推理2.4 兔子数列家族兴旺又添新成员

2 2 4 4 兔子数列兔子数列 家族兴旺家族兴旺 又添新成员又添新成员 附 由递推关系求附 由递推关系求 n n 重复合函数的定义域重复合函数的定义域 斐波那契 Leonardo Fibonacci 约 1170 1250 也许是生活在 丢番图之后 费马之前欧洲最杰出的数学家 在他最重要的著作 算盘书 记载了一个问 题 某人饲养一对小兔子 如果它们每个月 生一对兔子 且新生的兔子在第二个月后也 是每个月生一对兔子 问一年后共有多少对 兔子 书中对此作了分析 设新出生的一对小兔子 第一个月小兔子 没有繁殖能力 所以还是一 对 两个月后 生下一对小 兔子 共有两对 三个月以 后 老兔子又生下一对 因 为小兔子还没有繁殖能力 所以一共是三对 依次类推 可以列出下表 月数 n 012345678 兔子对数 n a 112358132134 数列 1 1 2 3 5 8 13 21 34 被称为 兔子数列 书中还提出 每个月的兔子总数可由前两个月的兔子数相加而 得 即可以表示为 1 n a n a 1 n a 可以联想的是 兔子的繁殖如此 动物的繁殖都有这样的规律 吗 换句话问 在什么条件下 就产生 兔子数列 呢 也许我们 可以从蜜蜂的繁殖中找到答案 一般动物都有父亲和母亲 但蜜蜂例外 它只有母亲而不一定 有父亲 养蜂人都知道 蜂后产的卵 若能受精 则孵化为雌蜂 若不能受精 则孵化为 雄蜂 也就是说 雄蜂 有母无父 雌蜂有父有 母 按照这个追溯上去 一只雄蜂的上一代 再 上一代 各代总蜂 数恰好构成了 兔子数列 1730 年法国数学家棣莫弗发现了 兔子数列 的通项公式 有趣的是 这样一个完全是自然 2 51 2 51 5 1 11 nn n a 数的数列 通项公式却要用无理数来表达 1753 年希姆松发现 兔子数列 前后两项之比可展成连分式 1 1 1 1 1 1 1n n a a 1843 年另一位法国数学家比内首先证明了通项公式 因此现在 称其为比内公式 19 世纪法国数学家吕卡首先将这个 兔子数列 命名为斐波那 契数列 比内公式有不少证明方法 下面介绍的方法是联想得到的 能 否利用关系式 构造一个我们熟悉的等比数列呢 如果 1 n a n a 1 n a 可以的话 等比数列的通项必须含有与 这样后项含有 n a 1 n a 与 才能构成与 的关系式 1 n a n a 1 n a n a 1 n a 设 是公比为的等比数列 即有 1 nn xaaq 11 nnnn xaaqxaa 比较 得 1 1 n a n a 1 n aq x 1 x x 1 于是通项 注意到 所以 1 nn xaa 1 01 1 n x xaa1 01 aa 1 nn xaa 1 1 1 n x x 由 1 所以 同时可以求得x x 1 x x 1 1 1 nn xaa n x 1 2 51 x 取 得 2 51 x 1 2 51 nn aa n 2 51 取 得 2 51 x 1 2 51 nn aa n 2 51 得 1 5 n a n 2 51 n 2 51 5 1 1 n a n 2 51 n 2 51 这就证明了 2 51 2 51 5 1 11 nn n a 斐波那契数列还有很多奇妙的属性 有兴趣的话 你可以参考 沈康身著 历史数学名题赏析 第九章 在那里还给出了证明 例 如矩阵等式也是其中一个 n nn nn aa aa 01 11 1 1 斐波那契数列是一种特殊的线性递归数列 在数学的许多分支 中有广泛应用 1963 年美国还创刊 斐波那契季刊 用来专门研 究斐波那契数列 又发现了与斐波那契数列的很多奇妙的性质 举两个斐波那契数列的例子 例 1 上楼问题 上楼梯的时候 如果规定一步只能上一级或 二级台阶 那么对于楼梯台阶数为 n 时的上楼方式数是多少呢 n a 解 n 1 时 显然只有 1 种上楼方方式 即 1 n 2 时 可以 1 a 一级一级上 也可以二级一步上 只有 2 种上楼方方式 即 2 上第 n 1 级时 或是从第 n 级上了一级 或是从第 n 2 a 1 级上了二级 只有这两种方式 所以 显然这是一 1 n a n a 1 n a 个斐波那契数列的应用问题 例 2 座位问题 师生集合坐一排 但老师们坐在一起总会聊 些有关学校的无聊话题 因此规定老师彼此不可相邻而坐 若有 n 张椅子 则有多少种可能的坐法 解 n 1 时 显然有 2 种坐法 可坐老师 T 或学生 S 2 a n 2 时 可坐 SS TS ST 共有 3 种坐法 n 3 时 可坐 3 a SSS SST STS TSS TST 共有 5 种坐法 若有 n 张椅 4 a 子 设有种坐法 可以分为两类 如果最后坐的是学生 前面 1 n a n 1 张椅子的坐法是种 如果最后坐的是老师 则最后两张坐的 n a 必定要是 ST 才符合条件 即最后两张已经固定 相当于有 n 2 张椅 子 种坐法 因此 斐波那契数列又再度出现 1 n a 1 n a n a 1 n a 所不同的是数列少了前面两项 1 类似例 2 的还有子集问题 求集合 1 2 10 中所有不包含相 邻正整数的子集个数 类比一下 你能求出来的 在小说 达 芬奇密码 中从卢浮宫博物馆馆长被杀场面开始 凶杀在现场留下了如下的神秘数字 13 3 2 21 1 1 8 5 就是 乱序的斐波那契数列 可见斐波那契数列应用之广泛 更有思考空间的是斐波那契数列居然与 贾宪三角 黄金 分割 等数学问题也密切相关 将 贾宪三角 如下排列 过第一行的 1 向左下方作 45 斜线 之后作直线的平行线 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 将每条直线所经过的数加起来 即得到 1 1 2 3 5 8 真 是 横看成岭侧成峰 斐波那契数列在其中 将斐波那契数列前一项与后一项求比 可以发现越来越接近黄 金分割数 0 618 事实上可以求极限 证明这一点 2 51 2 51 5 1 2 51 2 51 5 1 limlim 22 11 1 nn nn n n n na a 2 51 51 51 2 51 51 51 1 lim 1 1 n n n 0 618 2 51 2 51 1 如果你任意挑两个数为起始 比如 5 2 4 然后两项两项地 相加下去 形成 5 2 4 2 6 0 2 2 8 3 5 8 8 8 14 6 等 你将发现随着数 列的发展 前后两项之比也越来越逼近黄金分割 如果所有的数都 要求是自然数 能找出被任意正整数整除 的项的此类数列 必然是斐波那契数列的 某项开始每一项的倍数 如 6 10 16 26 从 2 开始每个数的两倍 斐波那契数列在实际生活中有非常广泛而 有趣的应用 除了动物繁殖外 植物的生长也 与斐波那契数有关 数学家泽林斯基在一次国 际性的数学会议上提出树生长的问题 如果一棵树苗在一年以后长 出一条新枝 然后休息一年 再在下一年又长出一条新枝 并且每 一条树枝都按照这个规律长出新枝 那么 第 1 年它只有主干 第 2 年有两枝 第 3 年就有 3 枝 然后是 5 枝 8 枝 13 枝等等 每 年的分枝数正好是斐波那契数 这个规律 就是生物学上著名的 鲁德维格定律 仔细观察大自然各种花 它们的花瓣的数目也喜欢按斐波那契 数列排列 你看 最常见的花瓣数目就是 5 枚 像梅 桃 李 樱 花 杏 苹果 梨等等 就都开 5 瓣花 另外百合的花瓣有 3 枚 飞燕草等的花瓣是 8 枚 瓜叶菊等的花瓣是 13 枚 向日葵的花瓣有 的是 21 枚 有的是 34 枚 皱菊的花瓣有的是 34 55 或 89 枚 许 多植物的树叶 果实或种子的排列也出现了斐波那契数列 让我们 来欣赏植物 蓟的果实吧 它的头部几乎呈球状 在下面这个图里 标出了两条不同方向的螺旋 我们可以数一下 顺时针旋转的螺旋 一共有 13 条 而逆时针旋转的则有 21 条 事实上许多常见的植物 我们食用的蔬菜如青菜 包心菜 芹菜等的叶子排列也具有这个特 性 只是不容易观察清楚 尽管这些顺逆螺旋的数目并不固定 但 它们也并不随机 它们是斐波那契序列中的相邻数字 这样的螺旋 被称为斐波那契螺旋 大自然也在使用斐波那契数列呢 为什么植物的叶子 花瓣和果实会按照斐波那契数列进行排列 是不是这个数列本身揭示出了某种自然法则 现在还是个迷团 不 过 这个看似平凡的数列现在已经吸引了许多科学家的注意 也许 用不了太长时间 科学家就能发现这个平凡的 兔子数列 家族如 此兴旺发达的真正缘由 你还能发现斐波那契数列的例子吗 当时在高中一年级读书的 我的女儿顾劼惺居然在做一道数学 题时偶然发现了又一个斐波那契数列 下面就是她写的一篇小论文 经过修改与 数学通讯 评审委 员会评审 被评为 2001 年全国高中生小论文一等奖 刊登于 数学 通讯 2002 年 1 月 2 月合刊 P89 90 附在下面 算作 发现并不 神秘 的一个注脚 尽管这论文很 小 但却在我们身边 我们可 以触摸到 尽管这算不了什么 灵感 但我们可以由此想象一下灵 感产生的过程 尽管小论文并没有什么价值 但却说明了在学习过 程中 你只要善于合情推理 是可以有新的哪怕是很微小的发现的 期待你的小论文 期待你的发现呵 正是 继承前人学而思 突破自我思而学 附 由递推关系求 n 重复合函数的定义域 顾劼惺 南京大学苏州附中高二 2 班 在一次练习中 我遇到了如下问题 若 求 1 1 x xf 的定义域 xff 最初我先求出 再求定义域 答案为2 错了 xff x x 2 1 x 错在求出后不应该化简 正确的答案是1 且2 其包 xff x x 含在的定义域内 xf 我喜欢联想推广 如果要求的定义域呢 于是我再 xfff 求出 其定义域包含在的定义域内 应是 32 2 x x xfff xff 1 2 且 x x 2 3 x 我进一步想 如果多次复合 求 的定 xfn xfff n 重 义域 为 1 的正整数 该有什么答案呢 好奇心吸引着我 我老n 老实实地作了几次复合 1 1 1 x xfxf 12 xffxf 2 1 x x 32 2 23 x x xffxf 53 32 34 x x xffxf 85 53 45 x x xffxf 它们的定义域依次为 1 x 1 x 2 x 2 x 2 3 x 3 x 3 5 x 且的定义域包含在的定义域内 4 x 5 8 x 5 x 1 xfn xfn 仔细观察终于发现 的解析式与都是有规律的 xfn n x 就是解析式的递推公式 而 xfn 1 xff n 1 1 1 xfn 是定义域的递推关系 于是可以得到上述问题的一1 1 1 n n x xx 般结论 的定义域是 且 xfn1 x 1 x 2 x 2 x 2 3 x 3 x 为 1 的正整数 1 1 1 n n x xxn 数列 的通项呢 我希望由递推关系找到通项的有限式 再 n x 进一步观察 我惊喜地发现 其分子与分母 8 13 5 8 3 5 2 3 1 2 1 1 不都是兔子繁殖的斐波那契数列吗 想不到世界竟是如此的和谐 我知道这数列满足 于是 根据数学1 10 aa 11 nnn aaa 归纳的思想 由 1 设 则 1 1 x n x 1 n n a a 1 1 1 n n x x n n a a 1 n n a a 1 可以证得数列 的通项是 也可以证明函数列 n x n x 1 n n a a xfn 的通项是 为 1 的正整数 nn nn n axa axa xf 1 12 n 为了求得斐波那契数列 的通项 我费了不少时间 失败了 n a 最后还是在常庚哲等编的 高中数学竞赛教程 上找到了答案 好一个复杂却对称的通项公式 2 51 2 51 5 1 11 nn n a 这是一道有趣的练习 我以为对分式函数都会有差不多的结论 于是 我对函数作了同样的演练 x xf 1 1 x xfxf 1 1 1 12 xffxf x x1 xxffxf 23 3 xfxf nn 函数列出现了周期现象 当时的定义域始终是1 n xfn 十分简洁 与仅相差一个符号 结果截然不0 1 xx x 1 1 1 1 x 同 数学真是变幻莫测 妙哉 其它类型的函数是