面面垂直的判定习题详细答案ppt课件.ppt

平面与平面垂直的判定 1 理解二面角 面面垂直的概念 2 掌握二面角的平面角 面面垂直的判定定理 3 能够利用面面垂直的判定定理判断或证明有关面面垂直的问题 1 本课重点是面面垂直的判定定理以及应用 2 本课难点是二面角的概念的理解以及求法 1 二面角 1 定义 从一条直线出发的 所组成的图形 2 相关概念 这条直线叫二面角的 两个半平面叫二面角的 两个半平面 棱 面 3 画法 4 记法 二面角 或 或 l P AB Q P l Q 5 二面角的平面角 则二面角 l 的平面角是 6 范围 AOB 0 二面角 180 2 两个平面互相垂直 1 定义 两个相交平面 所成的二面角是 2 画法 通常把直立平面的竖边画成与水平面的 3 记作 直二面角 横边垂直 平面 平面 3 两平面垂直的判定定理 1 自然语言条件 一个平面过另一个平面的 结论 两平面 垂线 垂直 2 图形语言 3 符号语言 1 剖析二面角 1 二面角的平面角可以度量二面角的大小 二面角的平面角是多少度 就说这个二面角是多少度 约定二面角的取值范围是 0 平面角是直角的二面角叫做直二面角 2 构成二面角的平面角的三要素 角的顶点在二面角的棱上 角的两边分别在表示二面角的两个半平面内 角的两边分别和二面角的棱垂直 2 对面面垂直的判定定理的理解 1 该定理可简记为 线面垂直 则面面垂直 2 定理的关键词是 过另一面的垂线 所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线 3 线 面之间的垂直关系存在如下转化特征 线线垂直 线面垂直 面面垂直 这体现了立体几何问题求解的转化思想 应用时要灵活把握 面面垂直的判定与证明 技法点拨 证明面面垂直的方法 1 定义法 即说明两个半平面所成的二面角是直二面角 2 判定定理法 在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直 即把问题转化为 线面垂直 3 性质法 两个平行平面中的一个垂直于第三个平面 则另一个也垂直于此平面 典例训练 1 2012 新课标全国高考 如图 三棱柱ABC A1B1C1中 侧棱垂直底面 ACB 90 AC BC AA1 D是棱AA1的中点 1 证明 平面BDC1 平面BDC 2 平面BDC1分此棱柱为两部分 求这两部分体积的比 2 如图所示 已知 BSC 90 BSA CSA 60 又SA SB SC 求证 平面ABC 平面SBC 解析 1 1 由题设知BC CC1 BC AC CC1 AC C 所以BC 平面ACC1A1 又DC1 平面ACC1A1 所以DC1 BC 由题设知 A1DC1 ADC 45 所以 CDC1 90 即DC1 DC 又DC BC C 所以DC1 平面BDC 又DC1 平面BDC1 故平面BDC1 平面BDC 2 设棱锥B DACC1的体积为V1 AC 1 由题意得V1 又三棱柱ABC A1B1C1的体积V 1 所以 V V1 V1 1 1 故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1 1 2 方法一 利用定义证明 BSA CSA 60 SA SB SC ASB和 ASC是等边三角形 则有SA SB SC AB AC 令其值为a 则 ABC和 SBC为共底边BC的等腰三角形 取BC的中点D 如图所示 连接AD SD 则AD BC SD BC ADS为二面角A BC S的平面角 在Rt BSC中 SB SC a SD BD 在Rt ABD中 AD 在 ADS中 SD2 AD2 SA2 ADS 90 即二面角A BC S为直二面角 故平面ABC 平面SBC 方法二 利用判定定理 SA SB SC 且 BSA CSA 60 SA AB AC 点A在平面SBC上的射影为 SBC的外心 SBC为直角三角形 点A在 SBC上的射影D为斜边BC的中点 AD 平面SBC 又 AD 平面ABC 平面ABC 平面SBC 变式训练 如图 在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD中 AD BC ABC 90 PA 平面ABCD AC BD E AD 2 AB 2 BC 6 求证 平面PBD 平面PAC 解题指导 条件中给出了线面垂直及底面梯形的形状 证明本题的突破口是设法在其中一个平面内找一条直线垂直于另外一个平面 证明 PA 平面ABCD BD 平面ABCD BD PA 又tan ABD tan BAC ABD 30 BAC 60 AEB 90 即BD AC 又PA AC A BD 平面PAC BD 平面PBD 所以平面PBD 平面PAC 规范解答 线面垂直的综合应用 典例 12分 如图所示 已知三棱锥P ABC ACB 90 CB 4 AB 20 D为AB的中点 且 PDB是正三角形 PA PC 1 求证 平面PAC 平面ABC 2 求二面角D AP C的正弦值 3 若M为PB的中点 求三棱锥M BCD的体积 解题指导 规范解答 1 D是AB的中点 PDB是正三角形 AB 20 PD AB 10 AP PB 又AP PC PB PC P AP 平面PBC 2分又BC 平面PBC AP BC 又AC BC AP AC A BC 平面PAC 又BC 平面ABC 平面PAC 平面ABC 4分 2 PA PC 且PA PB BPC是二面角D AP C的平面角 由 1 知BC 平面PAC 则BC PC sin BPC 8分 3 D为AB的中点 M为PB的中点 DMPA 且DM 由 1 知PA 平面PBC DM 平面PBC S BCM S PBC VM BCD VD BCM 12分 规范训练 12分 在如图所示的几何体中 四边形ABCD是正方形 MA 平面ABCD PD MA E G F分别为MB PB PC的中点 且AD PD 2MA 1 求证 平面EFG 平面PDC 2 求三棱锥P MAB与四棱锥P ABCD的体积之比 解题设问 1 在证明 1 中 可先证明BC垂直于哪一个平面 BC 2 求解三棱锥P MAB的体积的关键是什么 由PD MA可将距离转化为点 到平面MAB的距离 平面PDC 关键是求点 P到平面MAB的距离 D 规范答题 1 由已知MA 平面ABCD PD MA 所以PD 平面ABCD 又BC 平面ABCD 所以PD BC 2分因为四边形ABCD为正方形 所以BC DC 又PD DC D 因此BC 平面PDC 4分在 PBC中 因为G F分别为PB PC的中点 所以GF BC 因此GF 平面PDC 又GF 平面EFG 所以平面EFG 平面PDC 6分 2 因为PD 平面ABCD 四边形ABCD为正方形 不妨设MA 1 则PD AD 2 所以VP ABCD S正方形ABCD PD 8分由于DA 平面MAB 且PD MA 所以DA的长即为点P到平面MAB的距离 三棱锥VP MAB 10分所以VP MAB VP ABCD 1 4 12分 1 对于直线m n和平面 能得出 的一个条件是 A m n m n B m n m n C m n n m D m n m n 2 过空间一点的三条直线两两垂直 则由它们确定的平面中互相垂直的有 A 0对 B 1对 C 2对 D 3对 2 过空间一点的三条直线两两垂直 则由它们确定的平面中互相垂直的有 A 0对 B 1对 C 2对 D 3对1 解析 选C m n n 则m 又m 所以 2 解析 选D 三条直线两两垂直 其中任何一条直线都垂直于另两条直线确定的平面 从而过此直线的两个平面垂直于另两条直线确定的平面 如墙角 3 m n是互不垂直的异面直线 平面 分别过m n 则下列关系中 不可能成立的是 A n B C m D 3 m n是互不垂直的异面直线 平面 分别过m n 则下列关系中 不可能成立的是 A n B C m D 解析 选C m 时 n 则m n互相垂直 与已知条件矛盾 所以m 不可能成立 5 如图所示 在Rt AOB中 ABO 斜边AB 4 Rt AOC可以通过Rt AOB以直线AO为轴旋转得到 且