黑龙江省哈尔滨市第六中学2020届高三数学10月第二次调研考试试题 理（含解析）

1 黑龙江省哈尔滨市第六中学黑龙江省哈尔滨市第六中学 20202020 届高三数学届高三数学 1010 月第二次调研考试试月第二次调研考试试 题题 理 含解析 理 含解析 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的 1 已知全集 则 21 ln 1 2xur ax yxby y u ac b a b c d 1 0 1 0 0 1 1 0 答案 d 解析 分析 根据题意 分别化简集合 再根据交集与补集的运算 即可得出结果 a b 详解 因为 2 ln 111ax yxxx 1 20 x by yy y 所以 0 u c by y 因此 1 0 u ac b 故选 d 点睛 本题主要考查集合交集与补集的运算 熟记概念即可 属于基础题型 2 若复数满足 则在复平面内 的共轭复数的虚部为 z 1 2i zi z a b c d 3 2 3 2 i 3 2 3 2 i 答案 a 解析 分析 先由题意求出复数 再求出其共轭复数 即可求出结果 z 详解 因为 所以 1 2i zi 2 2 1 1 313 1 1 1 222 iiii zi iii 因此 即的共轭复数的虚部为 13 22 zi z 3 2 故选 a 2 点睛 本题主要考查复数的运算 以及复数的概念 熟记除法运算法则与复数的概念即可 属于常考题型 3 已知向量满足 则在方向上的投影为 a b 5 1 3 5aba b ab a a b c d 102 53 53 10 答案 b 解析 分析 根据向量数量积的几何意义得到 在方向上的投影为 结合题中 ab a cos abab a 数据 直接计算 即可得出结果 详解 因为 所以 5 1 3 5aba b 10 b 所以在方向上的投影为 ab a 2 55 cos 2 5 5 aa b aba abab a aa 故选 b 点睛 本题主要考查向量的投影 熟记向量数量积的几何意义即可 属于常考题型 4 已知曲线在区间内存在垂直于轴的切线 则的取值范围为 2x yexax 0 1 y a a b c d 0 1 e 1 1 e 0 2 e 1 2 e 答案 d 解析 分析 依题意 可得 即在区间内有解 设 20 x yexa 2 x aex 0 1 2 x g xex 利用函数的单调性 求得最值 即可求解 g x 详解 依题意 可得 即在区间内有解 20 x yexa 2 x aex 0 1 3 设 由题意函数为增函数 且 2 x g xex g x 0 1 1 2gge 所以 故选 d 1 2 ae 点睛 本题考查导数在函数中的应用 其中解答中转化为在区间内有解 2 x aex 0 1 令 利用函数的单调性求解是解答的关键 着重考查函数与方程及化归 2 x g xex g x 与转化的数学思想 5 中国历法推测遵循以测为辅 以算为主的原则 例如 周髀算经 和 易经 里对二十四 节气的晷影长的记录中 冬至和夏至的晷影长是实测得到的 其他节气的晷影长则是按照等 差数列的规律计算出来的 下表为 周髀算经 对二十四节气晷影长的记录 其中寸 4 115 1 6 表示 115 寸分 1 寸 10 分 4 1 6 节气冬 至 小寒 大 雪 大寒 小 雪 立春 立 冬 雨 水 霜 降 惊 蛰 寒 露 春分 秋 分 清 明 白 露 谷 雨 处 暑 立 夏 立 秋 小 满 大 暑 芒 种 小 暑 夏至 晷影 长 寸 135 125 5 6 115 4 1 6 105 4 2 6 95 2 3 6 85 2 4 6 75 5 66 5 5 6 55 4 6 6 45 3 7 6 35 2 8 6 25 1 9 6 16 0 已知 易经 中记录的冬至晷影长为 130 0 寸 夏至晷影长为 14 8 寸 那么 易经 中所 记录的惊蛰的晷影长应为 a 72 4 寸b 81 4 寸c 82 0 寸d 91 6 寸 答案 c 解析 4 分析 由题意可得 节气的晷影长成等差数列 根据题中数据得到第 1 项与第 13 项 求出公差 进而可求出结果 详解 因为节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算出来的 由题意可得 所以等差数列的公差为 1 130 a 13 14 8 a 14 8 130 9 6 12 d 惊蛰对应等差数列的第 6 项 所以 61 51309 6 582 aad 故选 c 点睛 本题主要考查等差数列的应用 熟记等差数列的通项公式即可 属于常考题型 6 已知正方形的边长为 4 为边的中点 为边上一点 若 abcdebcfcd 则 2 af aeae af a 5b 3c d 3 2 5 2 答案 a 解析 分析 先由题意 以点为坐标原点 分别以所在直线方向为轴 轴建立平面直角 aabad x y 坐标系 得到各点坐标 再设点坐标 根据题意求出点坐标 即可 abcde ff 得出结果 详解 因为四边形为正方形 以点为坐标原点 分别以所在直线方向 abcdaabad 为轴 轴建立如图所示的平面直角坐标系 x y 因为正方形的边长为 4 为边的中点 abcdebc 所以 0 0 4 0 4 4 0 4 4 2 abcde 又为边上一点 所以设 fcd 4 04 f aa 则 4 2 ae 4 afa 5 又 所以 解得 2 af aeae 4820a 3a 所以 2222 4345afa 故选 a 点睛 本题主要考查已知数量积求向量的模的问题 熟记坐标系的方法求解即可 属于常 考题型 7 函数的部分图像如图所示 图象与轴交于点 与 sin0f xax f xy m 轴交于点 点在图象上 满足 则下列说法中正确的是 xcn f x mccn a 函数的最小正周期是 f x 2 b 函数的图像关于轴对称 f x 7 12 x c 函数在单调递减 f x 2 36 d 函数 的图像上所有的点横坐标扩大到原来的 2 倍 纵坐标不变 再向右平移 后关 f x 3 于轴对称 y 答案 b 6 解析 分析 先根据图像与题中条件 先确定周期 以及的正负 求出 再求出 根据正弦函数的 a 性质 即可得出结果 详解 因为 由题中图像可得 故选项 a 错 mccn 2 366 t 0a 所以 所以 2 2 t sin 2 f xax 又 由图像可得 sin0 63 fa 2 3 kkz 所以 所以 2 3 kkz sin 2 3 f xax 由得函数的对称轴为 2 32 xkkz f x 122 k xkz 所以当时 故 b 正确 1k 7 12 x 由 3 222 232 kxkkz 解得 7 1212 kxkkz 因此函数的单调递减区间为 故 c 错误 f x 7 1212 kkkz 函数的图像上所有的点横坐标扩大到原来的 2 倍 纵坐标不变 可得 f x 再向右平移可得 为奇函数 关于原点对称 故 d 错误 sin 3 yax 3 sin yax 故选 b 点睛 本题主要考查由三角函数的部分图像求函数解析式 以及三角函数相关性质的判断 熟记三角函数的图像与性质即可 属于常考题型 7 8 已知函数 其中 是自然对数的底数 若 3 1 2 x x f xxxe e e 2 120f afa 则实数的取值范围是 a a b c d 3 1 2 3 1 2 1 1 2 1 1 2 答案 c 解析 分析 先对根据函数奇偶性的概念 判断函数为奇函数 再由导数的方法判定函数单调性 进 f x 而可求出结果 详解 因为 3 1 2 x x f xxxe e 所以 因此函数为奇函数 3 1 2 x x fxxxef x e f x 又 22 1 3230 x x fxxex e 所以函数单调递增 f x 因此不等式可化为 2 120f afa 2 2 1 fafa 所以 即 解得 2 21aa 2 210aa 1 1 2 a 故选 c 点睛 本题主要考查函数基本性质的应用 熟记函数单调性与奇偶性即可 属于常考题型 9 已知中 内角所对的边分别是 若 abc a b c a b c coscos cos1 22 abbab ab 8 且 则当取到最小值时 230 abc sc aaba a b c d 2 333 3 3 2 答案 a 解析 即 由正弦定理得 coscos cos1 22 abbab ab 2 coscos cos2abbabab 即 由 2 sincossincos cos2sinsinabbabab 2sincos2sinsincbab 正弦定理和余弦定理得 则 从而 222 22 2 acb cab ac 222 abcab 故 由得 故 222 1 cos 22 abc c ab 2 3 c 230 abc sc a 133 222 abc 则 所以 故 当且仅当 1 2 cab 2222 1 0 4 aba bab 22 120aba b 12ab 时等号成立 故选 a 2 3ab 10 已知向量满足 与的夹角为 若 则 a b c 4 2ab a b 60 0cacb 的最大值是 c r a b c d 773 72 3 73 答案 b 解析 分析 先由题意 建立平面直角坐标系 令 求出向量的坐标 再设 obb oaa a b 根据 得到 将求向量模的问题转 cx y 0cacb 22 2 3 3xy 化为求圆上点与定点的距离的问题 即可求出结果 详解 由题意 建立如图所示的平面直角坐标系 令 obb oaa 9 因为 与的夹角为 4 2ab a b 60 易得 2 2 3 a 2 0 b 设 则 cx y 2 2 3 caxy 2 cbxy 因为 所以 0cacb 22 2 2 30 xyy 即 22 2 3 3xy 因此表示圆上的点到坐标原点的距离 22 cxy r 22 2 3 3xy 因此 22 max 20 30 373c r 故选 b 点睛 本题主要考查求向量的模 灵活运用建系的方法求解即可 属于常考题型 11 已知等差数列满足 数列满足 记 n a 3 3a 458 1aaa n b 11nnnnn b aaaa 数列的前项和为 若对于任意的 不等式恒 n b nn s 2 2a nn 2 23 n stat 成立 则实数 的取值范围为 t a b 22 21 c d 12 2 2 答案 a 解析 分析 由等差数列通项公式可得 进而由递推关系可得 借助裂项相消法得到 n a 11 1 n b nn n s 10 又 问题等价于对任意的 恒成立 1 n s 2 2 ann 2 240tat 详解 由题意得 则 等差数列的公差 45818 1aaaaa 1 1a n a 31 1 2 aa d 11 n ann 由 11nnnnn b aaaa 得 1 1111 1 n nn b aann 111 1 223 n s 1111 341nn 111 1 11nnn 则不等式恒成立等价于恒成立 2 23 n stat 2 1 123 1 tat n 而 1 11 1n 问题等价于对任意的 恒成立 2 2 ann 2 240tat 设 2 24f atat 2 2a 则 即 20 20 f f 2 2 20 20 tt tt 解得或 2t 2t 故选 a 点睛 本题考查等差数列的通项公式 递推关系式 考查数列的求和方法 裂项相消求和 考查函数与方程的思想方法 以及运算能力 属于中档题 12 已知函数 若方程有四个不等的实数根 则实数 3 12ln 0 42 0 x x f xx xxx f xax 的取值范围是 a 11 a b c d 1 1 0 1 1 1 e e 答案 b 解析 分析 先将方程有四个不等的实数根转化为的图像与直线 f xax 2 2 12ln 0 2 4 0 x x x g x xx x 有 4 个交点 用导数的方法判断函数的单调性 作出函数图像 根据函数 ya g x g x 的图像 即可得出结果 详解 方程有四个不等的实数根等价于的图像与直 f xax 2 2 12ln 0 2 4 0 x x x g x xx x 线有 4 个交点 ya 1 当时 由得 由得 0 x 3 4ln x gx x 0gx 01x 0gx 1x 所以函数在上单调递增 在上单调递减 因此 g x 0 1 1 max 1 1g xg 2 当时 0 x 3 22 22 1 2 x gxx xx 由得 由得 0gx 10 x 0gx 1x 所以函数在上单调递增 在上单调递减 因此 g x 1 0 1 min 1 1g xg 由 1 2 作出函数的图像与直线的图像如下 g xya 12 由图像易得 01a 故选 b 点睛 本题主要考查由方程根的个数求参数的问题 灵活运用数形结合的方法 熟记导数 方法判定函数单调性即可 属于常考题型 二 填空题 将答案写在答题卡上相应的位置二 填空题 将答案写在答题卡上相应的位置 13 已知是定义在r上的函数 且满足 当时 f x 1 2 f x f x 23x 则 2xf x 1 2 log 3f 答案 16 3 解析 分析 先由 求出函数的周期 再由题中条件 即可求出结果 1 2 f x f x 详解 因为 1 2 f x f x 所以 1 4 2 f xf x f x 因此 函数是周期为的函数 f x 4 13 所以 1222 2 16 log 3log 34log 3log 3 ffff 又当时 所以 23x 2xf x 216 log 3 2 1616 log2 33 f 故答案为 16 3 点睛 本题主要考查函数奇偶性的应用 熟记函数奇偶性以及对数的运算法则即可 属于 常考题型 14 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 到a处时测得公路北侧一山顶d在西偏北 的方向上 行驶 300m后到达b处 测得此山顶在西偏北的方向上 仰角为 则 30 75 30 此山的高度cd m 答案 50 6 解析 分析 先设山的高度 根据题中条件求出 再由正弦定理 即可求出结果 cdx 3bcx 详解 设此山的高度 cdx 因为在b处测得此山顶仰角为 所以 30 30cbd 因此 在中 故 rt cbd tan30 cd bc 3bcx 又由题意可得 所以 30cab 105cba 45acb 300ab 由正弦定理可得 即 sinsin bcab cabacb 3300 sin30sin45 x 解得 50 6x 14 故答案为50 6 点睛 本题主要考查解三角形的应用 熟记正弦定理即可 属于常考题型 15 在中 为上一点 且 为上一点 且满足 abc eac4acae pbe 则最小值为 0 0apmabnac mn 11 mn 答案 9 解析 分析 先由题意得到 根据三点共线的充要条件 得到 再由基本不等 4apmabnae 41mn 式即可求出结果 详解 因为 所以 4acae 4apmabnacmabnae 又三点共线 所以 bpe 41mn 所以 11114 4 1452 49 mn mn mnmnnm 当且仅当即 时 等号成立 4mn nm 1 3 m 1 6 n 故答案为9 点睛 本题主要考查利用基本不等式求和的最小值 熟记平面向量基本定理以及基本不等 式即可 属于常考题型 16 正项数列满足 设 若 则的取值范围 n a 1 1 2 n n nn aa 12 nn taaa 2 20 2t 是 答案 10 11 15 解析 分析 先由 当为奇数时 推出 得到 再由 1 1 2 n n nn aa n 3 4 3 2n nn n aa a 211 aa 化简不等式 求解 即可得出结果 20122123452021 taaaaaaaaa 详解 因为 1 1 2 n n nn aa 当为奇数时 则 即 n 1 2n nn aa 1 21 2n nn aa 1 2 1 22 n n nn a aa 所以 所以 3 2 32 2 2 n n nn n aa a 3 4 3 2n nn n aa a 即为奇数时 数列以为周期 所以 n n a 4 211 aa 又由题意可得 2 32 2aa 4 54 2aa 6 76 2aa 20 2120 2aa 所以 24202 4 20110 20122123452021 22 222taaaaaaaaa 由可得 因此 2 20 2t 2 110 22 2 110 解得 1011 故答案为 10 11 点睛 本题主要考查数列的应用 根据递推关系求出数列的前项之积 即可求解 属于 n 常考题型 三 解答题 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤三 解答题 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 17 设是正项数列的前项和 且 n s n a n 2 11 1 22 nnn saann 1 设数列的通项公式 n a 2 若 设 求数列的前项和 2n n b nnn ca b n c n n t 答案 1 2 1 n an 1 2n n tn 解析 16 详解 当 时 解得 舍去 1n 2 1111 11 1 22 saaa 1 1a 1 2a 当时 由得 2n 2 11 1 22 nnn saa 2 111 11 1 22 nnn saa 两式作差 得 22 111 1111 2222 nnnnnnn ssaaaaa 整理得 22 11 1111 0 2222 nnnn aaaa 22 11 0 nnnn aaaa 111 0 nnnnnn aaaaaa 11 10 nnnn aaaa 数列为正项数列 n a 1 0 nn aa 即 数列是公差为 的等差数列 1 10 nn aa 1 1 nn aa n a 1 1 1211 n aandnn 1 2n nnn ca bn 123 2 23 24 21 2n n tn 2341 22 23 24 221 2 nn n tnn 12311 2 22221 22 nnn n tnn 1 2n n tn 18 已知函数 3sin cossin 2cos sincos axxxbxxxf xa b 1 求函数在上的单调递增区间和最小值 f x 0 2 在中 分别是角的对边 且 求的 abc a b c a b c 2 7f bbac cos a 值 答案 1 增区间 当 2sin 2 6 f xx 5 0 36 5 6 x min 2f x 2 cos 7 2 7 a 17 解析 分析 1 先由题意得到函数的解析式为 根据正弦函数的单调性以及题中 2sin 2 6 f xx 条件 即可求出其增区间 和最小值 2 根据 1 中解析式 先得到 由余弦定理求出 再根据余弦 3 b 2ac 7 bc 定理 即可求出结果 详解 1 因为 3sin cossin 2cos sincos axxxbxxx 所以 2 3sin cos sincos sincos f xa bxxxxxx 3sin2cos22sin 2 6 xxx 由得 222 262 kxkkz 63 kxkkz 即函数的增区间为 f x 63 kkkz 又 所以函数在上的单调递增区间为 0 x f x 0 5 0 36 又当时 0 x 11 2 666 x 所以当且仅当 即时 取最小值 为 3 2 62 x 5 6 x f x 2 2 由 1 可知 2sin 2 6 f xx 所以 因为 所以 2sin 2 2 6 f bb 0b 11 2 666 b 所以 因此 2 62 b 3 b 由余弦定理可得 22222 2cosbacacbacac 18 又 显然 7 bac ac 所以 整理得 解得或 舍 2 22 7 acacac 22 66130 acac2ac 6 c a 所以 2ac 7 bc 因此 222222 742 7 co 2277 s bcaccc a bcc c 点睛 本题主要考查三角函数的单调区间与最值 以及余弦定理解三角形 熟记三角函数 的性质以及余弦定理即可 属于常考题型 19 已知函数 2 ln2 0 f xaxa x 1 若对于任意都有成立 试求的取值范围 0 x 2 1 f xa a 2 记 当时 函数在区间上有两个零点 求 g xf xxb br 1a g x 1 ee 实数的取值范围 b 答案 1 2 2 0 e 2 1 1 e e 解析 分析 1 利用导数求出函数的单调区间 根据函数的单调区间求出函数的最小值 要使 恒成立 需使函数的最小值大于 从而求出实数范围 2 1 f xa 2 1 a a 2 利用导数求出函数的单调区间 在根据函数在区间上有两个零点 g x g x 1 ee 可得 即可求出实数的取值范围 1 0 0 1 0 g e g e g b 详解 1 由解得 由解得 22 22 aax fx xxx 0fx 2 x a 0fx 2 0 x a 19 所以在区间上单调递增 在区间上单调递减 f x 2 a 2 0 a 所以当时 函数取得最小值 2 x a f x min 2 yf a 因为对于任意都有成立 所以即可 0 x 2 1 f xa 2 2 1 fa a 则 由解得 22 ln22 1 2 aa a a 2 lnaa a 2 0a e 所以得取值范围是 a 2 0 e 2 依题意得 则 2 ln2g xxxb x 2 2 2 xx g x x 由解得 由解得 0g x 1x 0g x 01x 所以函数在区间上有两个零点 g x 1 ee 所以 解得 所以得取值范围是 1 0 0 1 0 g e g e g 2 11be e b 2 1 1 e e 点睛 本题考查利用导数研究函数单调性 最值以及零点问题 属于中档题 20 数列满足 n a 11 3 2 3n nn aaann 1 求的通项公式 n a 2 设 若对任意 恒有 求的取值范围 1 22 n nn ba nn 1nn bb 3 设 求数列的前项和 23 1 n n n c n na n c nn s 答案 1 2 3 3n n a 3 1 2 1 1 1 3 n n s n 解析 20 分析 1 根据累加法 直接求解 即可得出结果 2 先由 1 得 将对任意 恒有 化为对任意 1 322 n n n b nn 1nn bb 恒有 即 分为偶数和 nn 1 1 322322 nn nn 2 3320 n n n 为奇数两种情况讨论 即可得出结果 n 3 先由 1 得 再由裂项相消法 即可求出结果 2323 113 n n n nn c n nan n 详解 1 因为 1 2 3 n nn aann 所以 21 2 3 aa 2 32 2 3 aa 1 1 2 3 n nn aa 以上各式相加得 1 21 1 3 13 2 33 3 233 13 n nn n aa 又 所以 1 3a 3n n a 2 由 1 可得 11 22322 nn n nn ba 所以 1 1 322 n n n b 因此 对任意 恒有 nn 1nn bb 可化为对任意 恒有 nn 1 1 322322 nn nn 即 2 3320 n n 当时 不等式可化为恒成立 2 nk kn 1 1 1 33 22 n n n 因此只需 2 1 33 22 当 不等式可化为恒成立 21 nkkn 1 1 1 33 22 n n n 21 因此只需 1 1 3 1 2 综上 的取值范围是 3 1 2 3 由 1 可得 232323231 11313 n n n n nnnn c n nan nnn 1 31111 133 1 3 n nn nnnn 所以数列的前项和 n c n 123 nn ccccs 0112231 11111111 1 32 32 33 33 34 33 1 3 nn nn 1 1 1 3nn 点睛 本题主要考查由递推关系求数列的通项的问题 以及数列的求和 熟记累加法求通 项公式 以及裂项相消法求数列的和即可 属于常考题型 21 已知函数 1ln lnf xxaxx ar 1 当时 求的单调区间 1 2 a f x 2 若时 恒成立 求的取值范围 1x 0f x a 答案 1 减区间 增区间 2 1 1 e 1 1 0 e 1a 解析 分析 1 由得到 对函数求导 解对应的不等式 即可求出单调 1 2 a 2 1 lnln1 2 f xxxx 区间 22 2 先由题意得当时 恒成立 再将时 恒成立 转化为 1x 0f x 1x 0f x 恒成立 令 用导数的方法研究其单调性与最值 1ln0 xax 1lng xxax 1x 即可求出结果 详解 1 当时 定义域为 1 2 a 1 1ln ln 2 f xxxx 0 所以 1111 1 ln 1ln ln1 1 22 fxxxxx xxx 令 得或 令 得 0fx 1x 1 0 x e 0fx 1 1x e 所以函数的减区间为 增区间 f x 1 1 e 1 1 0 e 2 因为时 恒成立 1x 0f x 显然 当时 恒成立 1x 0f x 因此当时 恒成立 可化为恒成立 1x 0f x 1ln ln0 xaxx 即恒成立 1ln0 xax 令 则 1lng xxax 1x 1 axa g x xx 由得 0g x xa i 当时 所以在上单调递增 1a 0g x 1lng xxax 1 因此恒成立 1 0g xg ii 当时 由得 由得 1a 0g x xa 0g x 1xa 所以在上单调递增 在 上单调递减 1lng xxax a 1 a 所以 所以只需 min 1lng xg aaaa 1ln0aaa 令 则 1ln1f aaaaa 1ln1ln0f aaa 所以在上单调递减 因此 与矛盾 1lnf aaaa 1 1 0f af 1ln0aaa 故舍去 1a 23 综上 的取值范围为 a1a 点睛 本题主要考查导数的应用 熟记导