椭圆的两个不变量在解题中的应用

椭圆的两个不变量在解题中的应用 圆锥曲线中椭圆算是在考试中出现频率最高的圆锥曲线 而关于椭圆本身存在很多的 不变量 下面我们来讨论椭圆的两个比较有趣的不变量 而且计算该不变量的方法以及不 变量本身都在题目相当的实用 不变量 设椭圆方程为 在椭圆上有两个动点 为坐标 22 22 1 xy ab 0 ab ABO 原点 且满足 则为定值 并且原点到直线的距离也是定0OA OB 22 11 OAOB AB 值 证明 设 因为 不妨设向量逆时针旋转 90 度到向量这AOx 0OA OB OA OB 样的话我们有 设 则 的坐标分别是 2 BOx 1 OAr 2 OBr AB 在椭圆上将坐标代入 11 cos sin Arr 22 22 cos sin Brr AB 方程可得 即 2222 22 11 cossin 1 ab rr 2222 22 22 22 cos sin 1 ab rr 变形得 2222 22 11 cossin 1 ab rr 2222 22 22 sincos 1 ab rr 两式相加得 定值 22 222 1 cossin1 abr 22 222 2 sincos1 abr 2222 12 1111 abrr 原点到直线的距离 根据可知 AB 1 2 22 12 r rr r 2222 12 1111 abrr 2222 2222 12 12 rab ra b r r 即 两边开方得 定值 2222 2222 12 12 ra b rab r r 2222 1 2 12 ra rab rb r 其实这两个不变量可以看做是一个不变量 下面我们就来看看这两个不变量在解题中 的精彩应用 题目一 2010 陕西卷 如图 椭圆的顶点为 22 22 1 xy C ab 焦点为 1212 A A B B 12 F F 11 7AB 1 1 2 21 1 22 2 B F B FA B A B SS AA 求椭圆 C 的方程 设 n 是过原点的直线 是与 n 垂直相交于 F 点 与椭圆相交于 A B 两点的直线 l 1 是否存在上述直线 使成立 若存在 求出直线 的方程 若不OP l1AP PB l 存在 请说明理由 解 I 由知 11 7AB 22 7ab 由知 a 2c 1 1 2 21 1 22 2 B F B FA B A B SS AA 又 222 bac 由 解得 22 4 3ab 故椭圆 C 的方程为 22 1 43 xy II 假设这样的直线存在 根据 1 可得OP 1AP PB 这样由前面的 不变量 可知道 1 10OA OBOPPAOPPB 因此假设不成立 22 2 3 1 7 a OP ab b 题目二 设椭圆方程为 在椭圆上有两个动点 为坐标 22 22 1 xy ab 0 ab ABO 原点 且满足 过点作直线的垂线 交于点 求点0OA OB OABABP 的轨迹 P 解 这个题目我们当然可以设直线方程然后解交点 这样不免麻烦而且计算量大不 划算 当我们掌握了上述的两个不变量后 我们很容易知道是 22 a OP ab b 一个定长 很自然的点的轨迹就是圆 P 22 22 22 a xy ab b 题目三 椭圆 的左 右焦点分别为是椭圆上的一点 22 22 1 xy ab 0 ab 12 F FA 原点到直线的距离为 212 AFFF O 1 AF 1 1 3 OF 1 证明 2ab 2 求使下面命题成立 设圆上任意点 0 tb 222 xyt 处的切线交椭圆于 两点则 00 M xy 1 Q 2 Q 12 OQOQ 解 1 因为原点到直线的距离为 则 不妨设O 1 AF 1 1 3 OF 1 1 sin 3 AFO 因为 故 即 2 AFm 1 1 sin 3 AFO 1 3AFm 12 2 2FFm 2am 很容易知 即2cm 2bm 2ab 2 第二问看起来是相当的复杂 其实质就是题目二中点的轨迹问题 说穿P 了就是 不变量 就是我们需要的结果 22 a t ab b 题目四 已知椭圆的中心在原点 焦点在上 直线与椭圆交于 Ox330 xy A 两点 B2AB 2 AOB 1 求椭圆的方程 2 若 是椭圆上两点满足 求的最小值 MN0OM ON MN 解 1 第一问基本方法联立直线与椭圆根据 建立等式 可求2AB 2 AOB 得椭圆的方程为 2 2 1 3 x y 2 设 根据 不变量 我们可知 1 OMr 2 ONr 2222 12 1111 abrr 4 3 则 立马可知 这样可知 22 2222 12 121 2 44 332 r rr r rr 22 12 3rr 的最小值为 MN3 注 掌握这两个 不变量