复变函数论第三版课后习题答案[1]

文档鉴赏 第一章习题解答第一章习题解答 一 一 1 设 求及 13 2 i z z Arcz 解 由于 3 13 2 i i ze 所以 1z 2 0 1 3 Arczkk 2 设 试用指数形式表示及 12 1 31 2 i zz 1 2 z z 1 2 z z 解 由于 64 12 1 32 2 ii i zezie 所以 646412 12 222 iiii z zeeee 5 4 1 4612 2 6 11 22 2 i ii i ze ee z e 3 解二项方程 44 0 0 zaa 解 12 444 44 0 1 2 3 k i i zaa eaek 4 证明 并说明其几何意义 22 2 121212 2 zzzzzz 证明 由于 222 121212 2Re zzzzz z 222 121212 2Re zzzzz z 所以 22 2 121212 2 zzzzzz 其几何意义是 平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方 5 设 z1 z2 z3三点适合条件 0 321 zzz 1 321 zzz 证明 z1 z2 z3是 内接于单位圆 1 z 的一个正三角形的顶点 证 由于 1 321 zzz 知 321 zzz 的三个顶点均在单位圆上 因为 33 3 3 1zzz 212322112121 zzzzzzzzzzzz 2121 2zzzz 所以 1 2121 zzzz 又 122122112121 2 21 zzzzzzzzzzzzzz 32 2121 zzzz 故 3 21 zz 文档鉴赏 同理 3 3231 zzzz 知 321 zzz 是内接于单位圆 1 z 的一个正三角形 6 下列关系表示点 的轨迹的图形是什么 它是不是区域 z 1 1212 zzzzzz 解 点的轨迹是与两点连线的中垂线 不是区域 z 1 z 2 z 2 4zz 解 令zxyi 由 即 得 4 xyixyi 2222 4 xyxy 2x 故点的轨迹是以直线为边界的左半平面 包括直线 不是区域 z2x 2x 3 1 1 1 z z 解 令 zxyi 由 得 即 11zz 22 1 1 xx 0 x 故点的轨迹是以虚轴为边界的右半平面 不包括虚轴 是区域 z 4 0arg 1 2Re3 4 zz 且 解 令zxyi 由 得 即 0arg 1 4 2Re3 z z 0arg 14 23 y x x 01 23 yx x 故点的轨迹是以直线为边界的梯形 包括直线 z2 3 0 1xxyyx 2 3xx 不包括直线 不是区域 0 1yyx 5 2 1zz 且 3 解 点的轨迹是以原点为心 2 为半径 及以为心 以 1 为半径的两闭圆外部 z3z 是区域 6 Im1 2zz 且 解 点的轨迹是位于直线的上方 不包括直线 且在以原点zIm1z Im1z 文档鉴赏 为心 2 为半径的圆内部分 不包括直线圆弧 是区域 7 2 0arg 4 zz 且 解 点的轨迹是以正实轴 射线及圆弧为边界的扇形 不包括边界 zarg 4 z 1z 是区域 8 131 2222 i zzi 且 解 令zxyi 由 得 1 22 31 22 i z zi 2 2 11 24 31 24 xy xy 故点的轨迹是两个闭圆的外部 是区域 z 22 1131 2424 xyxy 7 证明 z 平面上的直线方程可以写成 Czaza a是非零复常数 C 是实常数 证 设直角坐标系的平面方程为将 AxByC 代入 得 11 Re Im 22 xzzzyzzz i CzBAzBA i 2 1 i 2 1 令 i 2 1 BAa 则 i 2 1 BAa 上式即为 Czaza 反之 将 代入 Czaza zxyi zxyi 得 aa xiaia yc 则有 即为一般直线方程 AxByC 8 证明 平面上的圆周可以写成z 0 Azzzzc 其中 A C 为实数 为复数 且 0 A 2 AC 文档鉴赏 证明 设圆方程为 22 0A xyBxDyC 其中当时表实圆 0 A 22 4BDAC 将代入 得 22 11 22 xyzz xzzyzz i 11 0 22 AzzBDi zBDi zc 即0 Azzzzc 其中 11 22 BDiBDi 且 2 22 11 4 44 BDACAC 反之 令代入 zxyiabi 2 0 AzzzzcAC 得其中 22 0 A xyBxDyC 2 2Ba Bb 即为圆方程 10 求下列方程 t 是实参数 给出的曲线 1 tzi 1 2 tbtazsinicos 3 t tz i 4 2 2 i t tz 解 1 t ty tx tyxz i1 i 即直线 xy 2 20 sin cos sinicosi t tby tax tbtayxz 即为椭圆 1 2 2 2 2 b y a x 3 t y tx t tyxz 1 i i 即为双曲线 1 xy 4 2 2 2 2 1 i i t y tx t tyxz 即为双曲线 1 xy 中位于第一象限中的一支 文档鉴赏 11 函数z w 1 将z平面上的下列曲线变成w平面上的什么曲线 ivuwiyxz 1 xy 2 11 2 2 yx 解 2222 11 yx y i yx x iyxz w 2222 yx y v yx x u 可得 1 v yx y yx y yx x u 222222 是w平面上一直线 2 2 1 211 22 222 2 yx x xyxyx 于是2 1 u 是w平面上一平行与v轴的直线 13 试证 arg arg zz 在负实轴上 包括原点 不连续 除此而外在 z 平面上处处连 续 证 设 zzfarg 因为f 0 无定义 所以f z 在原点z 0 处不连续 当z0为负实轴上的点时 即 0 000 xxz 有 x y x y z y xx y xx zz arctanlim arctanlim arglim 0 0 0 0 0 所以 z zz arglim 0 不存在 即 zarg 在负实轴上不连续 而 argz 在 z 平面上的其它点处的连续 性显然 14 设 0 0 z z 0 62 3 yx xy zf 求证 zf 在原点处不连接 证 由于 0 1 limlimlim 4 2 0 62 4 00 x x xx x zf xx xy z 文档鉴赏 2 1 limlim 66 6 00 3 yy y zf y yx z 可知极限 zf z0 lim 不存在 故 zf 在原点处不连接 16 试问函数 f z 1 1 z 在单位圆 z 1 内是否连续 是否一致连续 解 1 f z 在单位圆 z 1 内连续 因为 z 在 内连续 故 f z 1 1 z 在 1 内连续 连续函数的四则运算 因此 f z 在单位 圆 z 1 内连续 2 f z 在单位圆 z 1 内不一致连续 令 zn 1 1 n wn 1 1 n 1 n 则 zn wn都在单位圆 z 0 故 f z 在单位圆 z 1 内不一致连续 也可以直接用实函数 f x 1 1 x 在 0 1 不一致连续来说明 只要把这个实函数看成是 f z 在 E z Im z 0 0 Re z 0 N 使得 n N 有 zn z0 此时有 xn x0 zn z0 yn y0 zn z0 0 N1 使得 n N1 有 xn x0 N2 有 yn y0 N 有 n N1且 n N2 故有 zn z0 xn x0 i yn y0 xn x0 yn y0 0 K 使得 n K 有 zn z0 K 时 有 z1 z2 zn n z0 z1 z0 z2 z0 zn z0 n z1 z0 z2 z0 zn z0 n z1 z0 zK z0 n zK 1 z0 zn z0 n M n n K n 2 M n 2 因 lim n M n 0 故 L 使得 n L 有 M n K 时 有 z1 z2 zn n z0 M n 2 2 2 所以 lim n z1 z2 zn n z0 2 当 z0 时 结论不成立 这可由下面的反例看出 例 zn 1 n n n 显然 lim n zn 但 k 有 z1 z2 z2k 2k 1 2 文档鉴赏 因此数列 z1 z2 zn n 不趋向于 这个结论的证明的方法与实数列的情况完全相同 甚至反例都是一样的 2 如果 it ez 试证明 1 nt z z n n cos2 1 2 nt z z n n sini2 1 解 1 nteeee z z n n sin2 1 intintintint 2 nteeee z z n n sini2 1 intintintint 4 设 iyxz 试证 yxz yx 2 证 由于 yxyxyxyxz 2 22 22 及 2 2 2 2 2 22 22 22 yxyxyx yx yxz 有 yxz yx 2 6 设 z 1 试证 a z b b z a 1 z 表示复数 z 的共轭 解 此题应该要求 b z a 0 a z b a z b a z b a z b z a z b z a z z b z a z 2 b z b z a 故 a z b b z a 1 8 试证 以 z1 z2 z3为顶点的三角形和以 w1 w2 w3为顶点的三角形同向相似的充要条件为 0 1 1 1 33 22 11 wz wz wz 解 两个三角形同向相似是指其中一个三角形经过 一系列的 旋转 平移 位似这三种 初等几何变换后可以变成另一个三角形 注意没有反射变换 例如 文档鉴赏 2 w1 z 1 1 3 z 2 z 3 z 2 z2 z3 z1 w2 w3 z 1 z 3 我们将采用下述的观点来证明 以 z1 z2 z3为顶点的三角形和以 w1 w2 w3为顶点的三角形同向相似的充要条件是 将它们 的一对对应顶点都平移到原点后 它们只相差一个位似旋转 记 f1 z z z1 将 z1变到 0 的平移 f3 z z w1 将 0 变到 w1的平移 那么 三角形 z1z2z3与三角形 w1w2w3同向相似 存在某个绕原点的旋转位似变换 f2 z z0 z 使得 f2 f1 zk f3 wk k 2 3 其中 z0 0 存在 z0 0 使得 z0 zk z1 wk w1 k 2 3 w2 w1 z2 z1 w3 w1 z3 z1 0 1313 1212 wwzz wwzz 0 1 1 100 1313 1212 wwzz wwzz 0 证完 1 1 1 33 22 11 wz wz wz 9 试证 四个相异点 z1 z2 z3 z4共圆周或共直线的充要条件是 z1 z4 z1 z2 z3 z4 z3 z2 为实数 解 在平面几何中 共线的四个点 A B C D 的交比定义为 A B C D AC CB AD DB 这是射影几何中的重要的不变量 类似地 在复平面上 不一定共线的 四个点 z1 z2 z3 z4的交比定义为 z1z2 z3z4 z1 z3 z2 z3 z1 z4 z2 z4 本题的结论是说 复平面上四个点共圆或共线的充要条件是其交比为实数 分两种情况讨论 1 若 z1 z4 z1 z2 为实数 则 z3 z4 z3 z2 也是实数 设 z1 z4 z1 z2 t t 则 z4 1 t z1 t z2 文档鉴赏 故 z4在 z1 z2所确定的直线上 即 z1 z2 z4共线 因此 同理 z1 z2 z3也共线 所以 z1 z2 z3 z4是共线的 2 若 z1 z4 z1 z2 为虚数 则 z3 z4 z3 z2 也是虚数 故 Arg z1 z4 z1 z2 k Arg z3 z4 z3 z2 k 而 Arg z1 z4 z1 z2 Arg z3 z4 z3 z2 Arg z1 z4 z1 z2 z3 z4 z3 z2 k 注意到 Arg z z4 z z2 Arg z4 z z2 z 是 z2 z 到 z4 z 的正向正向夹角 若 Arg z1 z4 z1 z2 Arg z3 z4 z3 z2 则 z1 z3在 z2 z4所确定的直线的同侧 且它们对 z2 z4所张的角的大小大小相同 故 z1 z2 z3 z4是共圆的 若 Arg z1 z4 z1 z2 Arg z3 z4 z3 z2 则 z1 z3在 z2 z4所确定的直线的异侧 且它们对 z2 z4所张的角的大小大小互补 故 z1 z2 z3 z4也是共圆的 也分两种情况讨论 1 若 z1 z2 z3 z4是共线的 则存在 s t 0 1 使得 z4 1 s z3 s z2 z4 1 t z1 t z2 那么 z3 z4 s z3 z2 即 z3 z4 z3 z2 s 而 z1 z4 t z1 z2 即 z1 z4 z1 z2 t 所以 z1 z4 z1 z2 z3 z4 z3 z2 t s 2 若 z1 z2 z3 z4是共圆的 若 z1 z3在 z2 z4所确定的直线的同侧 那么 Arg z4 z1 z2 z1 Arg z4 z3 z2 z3 因此 z4 z1 z2 z1 z4 z3 z2 z3 是实数 也就是说 z1 z4 z1 z2 z3 z4 z3 z2 是实数 若 z1 z3在 z2 z4所确定的直线的异侧 则 Arg z4 z1 z2 z1 Arg z2 z3 z4 z3 2k 1 故 Arg z1 z4 z1 z2 z3 z4 z3 z2 Arg z1 z4 z1 z2 Arg z3 z4 z3 z2 Arg z1 z4 z1 z2 Arg z3 z2 z3 z4 Arg z4 z1 z2 z1 Arg z2 z3 z4 z3 2k 1 所以