【志鸿优化设计】（山东专用）2014届高考数学一轮复习 第八章立体几何8.3空间点、直线、平面之间的位置关系教学案 理新人教A版

1 8 38 3 空间点 直线 平面之间的位置关系空间点 直线 平面之间的位置关系 考纲要求考纲要求 1 理解空间直线 平面位置关系的定义 2 了解四个公理和等角定理 并能以此作为推理的依据 1 平面的基本性质 1 公理 1 如果一条直线上的 在一个平面内 那么这条直线在此平面内 符号表示为 A l B l A B l 作用 可用来证明点 直线在平面内 2 公理 2 过 上的三点 有且只有一个平面 符号表示为 A B C三点不共线 有且只有一个平面 使A B C 作用 可用来确定一个平面 为空间图形平面化作准备 证明点线共面 3 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们 过该点的公 共直线 符号表示为 P 且P l 且P l 作用 可用来确定两个平面的交线 判断三点共线 三线共点 2 直线与直线的位置关系 1 位置关系的分类 Error 2 公理 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 符号表示为 设a b c是三条直线 a b c b 则 公理 4 实质上是说平行具有传递性 在平面 空间中这个性质都适用 作用 判断空间两条直线平行的依据 3 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角 4 异面直线所成的角 不同在任何一个平面内的两条直线叫做 已知异面直 线a b 经过空间任一点O作直线a a b b 我们把a 与b 所成的 叫做异面直线a与b所成的角 或夹角 两条异面直线所成的角 计算中 通 0 2 常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角 3 直线和平面的位置关系 位置关系直线a在平面 内 直线a与平面 相 交 直线a与平面 平行 公共点 公共点 公共点 公共点 图形 表示 符号表示 4 两个平面的位置关系 位置关系图示表示法公共点个数 两平面 平行 没有公共点 2 斜交 有 个公共点在 一条直线上 两平 面相 交 垂直 有 个公共点在 一条直线上 1 如果a b l a A l b B 那么下列关系成立的是 A l B l C l A D l B 2 l1 l2 l3是空间三条不同的直线 则下列命题正确的是 A l1 l2 l2 l3 l1 l3 B l1 l2 l2 l3 l1 l3 C l1 l2 l3 l1 l2 l3共面 D l1 l2 l3共点 l1 l2 l3共面 3 在空间中 下列命题正确的是 A 平行直线的平行投影重合 B 平行于同一直线的两个平面平行 C 垂直于同一平面的两个平面平行 D 垂直于同一平面的两条直线平行 4 设a b c为空间三条不同的直线 下面四个命题 若a b异面 b c异面 则a c异面 若a b相交 b c相交 则a c相交 若a b 则a b与c所成的角相等 若a b b c 则a c 其中真命题的序号是 5 2012 郑州模拟 已知 空间四边形ABCD 如图所示 E F分别是AB AD的中点 G H分别是BC CD上的点 且CG BC CH DC 1 3 1 3 求证 1 E F G H四点共面 2 三直线FH EG AC共点 一 平面的基本性质 例 1 定线段AB所在的直线与定平面 相交 P为直线AB外一点 且P不在 内 若直线AP BP与 分别交于C D点 求证 不论P在什么位置 直线CD必过一定点 3 方法提炼方法提炼 证明三点共线通常有两种方法 一是首先找出两个平面 然后证明这三点都是这两个 平面的公共点 于是可得这三点都在这两个平面的交线上 即三点共线 二是选择其中两 点确定一条直线 然后证明另一点也在这条直线上 从而得出三点共线 请做演练巩固提升 5 二 空间中两条直线的位置关系 例 2 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E是CD的中点 连接AE并延长与BC的延长线 交于点F 连接BE并延长交AD的延长线于点G 连接FG 求证 直线FG 平面ABCD 且直线FG 直线A1B1 方法提炼方法提炼 1 证明或判断空间两直线平行最常用的方法是公理 4 平行线的传递性即若 a b b c 则a c 2 判断两直线为异面直线的常用方法 过平面外一点和平面内一点的直线 与平面内不过该点的直线是异面直线 如图 请做演练巩固提升 1 忽视对异面直线所成的角与三角形内角的关系而致误 典例 已知正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别为BB1 CC1的中点 那么异面直线 AE与D1F所成角的余弦值为 解析 解析 设正方体的棱长为a 连结A1E 可知D1F A1E 异面直线AE与D1F所成的角可转化为AE与A1E所成的角 在 AEA1中 cos AEA1 a2 a 2 2 a2 a 2 2 a2 2a2 a 2 2 a2 a 2 2 3 5 答案 答案 3 5 答题指导 1 1 在用平行平移的方法将异面直线所成的角转化为三角形内角时 忽 视对三角形内角 即为两异面直线所成角或其补角 的叙述 2 通过解三角形得到某一内角的余弦值为负值后 忽视角的范围 不知将其转化为正 值来处理 2 求异面直线所成角一般用平移法 4 一作 即找或作平行线 作出异面直线所成的角 二证 即证明作出的角是异面直线所成的角 三求 解三角形 求出所作的角 注意异面直线所成的角为锐角或直角 1 关于直线m n与平面 有以下四个命题 若m n 且 则m n 若m n 且 则m n 若m n 且 则 m n 若m n 且 则m n 其中真命题有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2 2012 浙江高考 设l是直线 是两个不同的平面 A 若l l 则 B 若l l 则 C 若 l 则l D 若 l 则l 3 设A B C D是空间四个不同的点 在下列命题中 不正确的是 A 若AC与BD共面 则AD与BC共面 B 若AC与BD是异面直线 则AD与BC是异面直线 C 若AB AC DB DC 则AD BC D 若AB AC DB DC 则AD BC 4 设a b c是空间中的三条直线 下列命题 若a b b c 则a c 若a 平面 b 平面 则a b一定是异面直线 若a b与c成等角 则a b 上述命题中正确的是 只填序号 5 如图所示 平面四边形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的四边上 且直 线EH与FG相交于点P 求证 B D P三点共线 5 参考答案参考答案 基础梳理自测基础梳理自测 知识梳理 1 1 两点 2 不在一条直线 3 有且只有一条 2 1 相交直线 平行直线 任何 2 a c 3 相等或互补 4 异面直线 锐角 或直角 3 无数个 一个 无 a a A a 4 l 无数 无数 基础自测 1 A 2 B 解析 解析 在空间中 垂直于同一直线的两条直线不一定平行 故 A 错 两条平行 直线中的一条垂直于第三条直线 则另 一条也垂直于第三条直线 B 正确 相互平行的三 条直线不一定共面 如三棱柱的三条侧棱 故 C 错 共点的三条直线不一定共面 如三棱 锥的三条侧棱 故 D 错 3 D 解析 解析 对于 A 平行直线的平行投影也可能平行 故 A 错误 对于 B 平行于同一直线的两个平面也可能相交 故 B 错误 对于 C 垂直于同一平面的两个平面也可能相交 故 C 错误 4 解析 解析 a c可能相交 平行或异面 a c可能相交 平行或异面 正 确 a c可能相交 平行或异面 5 解 解 1 连接EF GH 已知E F分别为AB AD的中点 EFBD 1 2 又CG BC CH DC 1 3 1 3 HGBD EF HG且EF HG 1 3 EF HG可确定平面 即E F G H四点共面 2 由 1 知 EFHG为平面图形 且EF HG EF HG 四边形EFHG为梯形 设直线FH 直线EG O 点O 直线FH 直线FH 平面ACD 点O 平面ACD 同理点O 平面ABC 又 平面ACD 平面ABC AC 点O 直线AC 直线FH EG AC交于点O 即三直线共点 考点探究突破考点探究突破 例 1 证明 设定线段AB所在直线为l 与平面 交于O点 即l O 由题意可知 AP C BP D C D 又 AP BP P 6 AP BP可确定一平面 且C D CD A B l O O 即O CD 不论P在什么位置 直线CD必过一定点 例 2 证明 已知E是CD的中点 在正方体ABCD A1B1C1D1中 有A 平面ABCD E 平面ABCD 所以AE 平面ABCD 又因为AE BC F 所以F AE 从而F 平面ABCD 同理G 平面ABCD 所以FG 平面ABCD 因为ECAB 1 2 故在 Rt FBA中 CF BC 同理DG AD 又在正方形ABCD中 BCAD 所以CFDG 所以四边形CFGD是平行四边形 所以FG CD 又CD AB AB A1B1 所以直线FG 直线A1B1 演练巩固提升演练巩固提升 1 B 解析 解析 若m n 且 则m与n可能平行 也可能相交或异面 故 错 若m n 且 则m与n可能平行 也可能相交或异面 故 错 若m 且 则m 又n 所以m n 故 为真命题 若m n 且 则m n 故 为真命题 因此真命题有 2 个 2 B 解析 解析 A 选项中由l l 不能确定 与 的位置关系 C 选项中由 l 可推出l 或l D 选项由 l 不能确定l与 的位置关 系 3 C 解析 解析 A 中 若AC与BD共面 则A B C D四点共面 则AD与BC共面 B 中 若AC与BD是异面直线 则A B C D四点不共