2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷3)四川文科数学试题解析.doc

精品文档2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、 选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合A=x|x-10,B=0,1,2，则AB=（ ）A.0 B.1 C.1,2 D. 0,1,2考点：集合、交集、一次不等式，双考点。解析：由A集得x1，所以AB=1,2。故选C。2. 1+i(2-i)=（ ）A -3-i B.-3+i C.3-i D.3+i考点：复数的乘法，单考点。解析：(1+i)2-i=2-i+2i-i2=2+i-1=3+i。选D。3. 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头。若如图摆放的木构件与某一卯眼咬合成长方体，则咬合时带卯眼的俯视图可以是（ ）考点：三视图，单考点。解析：B中被遮部分应该是虚线，排除。C榫眼位置应该靠中，排除。与B相同及缺口上端是实体，应为实线，排除。选A.4. 若sin=13，则cos2=( )A. 89 B. 79 C.-79 D.-89考点：三角变换，余弦倍角公式，单考点解析：sin=13cos2=1-2sin2=1-2(13)2=79。选B。5. 若某群里中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付又用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7考点：概率，互斥事件的概率，加法公式，单考点。A只用现金支付易错：容易把“既用现金支付又用非现金支付”作为两个事件“现金支付”和“非现金支付”的交集，实际是三个互斥事件。C既用现金支付又用非现金支付图示分析：解析：三个事件A、B、C互斥B不用现金支付PABC=PA+PB+P(C)1=0.45+P(B)+0.15P(B)=0.4，选B。6. 函数fx=tanx1+tan2x的最小正周期是（ ）A. 4 B. 2 C. D.2考点：同角三角函数关系、三角函数图像、周期性，多考点。入题：化切为弦、割解析：【法1】fx=tanx1+tan2x=sinxcosx1+(sinxcosx)2=sinxcosx=12sin2x最小正周期为选C【法2】fx=tanx1+tan2x=sinxcosxsec2x=sinxcosxcos2x=sinxcosx=12sin2x最小正周期为选C7. 下列函数中，其图像与函数y=lnx的图像关于直线x=1对称的是 （ ）A. y=ln(1-x) B. y=ln(2-x) C. y=ln(1+x) D. y=ln(2+x)考点：对数函数、函数性质（对称性）入题：【法1】在函数定义域内，考查关于x=1对称的两个x值对应的函数值是否相等即可。解析：取关于x=1对称的x值x=12和x=32对于原函数，当x=12时，y=lnx=ln12=-ln2，对于备选函数，当x=32，备选项中B选项函数y=ln2-x=ln12=-ln2，符合。选B。【法2】原函数过（1,0）点，该点关于x=1的对称点是本身。而备选项中仅有B选项函数过此点，故选B8. 直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x-2)2+y2=2上，则ABP面积的取值范围是（ ）A.2,6 B.4,8 C.2,32 D. 22,32考点：直线、圆、三角形面积、最值，多考点。入题：法1：设P点普通坐标，求P到AB的距离、AB长度，表示面积求取值范围；法2：用参数表示P点，按法1求面积，求取值范围。法3：数形结合，过圆心做AB垂线，得直径，利用的最远端和最近端到AB距离求取值范围；法4：数形结合，作AB的平行线系，求与圆相切的直线，得远端和近端切线，利用他们与AB的距离求面积，得取值范围。解析：【法3】圆心C（2,0），半径r=2，C到AB的距离d=2+0+212+12=22P到AB的最近距离m=22-2=2，最远距离n=22+2=32A，B点坐标A（-2,0）、B（0，-2），|AB|=22 12ABmSPAB12ABn取值范围最小值12ABm=12222=2，最大值为 12ABn=122232=6选A【法4】设与AB平行的圆的切线为x+y+c=0,由圆心（2,0），圆半径r=2得，2=2+0+c2，解得c=0或-4，切线与AB的距离为m=2-02=2，n=2+42=32A，B点的坐标A（-2,0）、B（0，-2），|AB|=22 12ABmSPAB12ABn取值范围最小值12ABm=12222=2，最大值为 12ABn=122232=6选A9. 函数y=-x4+x2+2的大致图像为（ ）考点：函数图像、函数性质（奇偶性、单调性），多考点。入题：【法1】换元化为二次函数判断；【法2】求导，用导函数性质分析判断。解析：【法1】令t=x2则y=-(t-12)2+94当t=12，即x=22时，y有最大值94，两个最大值点。故选D【法2】y=-x4+x2+2y=-4x3+2x其零点是0，22，因此选B或D再根据原函数首项系数为负，偶次函数，开口应该向下，故选D。【或者:f0=20，故选D；或x(0,22)时，f 12=120，即y在(0,22)上是增函数，x(-22,0)时，f -12=-120,b0）的离心率为2，则点（4,0）到C的渐近线的距离为（ ）A. 2 B. 2 C. 322 D. 22考点：圆锥曲线，双曲线，单考点。入题：离心率与渐近线斜率的转换。解析：k=ba=b2a2=c2-a2a2=e2-1=1渐近线为y=x距离d=422=22选D11. ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ABC的面积为a2+b2-c24，则C=（ ）A. 2 B. 3 C.4 D. 6考点：解三角形，余弦定理，同角三角函数关系，面积，多考点。入题：【法1】用面积公式建立联系,用平方关系、余弦定理转换。【法2】根据面积条件数字特征，构造转化为余弦式，再用面积公式建立正余弦关系，加上平方关系解题。解析：【法1】由S=12absinC 得(a2+b2-c24)2=14a2b2sin2C=14a2b2(1-cos2C)(a2+b2-c2)2=4a2b21-a2+b2-c22ab2化简得(a2+b2-c2)2=2a2b2cosC=22故C=4【法2】由S=a2+b2-c24=12aba2+b2-c22ab=12abcosC 12absinC=12abcosC 即sinC=cosC 故在三角形中有C=412. 设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D-ABC体积的最大值为（ ）A. 123 B. 183 C. 243 D. 543考点：立体几何，球，棱锥体积，三角形性质，多考点。入题：用面积条件求ABC边长、中线长，计算D到ABC的最大距离（在垂直于面ABC的直径上）解析：如图，由条件正ABC面积为93，得边长为a=6，故中线CF=33，CE=23CF=23球半径OC=OD=4，当D点在垂直于面ABC的球直径上时，三棱锥D-ABC体积最大。由OE=OC2-CE2=42-(23)2=2DE=OD+OE=4+2=6三棱锥体积最大值VD-ABC=13SABCDE=13936=183，选B。二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量a=(1,2)， b=2,-2， c=(1,)，c(2a+b)，则= 。考点：向量，向量坐标，平行向量，向量加法，多考点。入题：向量平行，坐标成比例。解析：2a+b=21+2,22-2=4,2且c=(1,)，c(2a+b) 14=2, =12。14.某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，为了了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最适合的抽样方法是 。考点：统计，抽样方法，单考点。解析：因不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，故选择：分层抽样。15.若变量x，y满足的约束条件2x+y+30x-2y+40x-20 ，则z=x+13y的最大值是 。考点：线性规划，单考点。解析：画可行域，画目标函数（绿色），显然，x-2y+4=0与x-2=0的交点是最大值点。交点为（2,3）所以，z的最大值为z=2+133=316.已知函数fx=ln1+x2-x+1，fa=4，则f-a= 。考点：函数性质，奇偶性判断，函数值概念，根式有理化，多考点。解析：【法1】设gx=ln1+x2-xg-x=ln1+x2+x=ln11+x2-x=-ln1+x2-x=-gx即gx是奇函数fx=gx+1f-x=g-x=-gx+1=-gx+1+2=-fx+2f-a=-fa+2=-4+2=-2【法2】fx+f-x=ln1+x2-x+1+ln1+x2+x+1=ln1+x2-x1+x2+x+2=ln1+x2-x2+2=2f-a=2-fa=2-4=-2三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）等比数列an中，a1=1，a5=4a3。（1）求an的通项公式；（2）记Sn为an的前n项和，若Sm=63，求m。考点：等比数列，通项公式、前n项和。解析：（1）设公比为q，由题意q4=4q2解得q=2或q=-2通项公式为：an=2n-1或an=(-2)n-1（2）Sm=631-qm1-q=63 q=2时，1-2m=-63 2m=64，m=6q=-2时，1-(-2)m=363 (-2)m=-1881） 若m为偶数，上式显然无解。2） 若m为奇数，上式变为2m=188，无整数解。综上，所求m=618.（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式，为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制如下茎叶图：第一种生产方式第二种生产方式8675 5 6 8 99 7 6 20 1 2 2 3 4 5 6 6 89 8 7 7 6 5 4 3 3 281 4 4 52 1 1 0 090（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？P(K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附：K2=n(ad-bc)2a+bc+da+c(b+d)，考点：统计，效率比较，列联表分析，卡方统计量，综合考点。解析：（1）两组数据共40个，从茎叶图看第20个数是79.第21个数是81，40个数的中位数是79+812=80第一组数据，大部分（15个）分布在80以上，第二组数据，大部分（15个）分布在80以下，各组剩余的5个数也基本关于中位数80成对称分布状态。6069段7079段8089段9099一组1个4个10个5个二组5个10个4个1个即第一组的平均生产时间可能大于中位数80，第二组的平均生产时间可能小于中位数80，事实上： E1=68+704+9+7+6+2+8010+9+8+7+7+6+5+4+3+3+2+905+2+1+1+0+020=84及E2=605+5+5+6+8+9+7010+0+1+2+2+3+4+5+6+6+8+804+1+4+4+5+9020=74.7因此可以判断，第二组的生产效率高。（2）超过m不超过m第一种生产方式155第二种生产方式515 （3）有（2）表a=15,b=5;c=5,d=15.K2=n(ad-bc)2a+bc+da+c(b+d)=40(1515-55)220202020=10k=6.635取PK26.6350.010 ，因此有99%把握认为两种方式的效率有差异。19.（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是弧CD上异于C，D的点。（1）证明：平面AMD平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC平面PBD?说明理由。考点：立体几何，线、面位置关系判定与性质，二面角，证明与计算，综合考点。入题：（1）面面垂直判定，半圆上直径所对角为直角，正方形邻边垂直。（2）注意正方形中心Q，若P位于AM中点处，根据中位线性质PQMC，则MC面PBD。解析：（1）M在半圆弧CD上，CD是直径MCMDABCD是正方形，ADCD 面ABCD半圆面， CD是交线面内线AD半圆面MC半圆面ADMC， 由知MC面AMD又MC面BMC,故 面BMC面AMD.（2）线段AM上存在点P（AM中点），使得MC面PBD。证：分别作AC、AM中点Q、P，连接PQ。根据三角形中位线性质，在ACM中有PQMC。ABCD是正方形，Q是BD中点，即PQ在面PBD上。MC面PBD。 20.（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：x24+y23=1，交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)（m0）（1）证明：k0),设AB坐标，代入椭圆方程、中点坐标公式、斜率公式得到k、m的关系，再用中点横坐标1代入椭圆方程求对应纵坐标值，得到中点纵坐标m的范围，最后用不等式性质求k值范围。（2）利用向量条件和（1）中结论求向量FP（含参数m）,再转换为P点坐标形式代入椭圆方程求m值，进而求出P点、k值和AB方程，联立直线与椭圆方程组，得根系关系，用焦半径和距离公式证明等式。解析：（1）设椭圆C上的点Ax1,y1,Bx2,y2,AB的中点是M(1,m)(m0)则k=y2-y1x2-x1 x1+x2=2 y1+y2=2mx124+y123=1 x224+y223=1 用-得k=y2-y1x2-x1=-34m() AB中点M(1，m) (m0)在椭圆内124+m231解得0m0)满足：0m32231m+-34m-12即k1,gx0恒成立gx在(-,+)上单调递增存在唯一的x0-,+,使得gx=0，即gx0=0有唯一解。即ex0+1+ 2ax0+1=0有唯一解 ex0+1=-2ax0-1gx在-,x0上单调递减，在x0,+上单调递增。gxgx0又gx0=ex0+1+ ax02+x0-1 =-2ax0-1+ ax02+x0-1 = ax02+(1-2a)x0-2 =ax0+1(x0-2)而g-1a=e-1a+1+ 2a-1a+1=e-1a+1-1a1,0e-1a+1-1e-1，即0g-1a1时，fx+e0（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做，则按第一题计分。22.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy中，O的参数方程x=cosy=sin(为参数），过点0,-2且倾斜角为的