山西省临汾市2020届高三数学下学期模拟考试试题（3）理

1 山西省临汾市山西省临汾市 20202020 届高三数学下学期模拟考试试题 届高三数学下学期模拟考试试题 3 3 理 理 共 150 分 考试时间 120 分钟 第 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 已知函数 集合 则 2 2f xxx 0 ax f x 0 bx fx ab a b 1 0 1 2 c d 0 1 1 2 2 设 是虚数单位 若复数 则 i1iz 2 2 z z z a b c d 1i 1 i 1i 1i 3 命题 的否定是 0 1 x ln x ex a b 0 1 x ln x ex 0 0 1 x 0 0 ln x ex c d 0 0 1 x 0 0 ln x ex 0 0 1 x 0 0 ln x ex 4 已知 若 则向量在向量方向的投影为 3 a 2 b aaba bb a b c d 1 2 7 2 1 2 7 2 5 在中 是 的 abc sinsinab tantanab a 充分不必要条件b 必要不充分条件 c 充要条件d 既不充分也不必要条件 6 阅读如图所示的程序框图 运行相应的程序 则输出的结果为 a b 6c d 11 12 11 2 22 3 7 木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件 则该木件的 体积为 a b 249 3 489 3 c d 4818 3 14418 3 2 8 函数的单调递增区间是 cos23sin2yxx 0 2 x a b c d 0 6 0 3 62 32 9 在平面直角坐标系中 若不等式组所表示的平面区域内存在点 440 2100 5220 xy xy xy 00 xy 使不等式成立 则实数的取值范围为 00 1 0 xmy m a b c d 5 2 1 2 4 4 10 已知函数的零点为 若存在实数使且 1 2 x f xex mn 2 30 xaxa 则实数的取值范围是 1mn a a b c d 2 4 7 2 3 7 3 3 2 3 11 已知双曲线 a 0 b 0 满足以下条件 双曲线的右焦点与抛物线 22 22 1 xy e ab e 的焦点重合 双曲线与过点的幂函数的图象交于点 2 4yx fe 4 2 p f xx q 且该幂函数在点处的切线过点关于原点的对称点 则双曲线的离心率是 qf a b c d 31 2 51 2 3 2 51 12 已知函数 若对于任意的 函数 1 x f xxe 0 0 xe 在内都有两个不同的零点 则实数的取值范围为 2 0 ln 1g xxxaxf x 0 ea a b c d 1 e 2 ee e 22 ee ee 2 1 e e 第 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题 本大题共4 小题 每小题5 分 共20 分 将答案填在题中的横线上 13 的展开式中的系数为 6 12 1 xx 2 x 14 我国著名的数学家秦九韶在 数书九章 提出了 三斜求积术 他把三角形的三条边 分别称为小斜 中斜和大斜 三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方 送到中斜平方 取相减后余数的一半 自乘而得一个数 小斜平方乘以大斜平方 送到上面得到的那个 数 相减后余数被 4 除 所得的数作为 实 1 作为 隅 开平方后即得面积 所谓 实 隅 指的是在方程中 p为 隅 q为 实 即若的大斜 中 2 pxq abc 斜 小斜分别为 则 已知点是边上 a b c 2 222 222 1 42 acb sa c dabc ab 一点 则的面积为 815 3 2 45 tan 7 acbcacdbcd abc 15 过直线上一动点向圆引两条切线 切点7ykx m x y 22 20c xyy ma mb 为 若 则四边形的最小面积的概率为 a b 1 4 k macb 3 7 s 16 三棱锥中 点是斜边上一点 给出下列四个命题 sabc prtabc ab 3 若平面 则三棱锥的四个面都是直角三角形 sa abcsabc 若 平面 则三棱锥的外接球体积为4 4 4acbcsc sc abcsabc 32 3 若 在平面上的射影是内心 则三棱锥3 4 3acbcsc sabcabc 的体积为 2 sabc 若 平面 则直线与平面所成的最大角为3 4 3acbcsa sa abcpssbc 60 其中正确命题的序号是 把你认为正确命题的序号都填上 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 12 分 已知等差数列的前项和为 且满足 n an n s 46 18aa 11 121s 1 求数列的通项公式 n a 2 设 数列的前项和为 求 3 2n nn ba n bn n t n t 18 12 分 某小学为了了解该校学生课外阅读的情况 在该校三年级学生中随机抽取了 50 名男生和 50 名女生进行调查 得到他们在过去一整年内各自课外阅读的书数 本 并根据统计结果绘制出如图所示的频率分布直方图 如果某学生在过去一整年内课外阅读的书数 本 不低于 90 本 则称该学生为 书虫 1 根据频率分布直方图填写下面 2 2 列联表 并据此资料 在犯错误的概率不超过 5 的前提下 你是否认为 书虫 与性别有关 男生女生总计 书虫 非书虫 总计 附 2 2 n adbc k ab cd ac bd 2 p kk 0 250 150 100 05 0 02 5 4 k 1 32 3 2 07 2 2 70 6 3 81 4 5 02 4 2 从所抽取的 50 名女生中随机抽取两名 记 书虫 的人数为 求的分布列和xx 数学期望 19 12 分 如图 己知边长为 2 的正三角形所在的平面与菱形所在的平面垂abeabcd 直 且 点是的中点 60dab fbc 1 求证 bdef 2 求二面角的余弦值 edfb 20 12 分 已知为椭圆的左 右焦点 点在椭圆上 12 f f 22 22 1 0 xy eab ab 3 1 2 p 且过点的直线 交椭圆于两点 的周长为 8 2 fl a b 1 afb 1 求椭圆的方程 e 2 我们知道抛物线有性质 过抛物线的焦点为的弦满足 2 2ypx 0 p fab 那么对于椭圆 问否存在实数 使得 2 afbfafbf p e 成立 若存在求出的值 若不存在 请说明理由 2222 afbfafbf 5 21 12 分 已知函数 2 1 x f xe 1 求函数在处的切线方程 2 fx1x 2 若不等式对任意的 都成立 求实 f xyf xymx 0 x 0 y 数的取值范围 m 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 作答时请写 清题号 22 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系中 直线 的参数方程为 t为参数 以原点为极点 轴xoyl 1 3 2 1 xt yt x 正半轴为极轴建立极坐标系 圆的极坐标方程为 c2cos 4 1 写出直线 的普通方程 并把圆的方程化为直角坐标方程 lc 2 设直线 与圆相交于两点 求 lc a bab 6 23 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 2 f xx 1 求不等式的解集 2 4 2fxf x 2 当时 不等式恒成立 求实数a的取值范围 0a 1f axaf xa 理科数学答案与解析 1 答案 c 解析 2 20 02 ax xxxx 220 1 bxxx x 故选 c 01 abxx 2 答案 a 解析 复数 1iz 2z 22 1i 2iz 则 故选 a 2 2 z z z 22 1i 2i2i1i2i1i 1i 1i 1i 3 答案 d 解析 全称命题的否定是特称命题 所以命题 的否定 0 1 x ln x ex 是 故选 d 0 0 1 x 0 0 ln x ex 4 答案 b 解析 aab 2 30 aabaa b a b 3 a b 向量在向量 方向的投影为 故选 a bb 2 347 cos 22 a bba b b a ba b b bb b 5 答案 d 解析 由正弦定理及大边对大角可得 而函数在上不是单调函数 所以 sinsin 22 ab ababab rr tanyx 0 是 的既不充分也不必要条件 故选 d sinsinab tantanab 6 答案 d 解析 执行程序框图 可得s 0 n 2 满足条件 n 4 满足条件 1 2 s n 6 满足条件 n 8 由题意 此时应该不满足条件 113 244 s 11111 24612 s 退出循环 输出s的值为 故选 d 1122 8 123 7 7 答案 c 解析 由已知中的三视图知圆锥底面半径为 圆锥的高 22 6 3 3 6 2 r 圆锥母线 截去的底面弧的圆心角为 底面剩余 22 3 5 36h 22 666 2l 120 部分的面积为 故几何体的体积为 2222 2121 sin12066sin120249 3 3232 srr 故选 c 11 249 3 64818 3 33 vsh 8 答案 d 解析 因为 由cos23sin2yxx 2sin 2 2sin 2 66 xx 解得 即函数的增区间为 3 222 262 kxkk z 5 36 kxkk z 所以当时 增区间为 选 d 5 36 kkk z0k 32 9 答案 b 解析 作出不等式对应的平面区域 如图所示 其中 直线过定点 2 6 a10 xmy 1 0 d 当时 不等式表示直线及其左边的区域 不满足题意 0m 1 0 x 10 x 当时 直线的斜率 不等式表示直线下方0m 10 xmy 1 0 m 1 0 xmy 10 xmy 的区域 不满足题意 当时 直线的斜率 不等式表示直线上方0m 10 xmy 1 0 m 1 0 xmy 10 xmy 的区域 要使不等式组所表示的平面区域内存在点 00 xy 使不等式成立 只需直线的斜率 00 1 0 xmy 10 xmy 1 2 ad k m 解得 综上可得实数的取值范围为 故选 b 1 2 m m 1 2 10 答案 d 解析 因为 且 所以函数单调递增 1 10 x fxe 1 0f 1 2 x f xex 且有惟一的零点为 所以 问题转化为 使方程1m 11n 02n 在区间 0 2 上有解 即 2 30 xaxa 22 3 1 2 1 44 12 111 xxx ax xxx 在区间 0 2 上有解 而根据 对勾函数 可知函数在区间 0 2 的值域 4 12 1 yx x 为 故选 d 2 3 23a 11 答案 b 解析 依题意可得 抛物线的焦点为 f关于原点的对称点 2 4yx 1 0 f 所以 设 则 1 0 24 1 2 1 2 f xxx 1 2 fx x 00 q xx 0 0 0 1 12 x xx 8 解得 可得 又 可解得 故双曲线 0 1x 1 1 q 22 11 1 ab 1c 222 cab 51 2 a 的离心率是 故选 b 151 251 2 c e a 12 答案 d 解析 函数在内都有两个不同的零点 等价 2 0 ln 1g xxxaxf x 0 e 于方程在内都有两个不同的根 2 0 ln1 xxaxf x 0 e 所以当时 是增函数 111 1 xxx fxexex e 0 1 x 0fx f x 当时 是减函数 因此 1 xe 0fx f x0 1f x 设 2 ln1f xxxax 2 121 2 xax f xxa xx 若在无解 则在上是单调函数 不合题意 所以在有 0f x 0 e f x 0 e 0f x 0 e 解 且易知只能有一个解 设其解为 当时 在上是增函数 1 x 1 0 xx 0f x f x 1 0 x 当时 在上是减函数 1 xx e 0f x f x 1 x e 因为 方程在内有两个不同的根 所以 0 0 xe 2 0 ln1 xxaxf x 0 e 且 由 即 解得 max1 1f xf x 0f e 0f e 2 ln1 0eeae 2 ae e 由 即 所以 max1 1f xf x 2 111 ln11xxax 2 111 ln0 xxax 因为 所以 代入 得 2 11 210 xax 1 1 1 2ax x 2 111 ln0 xxax 2 11 ln10 xx 设 所以在上是增函数 2 ln1m xxx 1 20m xx x m x 0 e 而 由可得 得 1 ln1 1 10m 2 11 ln10 xx 1 1 m xm 1 1xe 由在上是增函数 得 综上所述 故选 d 1 1 1 2ax x 1 e 1 12ae e 2 1ae e 13 答案 3 解析 的展开式中的系数为 6 12 1 xx 2 x 21 66 c 2 c3 14 答案 解析 所以 3 15 4 tantan tantan 15 1tantan acdbcd acbacdbcd acdbcd 由余弦定理可知 得 根据 1 cos 4 acb 222 2cos16abacbcac bcacb 4ab 三斜求积术 可得 所以 2 222 222 1423135 42 4216 s 3 15 4 s 15 答案 解析 由圆的方程得 所以圆心为 半径为 157 3 22 1 1xy 0 1 1r 四边形的面积 若四边形的最小面积 所以的最小值为2 mbc ss macb 3 7 s mbc s 而 即的最小值 此时最小为圆 37 22 mbc s 1 2 mbc sr mb mb min 3 7 mb mc 心到直线的距离 此时 因为 所以 2222 2 17 1 3 1 7 1 d k 0k 7 15 k 所以的概率为 1 4 k 157 3 16 答案 解析 对于 因为平面 所以 sa abcsaac saab 又 所以平面 所以 故四个面都是直角三角形 sabc bcac bc sacbcsc 9 正确 对于 若 平面 三棱锥的外接球 4 4 4acbcsc sc abc sabc 可以看作棱长为 4 的正方体的外接球 体积为 222 24444 3r 2 3r 正确 对于 设内心是o 则平面 连接 3 4 2 3 32 3 3 v abc so abc oc 则有 又内切圆半径 所以 222 soocsc 1 345 1 2 r 2oc 故 三棱锥的体积为 222 321soscoc 1so sabc 正确 对于 若 平面 则 111 34 12 332 abc vsso 3sa sa abc 直线与平面所成的最大角时 点与点重合 在中 pssbcpartsca 3 tan1 5 asc 即直线与平面所成的最大角为 不正确 故答案为45asc pssbc45 17 解析 1 设数列的公差为d n a 465 218aaa 5 9a 111 116 11 11121 2 aa sa 6 11a 6 分 65 1192daa 5 5 92 5 21 n aandnn 2 由 1 可知 1 3 2 213 2 1 2 nnn nn bann 数列的前项和为 n bn 2341 223242 1 2n n tn 34512 22232422 1 2 nn n tnn 两式作差 得 23412 22222 1 2 nn n tn 1 2 8 12 8 1 2 12 n n n 222 828 1 22 nnn nn 12 分 2 2n n tn 18 解析 1 由频率分布直方图可得 男生书虫 非书虫的人数分别为 12 38 女生书虫 非书 虫的人数分别为 4 46 故得如下 2 2 列联表 男生女生总计 书虫 12416 非书虫 384684 总计 5050100 根据列联表中数据可得 4 分 2 2 100 1246438 4 762 16 845050 k 由于 4 762 3 841 所以在犯错误的概率不超过 5 的前提下 可以认为 书虫 与性别有关 6 分 2 由频率分布直方图可得女生 书虫 的人数为 4 的所有可能取值为 0 1 2 x 则 9 分 2 46 2 50 c207 0 c245 p x 11 464 2 50 c c184 1 c1225 p x 2 4 2 50 c6 2 c1225 p x 故的分布列为x x012 p 207 245 184 1225 6 1225 10 的数学期望为 12 分 x 20718461964 012 24512251225122525 e x 19 解析 1 证明 取的中点 连结 由题意知 abo eo of aceoab 又因为平面平面 所以平面 2 分 abcd abeeo abcd 因为平面 所以 bd abcdeobd 因为四边形为菱形 所以 abcdbdac 又因为 所以 所以平面 4 分 of acbdof bd eof 又平面 所以 6 分 ef eofbdef 2 连结 由题意知 doeoab doab 又因为平面平面 所以平面 abcd abedo abe 以为原点 建立如图所示的空间直角坐标系 ooxyz 则 0 0 0o 33 3 0 0 0 0 3 0 0 1 0 22 edfb 8 分 33 0 3 0 3 22 dfde 设平面的一个法向量为 则 即 def 1 x y z n 1 1 0 0 df de n n 33 0 22 330 yz xz 令 所以 10 分 1x 1 3 1 1 3 n 又由 1 可知平面 所以平面的一个法向量为 eo abcddfb 2 1 0 0 n 设二面角的平面角为 则 12 分 edfb 12 12 21 cos 7 nn nn 20 解析 1 根据椭圆的定义 可得 12 2afafa 12 2bfbfa 的周长为 1 afb 111122 4afbfabafbfafbfa 得 椭圆的方程为 48a 2a e 22 2 1 4 xy b 将代入椭圆的方程可得 所以椭圆的方程为 5 分 3 1 2 pe 2 3b e 22 1 43 xy 2 由 1 可知 得 222 431cab 2 1 0 f 依题意可知直线 的斜率不为 0 故可设直线 的方程为 ll1xmy 由消去 整理得 22 1 43 1 y xmy x x 22 34 690mymy 设 则 1122 a x yb xy 12 2 6 34 m yy m 12 2 9 34 y y m 11 不妨设 12 0 0yy 222222 2111111 1 1 1 1 1afxymyymymy 同理 9 分 22 222 1 1bfmymy 所以 222 2212 12 1111111 111 afbfyy mymym 即 2 2 22 2112 21 222 1212 2 69 4 41114 3434 9 3 111 34 m yyy yyy mm y yy y mmm m 所以存在实数 2222 4 3 afbfafbf 4 3 使得成立 12 分 2222 afbfafbf 21 解析 1 设 则 22 2 1 x t xfxe 22 2 x t xe 当时 1x 2 2 1 12te 2 2 1 22te 函数在处的切线方程为 即 4 分 2 fx1x 22 1 yx 20 xy 2 根据题意可得对任意的 都成立 22 2 xyxy eemx 0 x 0 y 当时 不等式即为 显然成立 5 分 0 x 22 20 yy ee 当时 设 则不等式恒成立 0 x 22 2 xyxy g xee 22 2 xyxy eemx 即为不等式恒成立 g xmx 当且仅当时取等 22222 2 22222 xyxyxyy