数学培优竞赛新方法(九年级)-第1讲 追问求根公式

第一第一讲讲 追追问问求根公式求根公式 正确的看法是 数学不仅拥有真 而且拥有非凡的美 一种像雕塑那样冷峻而朴素的没 一种无须 我们柔弱的天性感知的美 一种不具有绘画和音乐那样富丽堂皇的装饰的美 然而又是极其纯净的美 是 唯有最伟大的艺术才具有的严格的完美 知知识纵识纵横横 形如 的方程叫一元二次方程 配方法 公式法 因式分解法是解一元二次方程的0 2 cbxax0 a 基本方法 而公式法是解一元二次方程的最普遍 最具有一般性的方法 求根公式内涵丰富 它包含了初中阶段已学过的全部代数运算 它回答了一元二 a acbb x 2 4 2 2 1 次方程的诸如怎样求实根 实根的个数 何时有实根等基本问题 它展示了数学的简洁美 降次转化是解方程的基本思想 有些条件中含有 或可转化为 一元二次方程相关的问题 直接求解可 能给解题带来许多不便 往往不是去解这个二次方程 而是对方程进行适当的变形来代换 从而使问题易 于解决 解题时常用到变形降次 整体代入 构造零值多项式等技巧与方法 例例题题求解求解 例例 1 1 方程的解为 0120112010 2 xx 2011 年广东中考题 2 设是整数 方程的一根是 则的值是 b a0 2 baxx324 ba 四川省竞赛题 思路点思路点拨拨 对于 1 由知原方程必有一根为 1 即有因式 故可用因式分解法解 0120112010 1 x 对于 2 把代入原方程 建立关系式 13324 13 b a 例例 2 已知 那么 013 2 aa 2 2 1 9 294 a aa A 3 B 5 C D 5356 五羊杯 邀请赛试题 思路点思路点拨拨 求出 a 的值再代入计算 则计算繁难 解题的关键是利用根的定义及变形 使多项式降次 如 等 aaaa31 13 22 例例 3 设方程求满足该方程的所有根之和 0412 2 xx 重庆市竞赛题 思路点思路点拨拨 通过讨论 脱去绝对值符号 有时也用到绝对值性质 如 把绝对值方程转化为 2 2 2 xxx 一般的一元方程求解 例例 4 如图 已知点是直线与双曲线的交点 AOB 的面积为 求直 4 1 A 2 15 线 AB 的解析式 十堰市中考题 思路点思路点拨拨 设直线 AB 解析式为则 解题的关键是由 S AOB建立关于 a 的一元 baxy 4 ba 2 15 二次方程 例例 5 已知 a 是正整数 如果关于 x 的方程的根都是整数 求 a 的值 056 38 17 23 xaxax 及方程的整数根 全国初中数学联赛 例例 6 已知三个不同的实数满足 方程有一个相cba 3 cba0 x01 22 cbxaxx 同的实根 方程也有一个相同的实根 求的值 0 x0 22 bcxaxx cba 2011 年全国初中数学竞赛题 学力学力训练训练 基基础础夯夯实实 1 若是方程的解 则 0 x0823 2 22 mmxxm m 荆州市中考题 2 方程的两个根是等腰三角形的底和腰 则这个三角形的周长为 0189 2 xx 青岛市中考题 3 关于的方程的解是 则方程x0 2 bmxa0 abm 1 2 21 axx 的解是 0 2 2 bmxa 2011 年兰州市中考题 4 若使分式的值为 0 则的取值为 1 32 2 2 x xx x A 1 或 1 B 3 或 1 C 3 D 3 或 1 芜湖市中考题 5 若关于的一元二次方程的常数项为 0 则的值为 x0235 1 22 mmxxmm A 1 B 2 C 1 或 2 D 0 山东省中考题 6 2005 浙江 根据下列表格的对应值 判断方程 ax2 bx c 0 a 0 a b c 为常数 一个解的范围是 A B C D 23 33 x24 3 23 3 x25 3 24 3 x26 3 25 3 x 浙江省中考题 7 先化简 再求值 其中满足 12 2 1 21 2 2 xx xx x x x x x01 2 xx 2011 年重庆市中考题 8 已知 为方程的两实根 求代数式的值 1 x 2 x013 2 xx208 2 3 1 xx 芜湖市中考题 9 是否存在某个实数 使得方程有且只有一个公共的实根 如果存m02x013 22 mxxx 在 求这个实数及两方程的公共实根 如果不存在 请说明理由 m x3 233 243 253 26 ax2 bx c 0 06 0 020 030 09 能力拓展能力拓展 10 设方程的较大根为 方程01200120032002 22 xxr 的较小根为 则的值为 0120022001 2 xxssr 11 已知 是方程的两个根 是方程的两个根 则 ab04 2 mxxbc058 2 mxx m 山东省竞赛题 12 设方程的两根为 则方程的两根为 0 xbxaxcd0 xdxcx 2011 年四川省竞赛题 13 已知 是方程的两个实数根 则的值为 ab0232 2 xx ba ab A 1 B 1 C D 3 2 3 2 太原市竞赛题 14 已知三个关于的一元二次方程恰有一个公共实x0 0 0 222 baxcxacxbxcbxax 数根 则的值为 ab c ca b bc a 222 A 0 B 1 C 2 D 3 全国初中数学竞赛题 15 方程的解的个数为 2 324 1 2 xx A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2011 全国初中数学联赛题 16 已知方程的两根也是方程的根 求的值 013 2 xx0 24 cbxaxxcba2 全国初中数学联赛题 17 已知 如图 ABC 是边长 3cm 的等边三角形 动点 P Q 同时从 A B 两点出发 分别沿 AB BC 方向 匀速移动 它们的速度都是 1cm s 当点 P 到达点 B 时 P Q 两点停止运动 设点 P 的运动时间为 t s 解 答下列问题 1 当 t 为何值时 PBQ 是直角三角形 2 设四边形 APQC 的面积为 y cm2 求 y 与 t 的关系式 是否存在某一时刻 t 使四边形 APQC 的面积是 ABC 面积的三分之二 如果存在 求出相应的 t 值 不存在 说明理由 3 设 PQ 的长为 x cm 试确定 y 与 x 之间的关系式 青岛市中考题 18 设是方程的根 求的值a0 4 1 2 xx 2345 3 1 aaaa a 太原市竞赛题 19 若关于的方程的各根为整