学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内 请说明理由 解解 1 由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小 因此第二小组的频率为 39151742 4 0 08 又因为频率 一一一一 一一一一一一 所以样本容量 一一一一一一 一一一一一一 08 0 12 150 2 由图可估计该学校高一学生的达标率约为 39151742 391517 100 88 3 由已知可得各小组的频数依次为 6 12 51 45 27 9 所以前三组的频数之和为 69 前四组的频数之和 为 114 所以跳绳次数的中位数落在第四小组内 11 观察下面表格 1 完成表中的频率分布表 2 根据表格 画出频率分布直方图 3 估计数据落在 10 95 11 35 范围内的概率约为多少 解解 1 频率依次为 0 03 0 09 0 13 0 16 0 26 0 20 0 07 0 04 0 02 1 00 2 频率分布直方图如图所示 3 数据落在 10 95 11 35 范围的频率为 0 13 0 16 0 26 0 20 0 75 12 某赛季甲 乙两名篮球运动员每场比赛得分情况如下 甲的得分 12 15 24 25 31 31 36 36 37 39 44 49 50 乙的得分 8 13 14 16 23 26 28 33 38 39 59 1 制作茎叶图 并对两名运动员的成绩进行比较 2 计算上述两组数据的平均数和方差 并比较两名运动员的成绩和稳定性 3 能否说明甲的成绩一定比乙好 为什么 解解 1 制作茎叶图如下 分组频数频率 10 75 10 85 3 10 85 10 95 9 10 95 11 05 13 11 05 11 15 16 11 15 11 25 26 11 25 11 35 20 11 35 11 45 7 11 45 11 55 4 11 55 11 65 2 合计 100 从茎叶图上可看出 甲运动员发挥比较稳定 总体得分情况比乙好 2 x甲 33 2 一 s 127 23 x乙 27 2 一 s 199 09 x甲 x乙 2 一 s 2 一 s 甲运动员总体水平比乙好 发挥比乙稳定 3 不能说甲的水平一定比乙好 因为上述是甲 乙某赛季的得分情况 用样本估计总体也有一定的偶 然性 并不能说一定准确反映总体情况 11 3 11 3 线性回归方程线性回归方程 基础自测 1 下列关系中 是相关关系的为 填序号 学生的学习态度与学习成绩之间的关系 教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系 学生的身高与学生的学习成绩之间的关系 家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系 答案答案 2 为了考察两个变量 x y 之间的线性相关关系 甲 乙两同学各自独立地做 10 次和 15 次试验 并利用最 小二乘法求得回归直线分别为 l1和 l2 已知在两人的试验中发现变量 x 的观测数据的平均值恰好相等 都 为 s 变量 y 的观测数据的平均值也恰好相等 都为 t 那么下列说法中正确的是 填序号 直线 l1 l2有交点 s t 直线 l1 l2相交 但是交点未必是 s t 直线 l1 l2由于斜率相等 所以必定平行 直线 l1 l2必定重合 答案答案 3 下列有关线性回归的说法 正确的是 填序号 相关关系的两个变量不一定是因果关系 散点图能直观地反映数据的相关程度 回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系 任一组数据都有回归直线方程 答案答案 4 下列命题 线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法 利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示 通过回归直线 y b x a 及回归系数b 可以估计和预测变量的取值和变化趋势 其中正确命题的序号是 答案答案 5 已知回归方程为 y 0 50 x 0 81 则 x 25 时 y 的估计值为 答案答案 11 69 例例 1 1 下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据 施化肥量15202530354045 水稻产量320330360410460470480 1 将上述数据制成散点图 2 你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗 水稻产量会一直随施化肥量的增加而 增长吗 解解 1 散点图如下 2 从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系 当施化肥量由小到大变化时 水稻产量由 小变大 图中的数据点大致分布在一条直线的附近 因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系 但水 稻产量只是在一定范围内随着化 肥施用量的增加而增长 例例 2 2 14 分 随着我国经济的快速发展 城乡居民的生活水平不断提高 为研究某市家庭平均收入与月平 均生活支出 的关系 该市统计部门随机调查了 10 个家庭 得数据如下 家庭编号 12345678910 xi 收入 千 元 0 81 11 31 51 51 82 02 22 42 8 yi 支出 千 元 0 71 01 21 01 31 51 31 72 02 5 1 判断家庭平均收入与月平均生活支出是否相关 2 若二者线性相关 求回归直线方程 解解 1 作出散点图 5 分 观察发现各个数据对应的点都在一条直线附近 所以二者呈线性相关关系 7 分 2 x 10 1 0 8 1 1 1 3 1 5 1 5 1 8 2 0 2 2 2 4 2 8 1 74 y 10 1 0 7 1 0 1 2 1 0 1 3 1 5 1 3 1 7 2 0 2 5 1 42 9 分 b n i i n i ii xnx yxnyx 1 22 1 0 813 6 a 1 42 1 74 0 813 6 0 004 3 13 分 回归方程 y 0 813 6x 0 004 3 14 分 例例 3 3 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x 吨 与相应的生产能耗 y 吨 标准煤的几组对照数据 x3456 y2 5344 5 1 请画出上表数据的散点图 2 请根据上表提供的数据 用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y b x a 3 已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤 试根据 2 求出的线性回归方程 预测生 产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤 参考数值 3 2 5 4 3 5 4 6 4 5 66 5 解解 1 散点图如下图 2 x 4 6543 4 5 y 4 5 4435 2 3 5 4 1i iiy x 3 2 5 4 3 4 5 6 4 5 66 5 4 1 2 i i x 32 42 52 62 86 b 2 4 1 2 4 1 4 4 xx yxyx i i i ii 2 5 4486 5 45 34 5 66 0 7 a y b x 3 5 0 7 4 5 0 35 所求的线性回归方程为 y 0 7x 0 35 3 现在生产 100 吨甲产品用煤 y 0 7 100 0 35 70 35 降低 90 70 35 19 65 吨 标准煤 1 科研人员为了全面掌握棉花新品种的生产情况 查看了气象局对该地区年降雨量与年平均气温的统计数据 单位分别是 mm 并作了统计 年平均气温 12 5112 8412 8413 6913 3312 7413 05 年降雨量 748542507813574701432 1 试画出散点图 2 判断两个变量是否具有相关关系 解解 1 作出散点图如图所示 2 由散点图可知 各点并不在一条直线附近 所以两个变量是非线性相关关系 2 在研究硝酸钠的可溶性程度时 对于不同的温度观测它在水中的溶解度 得观测结果如下 温度 x 010205070 溶解度 y 66 776 085 0112 3128 0 由资料看 y 与 x 呈线性相关 试求回归方程 解解 x 30 y 5 0 128 3 112 0 85 0 76 7 66 93 6 b 2 5 1 2 5 1 5 5 xx yxyx i i i ii 0 880 9 a y b x 93 6 0 880 9 30 67 173 回归方程为 y 0 880 9x 67 173 3 某企业上半年产品产量与单位成本资料如下 月份产量 千件 单位成本 元 1273 2372 3471 4373 5469 6568 1 求出线性回归方程 2 指出产量每增加 1 000 件时 单位成本平均变动多少 3 假定产量为 6 000 件时 单位成本为多少元 解解 1 n 6 6 1i i x 21 6 1i i y 426 x 3 5 y 71 6 1 2 i i x 79 6 1i iiy x 1 481 b 2 6 1 2 6 1 6 6 xx yxyx i i i ii 2 5 3679 715 364811 1 82 a y b x 71 1 82 3 5 77 37 回归方程为 y a b x 77 37 1 82x 2 因为单位成本平均变动b 1 82 0 且产量 x 的计量单位是千件 所以根据回归系数 b 的意义有 产量每增加一个单位即 1 000 件时 单位成本平均减少 1 82 元 3 当产量为 6 000 件时 即 x 6 代入回归方程 y 77 37 1 82 6 66 45 元 当产量为 6 000 件时 单位成本为 66 45 元 一 填空题一 填空题 1 观察下列散点图 则 正相关 负相关 不相关 它们的排列顺序与图形对应顺序是 答案答案 a c b 2 回归方程 y 1 5x 15 则下列说法正确的有 个 y 1 5 x 15 15 是回归系数 a 1 5 是回归系数 a x 10 时 y 0 答案答案 1 3 2009 2009 湛江模拟 湛江模拟 某地区调查了 2 9 岁儿童的身高 由此建立的身高 y cm 与年龄 x 岁 的回归模型为 y 8 25x 60 13 下列叙述正确的是 该地区一个 10 岁儿童的身高为 142 63 cm 该地区 2 9 岁的儿童每年身高约增加 8 25 cm 该地区 9 岁儿童的平均身高是 134 38 cm 利用这个模型可以准确地预算该地区每个 2 9 岁儿童的身高 答案答案 4 三点 3 10 7 20 11 24 的回归方程是 答案答案 y 1 75x 5 75 5 某人对一地区人均工资 x 千元 与该地区人均消费 y 千元 进行统计调查 y 与 x 有相关关系 得到回 归直线方程 y 0 66x 1 562 若该地区的人均消费水平为 7 675 千元 估计该地区的人均消费额占人均工资 收入的百分比约为 答案答案 83 6 某化工厂为预测产品的回收率 y 需要研究它和原料有效成分含量 x 之间的相关关系 现取 8 对观测值 计 算 得 8 1i i x 52 8 1i i y 228 8 1 2 i i x 478 8 1i iiy x 1 849 则其线性回归方程为 答案答案 y 11 47 2 62x 7 有下列关系 人的年龄与他 她 拥有的财富之间的关系 曲线上的点与该点的坐标之间的关系 苹果的产量与气候之间的关系 森林中的同一种树木 其断面直径与高度之间的关系 其中 具有相关 关系的是 答案答案 8 已知关于某设备的使用年限 x 与所支出的维修费用 y 万元 有如下统计资料 使用年限 x 23456 维修费用 y 2 23 85 56 57 0 若 y 对 x 呈线性相关关系 则回归直线方程 y b x a 表示的直线一定过定点 答案答案 4 5 二 解答题二 解答题 9 期中考试结束后 记录了 5 名同学的数学和物理成绩 如下表 学生 学科 ABCDE 数学 8075706560 物理 7066686462 1 数学成绩和物理成绩具有相关关系吗 2 请你画出两科成绩的散点图 结合散点图 认识 1 的结论的特点 解解 1 数学成绩和物理成绩具有相关关系 2 以 x 轴表示数学成绩 y 轴表示物理成绩 可得相应的散点图如下 由散点图可以看出 物理成绩和数学成绩对应的点不分散 大致分布在一条直线附近 10 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格 y 和房屋的面积 x 的数据 房屋面积 x m2 11511080135105 销售价格 y 万元 24 821 618 429 222 1 画出数据对应的散点图 2 求线性回归方程 并在散点图中加上回归直线 解解 1 数据对应的散点图如图所示 2 x 109 y 23 2 5 1 2 i i x 60 975 5 1i iiy x 12 952 b 2 5 1 2 5 1 5 5 xx