噪声对基于Duffing方程弱信号检测的影响研究

噪声对基于 Duffing 方程弱信号检测的影响研究摘 要获取真实的信息是信息科学一项重要的任务，但是，噪声是不可避免的存在与任何一个系统之中。当所要检测的有用信号十分微弱，一直被强噪声所淹没，此时用传统的检测方法来检测信号是很难做到的，而这种情况在现实中广泛存在，因此将淹没于强噪声中的有用信号提取出来，值得我们关注。混沌理论的兴起和发展为微弱信号检测提供了新的检测方法和思路。混沌振子是一种能够表现典型混沌现象的非线性系统，本论文主要采用 Duffing 振子。混沌振子系统的相轨迹变化对周期信号具有敏感特性而对噪声具有免疫特性，从而可以通过混沌振子系统将淹没于噪声中的微弱周期信号识别并恢复出来。本文在 Duffing 混沌控制系统基础上，提出了强噪声背景下微弱正弦信号时域波形恢复的方法。实验证明，混沌控制系统本身就像一个性能良好的自适应非线性滤波器，可以为后续的滤波算法提供良好的支撑。它本身就是一个微分系统，对于单一频率的未知正弦波可以进行连续时域滤波；不需要知道正弦信号的任何先验信息就可较准确地估计出信号的频率，参数设置简单，系统复杂性低，稳定性良好。本文对高斯白噪声条件下，信噪比为-20dB 的微弱正弦信号进行了恢复。其中，在已知信号频率时，系统将信号的时域波形很好的恢复出来，输出信噪比达到了 20.2dB。实验证明本文提出的混沌微弱正弦信号恢复系统是十分有效的。关键词：微弱信号检测，混沌，Duffing 振子The Influence of Noise on Weak Signal Detection Based on Duffing Oscillator ABSTRACTAcquire real information is an important aspect in information science , but there exists noise in any systems .When will the useful signal detection, has been very weak now inundated with strong noise, with the traditional test methods to detect signals are very hard to do, which is widely exists in reality, so will the submerged in strong noise are extracted from the useful signal is worth our concern. The rise and development of chaos theory for the weak signal detection provides a new detection methods and ideas. Chaotic oscillator is able to show the typical chaos of a nonlinear system, this paper mainly Duffing oscillator.Chaotic Oscillators phase trajectory of the periodic signal characteristics with a sensitivity to noise immunity, which can be submerged in the chaotic oscillators to weak periodic signals in noise, identify and recover it. In this paper, based on the Duffing chaotic control systems is presented strong noise weak sinusoidal signal waveform recovery method. Experiments show that chaos control system itself is like a good performance of the adaptive nonlinear filter, the follow-up of the filtering algorithm can provide good support. It itself is a differential system, for unknown single frequency sine wave can be a continuous time domain filter; do not know of any prior information sinusoidal signal can be more accurately estimate the frequency of the signal, parameter set up a simple, low complexity good stability. In this paper, Gaussian white noise conditions, the SNR is-20dB of weak sinusoidal signal was restored. Among them, in a known frequency, the system will signal the recovery of time-domain waveform out well, the output SNR achieved 20.2dB. Experiments show that the proposed chaotic weak sinusoidal signal recovery system is very effective. KEY WORDS: Weak Signal Detection,Chaos,Duffing oscillator目 录摘要 .IABSTRCT .II1 绪论 .11.1 论文研究背景 .11.1.1 微弱信号检测技术 .11.1.2 混沌理论的发展概况 .21.1.3 混沌控制 .31.2 本课题的选题意义 .41.3 基于混沌理论的微弱正弦信号检测和参数估计方法的研究现状 .51.4 本论文的研究内容 .62 混沌振子微弱信号检测 .72.1 Duffing 振子检测 .72.2 微弱正弦信号混沌检测原理 .102.3 间歇混沌特性 .112.4 振子阵列法检测信号频率 .152.5 相位参数检测 .162.6 本章小结 .193 Duffing 振子强噪声下微弱正弦信号恢复 .203.1 幅值检测仿真实验 .203.2 频率检测仿真实验 .243.3 与 Fourier 算法比较 .263.4 本章小结 .274 结束语 .284.1 全文总结 .284.2 未来展望 .28致谢 .30参考文献 .311 绪论1.1 论文研究背景1.1.1 微弱信号检测技术当今科学技术的进步，使测量技术得到日臻完善的发展，但同时也提出了更高的要求。尤其是一些极端条件下的测量已成为深化认识自然的重要手段，例如对物质的微观结构与弱相互作用等所获得的极为微弱量的测量，无疑是当今科学技术的前沿课题。测量技术的发展，始终是围绕着两个问题逐渐解决和提高的，即所谓速度和精度。测量精度意味着检测灵敏度的提高和动态范围的扩大，即能容纳更多的噪声和从噪声中提取信号能力的提高；而测量的速度表示快速的瞬变响应和处理的能力。微弱信号检测（Weak Signal Detection）则是测量技术中的综合技术和尖端领域，由于它能测量传统观念认为不能测量的微弱量，所以才获得迅速的发展和普遍的重视。对于众多的微弱量（如弱光、小位移、微振动、微温差、小电容、弱磁、弱声、微电导、微电流、低电平电压及弱流量等等） ，一般都通过各种传感器作非电量转换，使检测对象转变成电量(电压或电流)。但当检测量甚为微弱时，弱检测量本身的涨落以及所用传感器的本底与测量仪表的噪声影响，表现出来的总效果是，有用的被测信号被大量的噪声和干扰所淹没，使测量受到每一发展阶段的绝对限制。自从 1928 年约翰逊（Johnson）对热骚动电子运动产生的噪声进行研究以来，大量科学工作者对信号的检测做出了重要贡献。尤其是近三十年来，更加取得了突飞猛进的发展，测量的极限不断低于噪声的量级。例如 1962 年美国 PARC 第一台相干检测的锁相放大器问世，使检测的信噪比突然提高到 310 ；1968 年从大量二次电子的背景中测得 Auger 电子；到八十年代切，在特定的条件下可使小于 1nV 的信号获得满度输出（使信号的放大量接近 200dB） ，信噪比提高到 6。粗略估计，即平均每 5、6 年测量极限提高一个数量级，因此，过去视为不可测量的微观现象或弱相互作用所体现的弱信号，现在已成为可能，这就大大地推动了物理学、化学、电化学、天文学、生物学、医学以及广泛的工程技术领域等学科技术的发展。微弱信号检测技术，也就成为一门被人重视的、新兴的分支技术学科。微弱信号检测的目的乃是利用电子学的、信息论的和物理学的方法，分析噪声产生的原因和规律，研究被测信号的特点和相干性，检测被背景噪声覆盖的弱信号。它的任务是发展微弱信号检测的理论，探索新的方法和原理，研制新的检测设备以及在各学科领域中的推广应用。微弱信号检测在某种意义上说，是一种专门与噪声斗争的技术：只有抑制噪声，才能取出信号。噪声对于弱检测几乎是无处不在，无地没有，它总是与信号共存，因此有人将噪声比作“魔鬼”那样的令人讨厌。微弱信号检测技术进步的标志是检测灵敏度的提高。更确切地说，应是信噪比改善（SNIR） 。它的定义为：(1-1)是输出信噪比 与 输入信噪比之比。例如输入端的噪声比信号大 l00 倍，outNSin而通过微弱信号检测的手段得到信号比噪声大 2 倍，则 SNIR200。SNIR 越大，表示处理噪声的能力越强，检测的水平越高。1.1.2 混沌理论的发展概况混沌是非线性动力学系统所特有的一种运动形式。它广泛地存在于自然界，诸如物理、化学、生物学、地质学，以及技术科学、社会科学等各种科学领域。一般而言，混沌现象隶属于确定性系统而难以预测（基于其动力学性态对于初始条件的高度敏感性） ，隐含于复杂系统但又不可分解（基于其具有稠密轨道的拓扑特征） ，以及呈现多种“混乱无序却又颇有规则”的图像（如具有稠密的周期点） 。从数学上讲，对于确定的初始值，由动力系统就可以推知该系统长期行为甚至追溯其过去性态。但在 20 世纪 60 年代，美国气象学家 Lorenz 在研究大气时发现，当选取一定参数的时候，一个由确定的三阶常微分方程组描述的大气对流模型，变得不可预测了，这就是有趣的“蝴蝶效应” 。在研究的过程中，Lorenz 观察到了这个确定性系统的规则行为，同时也发现了同一系统出现的非周期无规则行为。通过长期反复地数值试验和理论思考，Lorenz 揭示了该结果的真实意义，在耗散系统中首先发现了混沌运动。这为以后的混沌研究开辟了道路。20 世纪 70 年代，特别是 1975 年以后，是混沌科学发展史上光辉灿烂的年代。在这一时期，作为一门新兴的学科混沌理论正式诞生了。1971 年，法国数学物理学家 Ruelle 和荷兰学者 Takens 一起发表了论湍流的本质 ，在学术界首次提出用混沌来描述湍流形成机理的新观点。通过严密的数学分析，独立地发现了动力系统存在“奇怪吸引子” ，他们形容为“一簇曲线，团斑点，有时展现为光彩夺目的星云或烟火，有时展现为非常可怕和令人生厌的花从，数不清的形式有待探讨，有待发现” 。1973 年，日本京都大学的 Y. Ueda 在用计算机研究非线性振动时。发现了一种杂乱振动形态，称为 Ueda 吸引子。1975 年，李天岩（T. Y. Li）和 J .A. Yorke 在他们著名的论文“周期 3 意味着混沌”中，给出了闭区间上连续自映射的混沌定义，在文中首先提出 Chaos（混沌）这个名词，并为后来的学者所接受。1977 年夏天，物理学家 J. Ford 和 G. Casati 在意大利组织了关于混沌研究的第一次国际性科学会议，进一步营造了混沌研究的氛围。1978 年，M. J. Feigenbaum 用手摇计算机彻夜工作，发现一类周期倍化通向混沌的道路中的普适常数。1979 年，P. J. Holmes 作ioutSIR了磁场中曲片受简谐激励时的振动试验，发现激励频率和振幅超过某个特定值之后，就出现混沌振动。1980 年，意大利的 V. Franceschini 用计算机研究流体从平流过渡到湍流时，发现周期倍化现象，验证了 Feigenbaum 常数。1981 年，美国麻省理工学院的 P. S. Linsay 第一次用实验证明 Feigenbaum 常数。1989 年，召开了美苏混沌讨论会。1990 年，在德国专门召开了分岔与混沌研讨会。1991 年 4 月，在日本由联合大学与东京大学共同召开“混沌对科学与社会的影响”的国际会议。1991 年 10 月，在美国召开了首届混沌试验讨论会。这些会议的召开促进了混沌理论研究世界性热潮的到来。近 10 年来，混沌科学更是与其他科学互相渗透，无论是在生物学、生理学、心理学、数学、物理学、电子学、信息科学，还是天文学、气象学、经济学，甚于在音乐、艺术等领域，混沌都得到了广泛的应用。如今，混沌的发现被认为是 20 世纪物理学三大成就之一，可以说“相对论消除了关于绝对空间与时间的幻想；量子力学则消除了关于可控测量过程的 Newton 式的梦；而混沌则消除了 Laplace 关于决定论式可预测性的幻想” 。正如混沌科学的倡导者之一，美国海军部官员 M.Shallesinger 所说的那样“20 世纪科学将永远铭记的只有三件事，那就是相对论、量子力学与混沌” ，它在整个科学中所起作用相当于微积分学在 18 世纪对数理科学的影响。混沌理论的创立，将在确定论和概率论这两大科学体系之间架起桥梁，它将揭开物理学、数学乃至整个现代科学发展的新篇章。1.1.3 混沌控制在混沌吸引子中，内嵌有无穷多不稳定周期轨道，同时，混沌吸引子具有各态遍历性，即在有限的演化期内，混沌系统遍历的经过混沌吸引子中的每一条不稳定周期轨道。混沌动力学的这种特性，使得混沌系统在某一特定时刻表现为一种周期态，这种周期态只是混沌系统的一个不稳定解。在混沌系统未受干扰的情况下，混沌轨道只能无限靠近这些不稳定周期轨道，不会真正的到达其上。混沌轨道随机地从一种不稳定的周期态转移到另外一种不稳定的周期态，结合混沌吸引子的遍历性。人们自然而然地产生了这样的想法：能否当混沌轨道遍历地经过镶嵌在吸引子上的期望周期轨道周围的小邻域时，利用微小的扰动将轨道驱动到混沌系统的不稳定周期解上。如果能的话，那么混沌轨道就有可能沿着这些周期轨道运动下去，也就实现了混沌系统的控制。正是基于上述思想，1990 年，E. Ott、C. Grebogi 和 J. Yoke 提出了著名的 OGY 方法。它是混沌控制的开端，使人们认识到混沌并非不可控，而且在有些时候混沌控制有它自身的许多优点，为混沌电路控制、保密通信、光学系统控制、流体湍流等问题的研究开辟了道路。OGY 方法是利用混沌系统的一些基本特征来控制混沌，它仅需利用对系统或动力学变量的微小扰动便可达到控制目的。OGY 控制的基本思想主要是基于以下混沌系统的两点基本事实： 第、混沌吸引子上镶嵌着大量的不稳定周期轨道（UPO） ，它们在混沌动力学系统演化的过程中一直存在。除此之外，由于混沌系统的遍历性，混沌轨道还将经过或接近这些周期轨道中的任意一个，但在没有外部作用的情况下，它不会真正地在这些轨道上运行，因为这些不稳定周期轨道的全体在混沌态上测度总和为零。混沌轨道的真实运动是在各个不同的不稳定周期轨道之间进行随机地变换。混沌运动可以直观地想象为：系统在不稳定周期轨道附近做近似于周朋的运动，但又随机地在不同轨道之间进行 Brown 运动。第二、混沌对初始状态和系统参数有极端的敏感性，即混沌系统的“蝴蝶效应” ，换言之就是混沌系统参数和系统状态的微小扰动对混沌轨道在长时间的演化中影响非常大，它使得混沌系统变得不可预测。正因为如此，当混沌轨道接近所期望的周期轨道时（该周期轨道按照某种指标具有最好的系统性能） ，运用小的扰动，使混沌系统的轨道发生很大变化，便可把系统驱动到期望的周期轨道上去。一般地，在对混沌系统实施控制时，必须首先了解混沌系统的具体动力学行为，但在实际控制中，对于系统具体动力学行为的了解可能不是很清楚，在有些情况下其至是不可能的，这时需要运用时滞坐标嵌入技术。通过连续地测量混沌系统某一状态变量来构造 Poincare 截面来确定系统行为。另外，还必须确定出一条嵌在吸引子上的期望不稳定周期轨道，作为控制的目标。1.2 本课题的选题意义随着科学技术的进步发展，测量技术日趋完善，但同时也提出了更高的要求，尤其是在一些极端条件下的测量。例如，对物质的微观结构与弱相互作用等所获得的极为微弱的测量，已成为当今科学技术的前沿课题。解决速度和精度的问题，是测量技术发展的关键点。测量精度意味着检测灵敏度的提高和动态范围的扩大，即容纳更多的噪声和从噪声中提取信号能力的提高；而测量的速度表示快速的顺便反应和处理能力。微弱信号检测是测量技术中的综合技术和尖端领域，它能够测量传统观念认为不能测量的微弱量，并且获得了迅速的发展和普遍的重视。对于众多的微弱量，一般都是通过各种传感器作非电量转换，使检测对象转变成电量。但当检测量十分微弱时，弱检测量本身的涨落以及所用传感器与测量仪表的噪声影响，表现出的整体效果是，有用信号被大量的噪声和干扰淹没。从前面对于微弱信号检测技术的描述可以看出，微弱信号检测技术的发展主要依赖以下两个方面的突破：1、微弱信号检测理论和算法；2、检测设备。本次研究的主要内容就是集中在微弱信号检测的理论和算法上。因为算法的进步不仅可以从理论上放宽检测条件的限制，最重要的是还可以由此简化检测设备、节约大量资金。目前微弱信号检测的理论和算法主要是基于现代随机信号处理理论：现代谱估计理论、自适应滤波理论、高阶统计分析理论及时频信号分析理论等等。现代随机信号处理理论的应用使得微弱信号检测在理论上有章可循并已经在实践中取得一系列重要的进展。但是由于理论本身条件的约束，这些理论在处理噪声远强于信号（信噪比 S / N 在 0dB 以下）的情况时就显得无能为力，这时就只能依靠提高检测设备的精度和抗噪性能来缓解。众所周知，检测设备的精度和抗噪性能的提高是需要大量资金的。以设备的检测精度为例，检测精度每提高一个数量级，购买或研制设备的资金就要提高一到两个数量级。这样，新的检测理论和算法的研究就迫在眉睫。而混沌理论正好可以在相当程度上解决传统的方法很难解决的问题。由于混沌系统有着对有规律的微小扰动异常敏感、对远大于扰动的噪声（如白噪声、有色噪声等）不敏感的突出特点，使得混沌理论在微弱信号检测领域大有用武之地。混沌理论包含着丰富的内容，其绝大部分理论和方法目前在微弱信号检测领域中都有应用。混沌理论一经运用就大大突破了传统检测理论的检测极限（混沌态的 Duffing 振子可以在信噪比为-40dB 左右的极端条件下检测出 nV 级正弦信号） 。而且由于混沌系统构造简单，将大大降低检测设备研制或购买费用。所以，将混沌理论引入微弱信号检测领域中有着极其美好且广泛的应用前景。但是，目前基于混沌系统的微弱正弦信号检测和信号参数估计方法还存在诸多弊端，比如检测和参数估计方法过于繁琐，不能同时估计多个参数等等。这给混沌检测和恢复强噪声下微弱正弦信号理论和方法的实际应用造成了一定困难。因此将这些理论和方法进行根本上的改变和简化迫在眉睫。物质世界本质上是非线性的，但是在现实中，人们往往喜欢将非线性的事物和模型用线性模型来近似，这在一定程度上就限制了认识事物的深度，甚至可能会得出错误的结论。然而利用非线性的混沌理论和方法来认识事物，首先在本质上和物质世界是接近的，进而认识到的运动规律就更接近事物的本质。1.3 基于混沌理论的微弱正弦信号检测和参数估计方法的研究现状长期以来，国内外学者在微弱正弦信号检测这一领域作了大量的理论和实验分析工作。并提出了一些分析实验方法。其中，频谱分析和小波分析方法是比较常用的两种。这两种方法所能检测到的微弱正弦信号的信噪比有限，当背景嗓声比较强烈而所检测正弦信号比较微弱时，它们不能很好完成信号检测的任务。近年来，随着混沌理论的不断发展，一些学者将混沌振子应用于对强噪声背景条件下的微弱正弦信号进行检测。Donald L. Birx 在这一方面作了一定的工作，但他们只是显示了一些实验结果，在原理上并未深入探讨。屈梁生教授利用差分方程原理成功地设计出了混沌振子，并在检测微弱正弦信号时有良好的可视性。浙江大学的王冠宇等人则利用 Duffing 方程的解特性设计出了混沌振子，能达到的信噪比为-26dB。这就是利用混沌系统检测微弱正弦信号的开端，经过国内外学者和科技人员的努力，基于混沌理论的强噪声背景下微弱正弦信号检测方法已基本成型。需要说明的是：1、一般认为正弦信号是最简单的周期信号，如果能在低信噪比条件下检测出微弱正弦信号，那么其他更为复杂的信号可以用类似的方法检测；2、目前主要是利用处于特定混沌态的非线性系统（方程）进行检测，其中 Duffing 方程是最为常用的，大多数的方法都是基于对 Duffing 方程的改进以改进检测效果；3、目前大多数方法都是利用非线性系统参数由于微扰（微弱正弦信号）而发生变化时系统会产生“相变”这个基本思想进行检测，然后应用混沌理论的各种方法以及经典的参数估计理论将微弱正弦信号参数估计出来；4、目前大多数方法都是采用“内置信号法”进行检测，即预先让一个幅度不太大的正弦信号驱动检测电路；5、目前尚无统一的方法将微弱正弦信号的全部参数（幅度、频率、相位）整体估计出来，其中对幅度参数的估计做得较好，对频率和相位参数的估计方法尚在探索中。值得一提的是，C. M. Glenn 和 S. Hayes 于 1996 年提出了一种利用基于混沌控制恢复微弱正弦信号的想法。与前面所述的微弱正弦信号检测及参数估计的方案不同，它首先在混沌系统的无数个周期轨道中选择一条低周期轨道，并将系统运动控制在这条轨道上。如果加入一个小周期正弦信号（不含噪声的待测信号）将会使系统运动偏离周期轨道而形成混沌。这时对系统实施低周期微扰，当微扰正好将待测信号抵消时，系统将恢复加入待测信号前的低周期运动。这样，施加的微扰就是待测信号本身（或相差 rad 的相位） 。这是一次将混沌控制思想用于微弱正弦信号恢复的有益尝试。但是该方法所选择的低周期轨道，由于其运动范围较小，可能导致轨道对噪声也很敏感，这样施加的微扰可能会将噪声和信号一起恢复出来；还有，该方法施加微扰的前提是假设微扰与待测信号成简单的正比关系，这样就需要对待测信号有一定的先验知识（比如知道信号的频率、相位） ，并且整个控制方案并不是自适应调节的。以上两条原因也在一定程度上将该方法限制在理论上的讨论，目前尚无应用方面的后续著述出现。1.4 本论文的研究内容第 1 章，综合阐述了混沌理论的发展历程，并对微弱信号的检测理论作了简单的介绍。第二章，介绍了混沌理论的基本概念以及将 Duffing 振子用于正弦信号的频率、相位、幅值检测的基本原理和方法。从 Duffing 振子的数学模型开始，进一步分析了Duffing 系统的有关问题。接着利用 Melnikov 方法，详细地推导出系统由混沌转变为周期的分叉值，从而为选择参考信号的幅值提供理论依据。第三章，构建了检测微弱信号的基本系统，并且在此基础上提出了利用振子阵列对信号进行频率扫描的方法，进一步完善了该检测理论。利用随机过程和周期系数线性微分方程的理论，对噪声经过 Duffing 系统后的统计特性分析，确定了此方法对噪声的抑制能力。针对实际中遇到的情况，对该方法的可行性做了仿真研究，并得到了一些具有实际意义的结论。通过将该方法与经典的信号检测方法做了一些对比，说明了该方法的优势所在。第四章，最后对该方法的应用前景以及有待开展的工作做了展望。2 混沌振子微弱信号检测2.1 Duffing 振子检测众所周知，能够产生奇异吸引子的动力学系统很多，比如著名的 Lorenz 方程，Rossler 方程，Duffing 方程等等，其中描述软弹簧振子弱阻尼运动的 Duffing 方程是非线性系统中研究得比较充分的数学模型,因此我们选用 Duffing 混沌振子来构建强噪声背景下的微弱信号检测系统。Holmes 型trtXtktXcos3Duffing 振子，具体形式如下：trtXtkt cos3(2-1)其中系数 k 为阻尼比， 为非线性恢复力， 为周期策动力，建立 tcsDuffing 混沌系统的模型如图 2-1 所示，为了说明其工作原理，取 为周期策tcos动力，即系统频率 。srad1 图 2-1 频率为 时的系统仿真仿真模型sdra1当 k 取某一固定值（通常取 0.5） ，随着 由零逐渐增大，系统状态出现有规律的变化：历经同宿轨迹，分岔轨迹、混沌轨迹、大尺度周期状态。Duffing 振子各个状态的时域波形及相平面轨迹如图 2-2图 2-7 所示。分析上述系统时域波形及相平面轨迹变化可知：1当 =0 时，系统相平面鞍点为（0，0） ，焦点为 (1 ,0)。点 ( x ,y)将最终停留在两焦点之一，如图 2-2 和图 2-3 所示。（a）时域波形 (b) 相平面轨迹 图 2-2 当 , 时的初始状态01,x （a）时域波形 （b）相平面轨迹图 2-3 当 , 时的初始状态01,x2 时，系统分阶段表现出复杂的动力学形态，具体又可分为以下几种情况。0较小时，相轨迹表现为 Poincare 映射意义下的吸引子，相点围绕焦点作周期振荡，逐渐增加到临界值 （ 的大小可由 Melnikov 法求出)时，随着 的增大，系统历c 经同宿轨道（如图 2-4） 、周期分叉（如图 2-5）直至达到混沌状态（如图 2-6） 。这一过程随着 的变化非常迅速， 在很长时间内，系统都将处于混沌运动状态。进一步增加超过阈值 ，系统以外加周期力的频率进行大尺度周期振荡（如图 2-7） 。此d时相轨迹将焦点、鞍点团团围住，其对应的庞加莱映射亦为不动点。（a）时域波形 （b）相平面轨迹图 2-4 当 时的同宿轨道状态srad1.2V,0 （a）时域波形 （b）相平面轨迹图 2-5 当 , 时的分叉状态V14.30srad（a）时域波形 （b）相平面轨迹图 2-6 当 , 时的混沌状态V9.60srad1（a）时域波形 （b）相平面轨迹图 2-7 当 , 时的大尺度周期状态V456173.0srad2.2 微弱正弦信号混沌检测原理从前一节对 Duffing 混沌振子随策动力幅值 变化其运动形式随之变化的规律分析，我们可以利用相轨迹由周期振荡到混沌运动或由混沌运动到周期振荡的显著变化来检测信号，而这种变化对策动力幅值的敏感性及对噪声的免疫力是其可以用来进行微弱信号检测的基础。本节主要研究在 MATLAB/Simulink 环境下对微弱正弦信号进行混沌检测的系统建模，其检测的原理图如图 2-8 所示。图 2-8 微弱正弦信号混沌检测原理图微弱正弦信号混沌检测原理：我们首先调节系统策动力幅值 ，取 ,使系d统处于从混沌状态向大尺度周期状态过渡的临界状态。当用小幅值的、与周期策动力频率相近的正弦信号以及白噪声对 Duffing 混沌振子进行摄动时，系统将从混沌运动状态进入大尺度周期运动状态，通过在计算机上观测混沌系统相轨迹变化，可知待检信号中是否含有所要检测的正弦信号。此时，我们只要继续调节策动力幅值 ，使得系统再一次处于混沌到大尺周期的临界状态，得到此时的策动力幅值 ，则可求得待d测信号的幅值为 。d-之所以选择系统从混沌运动状态进入大尺度周期运动的状态变化作为检测的临界点，主要是基于两点原因：一是因为从混沌状态进入大尺度周期运动时系统在相平面上的轨迹将产生很明显的变化，方便我们辨识系统的变化；另外一点是因为式（2-1）的动力学方程可以表示为：tXkYcos3 (2-2) 为了检测不同频率的周期信号，我们可以将 Duffing 方程进行尺度变换，令,改写成状态方程：t(2-3) tXkYcos3只需调整上式中的 值来适应外界的不同频率，从而实现对不同频率信号的检测。2.3 间歇混沌特性从上节微弱正弦信号混沌检测的研究中表明，应用这一原理进行微弱信号检测的前提是待检信号的频率与周期策动力的频率必须相同或是只有微小差别，这就把所能检测的信号的范围限制为只能是已知频率的微弱信号，大大降低了微弱信号混沌检测的工程应用意义。那么，是否能应用混沌理论来检测未知任意频率的信号呢?接下来两节我们将详细研究这个问题。通过对 Duffing 振子的研究表明，如果待检信号与策动力频率之间存在一个极微小的频率差，系统将会出现混沌状态和周期状态的间歇性混沌现象。间歇性混沌现象是在时间或空间上表现出的有序和无序交替出现的特殊动力学形态，是由于周期策动力幅值和微弱信号幅值的矢量和在临界值附近的消长而引起的。下面我们将从理论上推导间歇性混沌现象的原理。我们可以从式（2-1）Duffing 方程着手进行分析，在方程的右端策动力中加入待测信号，得式（2-4）： tAXtktX 3（2-4） aAa1cos （2-5）为周期策动力的幅值（等于或略小于相轨迹变化临界值 ） ， 表a dta1cos示外界待检测信号，a 为待测信号的幅值， 为其相位。由式（2-5）可以看出，为周期策动力幅值和微弱信号幅值的矢量和，由于频率差 的存在，总的策动tA力幅值 将在 和 之间不断变化。我们可以将总策动力表示成矢径合成taa的形式，如图 2-9 所示，可以更清楚的看出总策动力的消长规律。tttaAa1cos22 atta a a ( t ) a ( t )a 图 2-9 总策动力的矢径合成图间歇性混沌现象的原理：我们可以将策动力矢径看作静止，那么外界待测信号矢径将以 的频率极其缓慢地绕其旋转。当它们方向相同时，矢径合成的结果导致总策动力的幅值大于混沌到周期变化的临界值 d ，系统因此从混沌状态跃迁至周期状态；当它们方向相反时，矢径合成的结果使总策动力的幅值小于临界值 d ，系统因为激励不够而退化到以前的混沌状态，这样系统就会表现出时而混沌，时而周期的间歇性混沌现象。对总策动力 t进行数学变换得：(2-6)其中：(2-7)(2-8)对式（2-8）分析可以得出：trctgtaosin aa 2arcos2arcos- 1若 0，它表示此时待测信号的频率与策动力的频率正好相同。在这种情况下，当外界待测信号与策动力之间的相位差 满足： (2-9)就有 成立，可以推导出： ，则此时系统始终处于混沌状态。atdat则外界待测信号与策动力之间的相位差 在式（2-9）范围之外，系统才有可能发生从混沌状态到周期状态的跃迁。2若 0，在存在微小频率差的情况下， 将时而大于混沌周期临界值 t d而进入周期状态，时而小于 而进入混沌状态，因而呈现出特定的间歇性混沌现象。d在间歇性混沌中，当很小时， 变化非常缓慢，远远慢于相变过程，一般相变过程tA为 12 个周期，而 系统维持稳定周期状态和稳定混沌状态的时间是几十个周期，即系统对于策动力的缓慢变化能够很好的响应，因此周期状态和混沌状态出现是周期性的，其周期由式（2-7）易得：2T （2-10）图 2-10 所示为 Duffing 振子间歇性混沌现象的时域图，与图 2-11 的混沌状态时域图和图 2-12 的周期状态的时域图相对照来说，间歇性混沌现象是很容易辨识的，只要测出系统间歇混沌的周期 T，就可以由式（2-10）求出外界信号与策动力之间的频率差，从而实现微弱信号的频率测量。但是研究表明，当 03.时，有规律的间歇混沌现象就很难分辨出来，这主要是因为相平面变化的发生速度过快，系统很难保持较长时间的稳定周期或者混沌状态，这说明 Duffing 振子相变对于频率差比较大的周期干扰具有较强的免疫能力。3由于 ，所以 非常小，它的变化对于系统的作用很微小，可以忽略不at计。以上研究的是系统策动力的频率 1的情况，当 为任意频率时，可以参照式（2-3） ， X, Y都变为原来的 倍，表现为系统的相速度变为原来的 倍，由于经过的都是线性变换，因此两者的动力学特性，如系统的分岔值等，都保持不变。 图 2-10 Duffing 振子间歇性混沌现象图 2-11 Duffing 振子处于混沌状态 图 2-12 Duffing 振子处于周期状态从系统发生间歇性混沌现象时的图形可以看出，间歇性混沌现象周期段的幅值并不是平齐的，这种变化是由于合成矢径长短的变化引起的，并与之对应。间歇混沌周期段中振幅最大的时刻，就是策动力信号与外界待测信号相位相同的时刻。只要检测到振子进入稳定的间歇性混沌现象，从其进入周期段开始，对其幅值进行比较，当振幅增大到最大时，该时刻就是策动力与外界信号相位相同的时刻，从而能够实现锁相。2.4 振子阵列法检测信号频率由上一节对 Duffing 混沌振子的间歇混沌特性分析可知，当 Duffing 振子以小信号的周期摄动后可以出现十分明显的间歇性混沌现象，但以上所讨论的仅仅是对于基频信号而言，而且当 03.时，有规律的间歇混沌现象就很难分辨出来，为了使这种方法能测量更为广阔的频率范围，下面我们采用振子阵列的方法来进行并行检测。为了研究的方便起见，假设所加信号为单一频率的正弦信号。设想使用一有限的阵列，将阵列中振子的固有频率限制在 110 内，使之成为一公比为 1.03 的等比数列。此振子阵列有 78 个阵元组成，取 之738.90.1,.031,., 782 所以选择公比为 1.03 是基于以下的考虑：由于当待检信号和策动力的频率差03.时，很难观察到间歇性混沌现象，故而相邻两阵元 1,K的振子频率相差不能大于 。如果频率 在 110 之间的信号被输入到阵列中，那么在且仅在k两个相邻的振子上发生稳定的间歇混沌现象，假如为第 k 与第 k+1 个振子，而其他振子仍然处于混沌状态，所以外界信号频率 必定满足：2,01K通过测量两振子间歇混沌的周期可以精确地确定信号的频率。如果信号频率不在 110 之间，则必须对它进行预处理。我们可以以速度 来记录数据信号，然后以 的速度重放信号，重放信号与 n 在频率 110 之间是一一.3,210,0nv对应的，确定重放信号的频率后乘上 n10，就可以得到原信号的频率。其计算方法如下：假设你 第 20 号振子 和第 21 号振子 都发生了53.72006.821稳定的间歇混沌现象，间歇混沌的周期 1T、 2 分别为 376s 和 178s，因此得到频率差 ，最后计算出信号的频率为：HzHzT.0,167.0221。z.20 综上所述，该算法的先决条件是有且仅有两个振子发生稳定的间歇性混沌现象，其余仍处于完全混沌运动，由前一节研究可知， ，如果公比小于 1.03，那么3.就可能有多于两个振子发生间歇混沌现象，如果公比大于 1.03，那么可能少于两个振子发生间歇性混沌现象，因此将该振子阵列公比设定为 1.03，进而确定所需振子数目。2.5 相位参数检测当待测信号的频率和内置信号的频率一致的时候，尽管待测信号的幅值较大，加到处于混沌状态的 Duffing 系统中也并不一定能使系统发生到大尺度周期状态的相变。这是因为根据式(2-7)、 （2-8）结论 1，待测信号和内置信号的相位差必须满足一定的关系才能发生相变，因此可以通过检测系统对同频信号的响应状态（即是否发生相变）来确定信号的相位范围。下面介绍的检测正弦信号相位的方法称为三分法。调节 Duffing 系统的内置信号使其频率与待测信号一致（待测信号的频率已知或者通过测频得到） ，并且调节其幅值使得系统处于从混沌向大尺度周期过渡的临界状态，此时只要所加入的待测信号的相位与内置信号的相位满足式(2-7)、 （2-8）的关系，那么即使信号的幅值很小甚至混有很强的噪声，系统也会发生进入大尺度周期状态的相变；反之如果相位关系不满足，即使信号的幅值较大也不能使系统发生相变。由前面式(2-7)、 （2-8）的结论 1 可以看出，不能够使系统产生相变的相位差 区间范围为 ，略小于 （ 时根据该公式计算远大于aa2arcos2arcos-a） ，其余的区间可以产生相变。32下面用图解的方法进行说明。将待测信号和内置信号的相位差圆周三等分。根据前面的结论，则在三个区间中必然存在且唯一存在一个区间在该区间中，系统对待测同频信号的响应与其它两个区间的情形相反，并且在任两个响应相反的区间中必然存在一个临界点，该点的相位就是待测信号能够使系统发生相变的相位条件的边界。设法找到该临界点，就可以检测出待测信号的相位。图 2-13 给出了该方法的示意图。临界点临界点混沌区（a）混沌区间 （b）三分圆周法图 2-13 三分法检测相位根据以上示意图，将待测信号复制为三组，每组按照三分相位进行移相后分别送入 Duffing 系统，再根据系统的响应将其中两组响应相同的信号分别和另一组信号分成两组，然后对这两组信号分别再按照二分搜索法进行移相，送入 Duffing 系统找到各自对应的临界点。那么在相位差圆周上这两个临界点对应的优弧的中点就是待测信号与内置信号的同相点（劣弧的中点对应反相点） 。到此信号的相位就可以确定了。应用该方法检测相位的流程图如图 2-14 所示。 设定参数 ， 初始化 D u f f i n g 系统将采集的信号分成三组 ， 并移相将每组信号送入 D u f f i n g 系统 ， 判断系统响应做完三组按系统的响应再分成两组对每组信号求其临界相位做完两组由两个临界点求出同相点确定信号相位YYNN图 2-14 三分法求相位的流程