高中数学公式大全

1 高中数学高中数学公式公式 1 元素与集合的关系元素与集合的关系 U xAxC A U xC AxA 2 2 德摩根公式德摩根公式 UUUUUU CABC AC B CABC AC B 3 3 包含关系包含关系 ABAABB UU ABC BC A U AC B U C ABR 4 4 容斥原理容斥原理 card ABcardAcardBcard AB card ABCcardAcardBcardCcard AB card ABcard BCcard CAcard ABC 5 5 集合集合 12 n a aa 的子集个数共有的子集个数共有2n 个个 真子集有真子集有2n 1 1 个个 非空子集有非空子集有2n 1 1 个个 非空的真子集非空的真子集 有有2n 2 2 个个 6 6 二次函数的解析式的三种形式二次函数的解析式的三种形式 1 1 一般式一般式 2 0 f xaxbxc a 2 2 顶点式顶点式 2 0 f xa xhk a 3 3 零点式零点式 12 0 f xa xxxxa 7 解连不等式解连不等式 Nf xM 常有以下转化形式常有以下转化形式 Nf xM 0f xMf xN 22 MNMN f x 0 f xN Mf x 11 f xNMN 8 8 方程方程0 xf在在 21 kk上有且只有一个实根上有且只有一个实根 与与0 21 kfkf不等价不等价 前者是后前者是后者的一个必要而不是者的一个必要而不是 充分条件充分条件 特别地特别地 方程方程 0 0 2 acbxax有且只有一个实根在有且只有一个实根在 21 kk内内 等价于等价于0 21 kfkf 或或 0 1 kf且且 22 21 1 kk a b k 或或0 2 kf且且 2 21 22 k a bkk 9 9 闭区间上的二次函数的最值闭区间上的二次函数的最值 二次函数二次函数 0 2 acbxaxxf在闭区间在闭区间 qp 上的最值只能在上的最值只能在 a b x 2 处及区间的两端点处取得处及区间的两端点处取得 具具 体如下体如下 1 1 当当 a 0a 0 时时 若若 qp a b x 2 则则 minmaxmax 2 b f xff xf pf q a qp a b x 2 maxmax f xf pf q minmin f xf pf q 2 2 当当a a0a 0 1 1 axfxf 则则 xf的周期的周期 T T a a 2 2 0 axfxf 或或 0 1 xf xf axf 或或 1 f x a f x 0 f x 或或 2 1 0 1 2 f xfxf xaf x 则则 xf的周期的周期 T T 2a2a 3 3 0 1 1 xf axf xf 则则 xf的周期的周期 T 3T 3a a 4 4 1 21 21 21 xfxf xfxf xxf 且且 1212 1 1 0 2 f af xf xxxa 则则 xf的周期的周期 T 4T 4a a 5 5 2 3 4 f xf x af xa f xaf xa 2 3 4 f x f x a f xa f xa f xa 则则 xf的周期的周期 T 5T 5a a 6 6 axfxfaxf 则则 xf的周期的周期 T 6T 6a a 3030 分数指数幂分数指数幂 1 1 1 m n nm a a 0 am nN 且且1n 2 2 1 m n m n a a 0 am nN 且且1n 3131 根式的性质根式的性质 1 1 n n aa 2 2 当当n为奇数时为奇数时 nn aa 5 当当n为偶数时为偶数时 0 0 nn a a aa a a 3232 有理指数幂的运算性质有理指数幂的运算性质 1 1 0 rsr s aaaar sQ 2 2 0 rsrs aaar sQ 3 3 0 0 rrr aba b abrQ 注注 若若 a a 0 0 p p 是一个无理数是一个无理数 则则 a a p p表示一个确定的实数 表示一个确定的实数 上述有理指数幂的运算性质上述有理指数幂的运算性质 对于无理数指数对于无理数指数 幂都适用幂都适用 33 33 指数式与对数式的互化式指数式与对数式的互化式 log b a NbaN 0 1 0 aaN 3434 对数的换底公式对数的换底公式 log log log m a m N N a 0a 且且1a 0m 且且1m 0N 推论推论 loglog m n a a n bb m 0a 且且1a 0m n 且且1m 1n 0N 3535 对数的四则运算法则对数的四则运算法则 若若 a a 0 0 a a 1 1 M M 0 0 N N 0 0 则则 1 1 log loglog aaa MNMN 2 2 logloglog aaa M MN N 3 3 loglog n aa MnM nR 36 36 设设函数函数 0 log 2 acbxaxxf m 记记acb4 2 若若 xf的定义域为的定义域为R 则则0 a 且且0 若若 xf的值域为的值域为R 则则0 a 且且0 对于对于0 a的情形的情形 需要单独检验需要单独检验 37 37 对数换底不等式及其推广对数换底不等式及其推广 若若0a 0b 0 x 1 x a 则函数则函数log ax ybx 1 1 当当ab 时时 在在 1 0 a 和和 1 a 上上log ax ybx 为增函数为增函数 2 2 当当ab 时时 在在 1 0 a 和和 1 a 上上log ax ybx 为减函数为减函数 推论推论 设设 1nm 0p 0a 且且 1a 则则 1 log log mpm npn 2 2 logloglog 2 aaa mn mn 38 38 平均增长率的问题平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为如果原来产值的基础数为 N N 平均增长率为平均增长率为p 则对于时间则对于时间x的总产值的总产值y 有有 1 xyNp 3939 数列的同项公式与前数列的同项公式与前 n n 项的和的关系项的和的关系 1 1 1 2 n nn sn a ssn 数列数列 n a的前的前 n n 项的和为项的和为 12nn saaa 4040 等差数列的等差数列的通项公式通项公式 11 1 n aanddnad nN 其前其前 n n 项和公式为项和公式为 6 1 2 n n n aa s 1 1 2 n n nad 2 1 1 22 d nad n 4141 等比数列的等比数列的通项公式通项公式 1 1 1 nn n a aa qqnN q 其前其前 n n 项的和公式为项的和公式为 1 1 1 1 1 1 n n aq q sq na q 或或 1 1 1 1 1 n n aa q q qs na q 4242 等比差数列等比差数列 n a 11 0 nn aqad ab q 的通项公式为的通项公式为 1 1 1 1 1 nn n bnd q a bqdb qd q q 其前其前 n n 项和公式为项和公式为 1 1 1 1 111 n n nbn ndq s dqd bn q qqq 43 分期付款分期付款 按揭贷款按揭贷款 每次还款每次还款 1 1 1 n n abb x b 元元 贷款贷款a元元 n次还清次还清 每期利率为每期利率为b 44 常见三角不等式常见三角不等式 1 若若 0 2 x 则则sintanxxx 2 若若 0 2 x 则则1sincos2xx 3 sin cos 1xx 4545 同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 22 sincos1 tan cos sin tan1cot 4646 正弦正弦 余弦的诱导公式余弦的诱导公式 奇变偶不变奇变偶不变 符号看象限符号看象限 2 1 2 1 sin sin 2 1 s n n n co 2 1 2 1 s s 2 1 sin n n co n co 4747 和角与差角公式和角与差角公式 sin sincoscossin n 为偶数 n 为奇数 n 为偶数 n 为奇数 7 cos coscossinsin tantan tan 1tantan 22 sin sin sinsin 平方正弦公式平方正弦公式 22 cos cos cossin sincosab 22 sin ab 辅助角辅助角 所在象限由点所在象限由点 a b的象限决定的象限决定 tan b a 4848 二倍角公式二倍角公式 sin 2sincos 2222 cos2cossin2cos11 2sin 2 2tan tan2 1tan 49 49 三倍角公式三倍角公式 3 sin33sin4sin4sinsin sin 33 3 cos34cos3cos4coscos cos 33 3 2 3tantan tan3tantan tan 1 3tan33 5050 三角函数的周期公式三角函数的周期公式 函数函数sin yx x x R R及函数及函数cos yx x x R R A A 为常数为常数 且且A A 0 0 0 0 的周期的周期 2 T 函数函数tan yx 2 xkkZ A A 为常数为常数 且且 A A 0 0 0 0 的周期的周期T 5151 正弦定理正弦定理 2 sinsinsin abc R ABC 5252 余弦定余弦定理理 222 2cosabcbcA 222 2cosbcacaB 222 2coscababC 5353 面积定理面积定理 1 1 111 222 abc Sahbhch abc hhh 分别表示分别表示 a a b b c c 边上的高边上的高 2 2 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB 3 3 22 1 2 OAB SOAOBOA OB 5454 三角形内角和定理三角形内角和定理 在在 ABCABC 中中 有有 ABCCAB 222 CAB 222 CAB 55 55 简单的三角方程的简单的三角方程的通解通解 sin 1 arcsin 1 k xaxka kZa s2arccos 1 co xaxka kZ a tanarctan xaxka kZ aR 8 特别地特别地 有有 sinsin 1 k kkZ scos2 cokkZ tantan kkZ 56 56 最简单的三角不等式及其解集最简单的三角不等式及其解集 sin 1 2arcsin 2arcsin xa axkaka kZ sin 1 2arcsin 2arcsin xa axkaka kZ cos 1 2arccos 2arccos xa axkaka kZ cos 1 2arccos 22arccos xa axkaka kZ tan arctan 2 xa aRxka kkZ tan arctan 2 xa aRxkka kZ 57 57 实数与向量的积的实数与向量的积的运算律运算律 设设 为实数为实数 那么那么 1 1 结合律结合律 a a a a 2 2 第一分配律第一分配律 a a a a a a 3 3 第二分配律第二分配律 a a b b a a b b 58 58 向量的数量积的运算律向量的数量积的运算律 1 1 a a b bb b a a 交换律交换律 2 2 a a b b a a b b a a b b a a b b 3 3 a a b b c c a a c bc b c c 59 59 平面向量基本定理平面向量基本定理 如果如果 e e1 1 e e 2 2是同一平面内的两个不共线向量是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任一向量那么对于这一平面内的任一向量 有且只有一对实数有且只有一对实数 1 1 2 2 使得使得 a a 1 1e e1 1 2 2e e2 2 不共线的向量不共线的向量 e e1 1 e e2 2叫做表示这一平面内所有向量的一组叫做表示这一平面内所有向量的一组基底基底 6060 向量平行的坐标表示向量平行的坐标表示 设设 a a 11 x y b b 22 xy 且且 b b 0 0 则则 a a b bb b 0 0 1221 0 x yx y 53 53 a a与与 b b 的的数量积数量积 或内积或内积 a a b b a a b b cos cos 61 61 a b 的几何意义的几何意义 数量积数量积 a b 等于等于 a 的长度的长度 a 与与 b 在在 a 的方向上的投影的方向上的投影 b cos 的乘积的乘积 62 62 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 1 1 设设 a a 11 x y b b 22 xy 则则 a b a b 1212 xxyy 2 2 设设 a a 11 x y b b 22 xy 则则 a a b b 1212 xxyy 3 3 设设 A A 11 x y B B 22 xy 则则 2121 ABOBOAxx yy 4 4 设设 a a x yR 则则 a a xy 5 5 设设 a a 11 x y b b 22 xy 则则 a a b b 1212 x xy y 63 63 两向量的夹角公式两向量的夹角公式 1212 2222 1122 cos x xy y xyxy a a 11 x y b b 22 xy 6464 平面两点间的距离公式平面两点间的距离公式 A B d ABAB AB 22 2121 xxyy A A 11 x y B B 22 xy 65 65 向量的平行与垂直向量的平行与垂直 设设 a a 11 x y b b 22 xy 且且 b b 0 0 则则 A A b b b b a a 1221 0 x yx y 9 a a b ab a 0 0 a a b b 0 0 1212 0 x xy y 6666 线段的定比分公式线段的定比分公式 设设 111 P x y 222 P xy P x y是线段是线段 12 PP的分点的分点 是实数是实数 且且 12 PPPP 则则 12 12 1 1 xx x yy y 12 1 OPOP OP 12 1 OPtOPt OP 1 1 t 6767 三角形的重心坐标公式三角形的重心坐标公式 ABCABC 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 11 A x y 22 B x y 33 C x y 则则 ABCABC 的 重 心 的 坐 标 是的 重 心 的 坐 标 是 123123 33 xxxyyy G 6868 点的平移公式点的平移公式 xxhxxh yykyyk OPOPPP 注注 图形图形 F F 上的任意一点上的任意一点 P xP x y y 在平移后图形在平移后图形 F上的对应点为上的对应点为 P x y 且且 PP 的坐标为的坐标为 h k 69 69 按向量平移按向量平移 的几个结论的几个结论 1 1 点点 P x y按向量按向量 a a h k平移后得到点平移后得到点 P xh yk 2 2 函数函数 yf x 的图象的图象C按向量按向量 a a h k平移后得到图象平移后得到图象 C 则则 C的函数解析式为的函数解析式为 yf xhk 3 3 图象图象 C按向量按向量 a a h k平移后得到图象平移后得到图象C 若若C的解析式的解析式 yf x 则则 C的函数解析式为的函数解析式为 yf xhk 4 4 曲线曲线C 0f x y 按向量按向量 a a h k平移后得到图象平移后得到图象 C 则则 C的方程为的方程为 0f xh yk 5 5 向量向量 m m x y按向量按向量 a a h k平移后得到的向量仍然为平移后得到的向量仍然为 m m x y 70 70 三角形五三角形五 心心 向量形式的充要条件向量形式的充要条件 设设O为为ABC 所在平面上一点所在平面上一点 角角 A B C所对边长分别为所对边长分别为 a b c 则则 1 1 O为为ABC 的外心的外心 222 OAOBOC 2 2 O为为ABC 的重心的重心0OAOBOC 3 3 O为为ABC 的垂心的垂心OA OBOB OCOC OA 4 4 O为为ABC 的内心的内心0aOAbOBcOC 5 5 O为为ABC 的的A 的旁心的旁心aOAbOBcOC 7171 常用不等式常用不等式 1 1 a bR 22 2abab 当且仅当当且仅当 a a b b 时取时取 号号 2 2 a bR 2 ab ab 当且仅当当且仅当 a a b b 时取时取 号号 3 3 333 3 0 0 0 abcabc abc 4 4 柯西不等式柯西不等式 22222 abcdacbda b c dR 5 5 bababa 7272 极值定理极值定理 已知已知yx 都是正数都是正数 则有则有 1 1 若积若积xy是定值是定值p 则当则当yx 时和时和yx 有最小值有最小值p2 2 2 若和若和yx 是定值是定值s 则当则当yx 时积时积xy有最大值有最大值 2 4 1 s 10 推广推广 已知已知Ryx 则有则有xyyxyx2 22 1 1 若积若积xy是定值是定值 则当则当 yx 最大时最大时 yx 最大最大 当当 yx 最小时最小时 yx 最小最小 2 2 若和若和 yx 是定值是定值 则当则当 yx 最大时最大时 xy最小最小 当当 yx 最小时最小时 xy最大最大 7373 一元二次不等式一元二次不等式 2 0 0 axbxc 或 2 0 40 abac 如果如果a与与 2 axbxc 同号同号 则其则其 解集在两根之外解集在两根之外 如果如果a与与 2 axbxc 异号异号 则其解集在两根之间则其解集在两根之间 简言之简言之 同号两根之外同号两根之外 异号两根之异号两根之 间间 121212 0 xxxxxxxxx 121212 0 xxxxxxxxxx 或 7474 含有绝对值的不等式含有绝对值的不等式 当当 a 0a 0 时时 有有 2 2 xaxaaxa 22 xaxaxa 或或xa 7575 无理不等式无理不等式 1 1 0 0 f x f xg xg x f xg x 2 2 2 0 0 0 0 f x f x f xg xg x g x f xg x 或 3 3 2 0 0 f x f xg xg x f xg x 7676 指数不等式与对数不等式指数不等式与对数不等式 1 1 当当1a 时时 f xg x aaf xg x 0 log log 0 aa f x f xg xg x f xg x 2 2 当当01a 时时 f xg x aaf xg x 0 log log 0 aa f x f xg xg x f xg x 77 斜率公式斜率公式 21 21 yy k xx 111 P x y 222 P xy 78 直线的五种方程直线的五种方程 1 点斜式点斜式 11 yyk xx 直线直线l过点过点 111 P x y 且斜率为且斜率为k 2 2 斜截式斜截式 ykxb b b 为直线为直线l在在 y y 轴上的截距轴上的截距 3 3 两点式两点式 11 2121 yyxx yyxx 12 yy 111 P x y 222 P xy 12 xx 11 4 4 截距式截距式 1 xy ab ab 分别为直线的横分别为直线的横 纵截距纵截距 0ab 5 5 一般式一般式 0AxByC 其中其中 A B 不同时为不同时为 0 79 两条直线的两条直线的平行和垂直平行和垂直 1 若若 111 lyk xb 222 lyk xb 121212 llkk bb 1212 1llk k 2 若若 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 且且 A1 A2 B1 B2都不为零都不为零 111 12 222 ABC ll ABC 121212 0llA AB B 80 夹角公式夹角公式 1 21 2 1 tan 1 kk k k 111 lyk xb 222 lyk xb 12 1k k 2 1221 1212 tan ABA B A AB B 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 1212 0A AB B 直线直线 12 ll 时时 直线直线 l1与与 l2的夹角是的夹角是 2 81 1 l到到 2 l的角公式的角公式 1 21 2 1 tan 1 kk k k 111 lyk xb 222 lyk xb 12 1k k 2 1221 1212 tan ABA B A AB B 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 1212 0A AB B 直线直线 12 ll 时时 直线直线 l1到到 l2的角是的角是 2 8282 四种常用直线系方程四种常用直线系方程 1 1 定点直线系方程定点直线系方程 经过定点经过定点 000 P xy的直线系方程为的直线系方程为 00 yyk xx 除直线除直线 0 xx 其中其中k是待定是待定 的系数的系数 经过定点经过定点 000 P xy的直线系方程为的直线系方程为 00 0A xxB yy 其中其中 A B是待定的系数是待定的系数 2 2 共点直线系方程共点直线系方程 经过两直线经过两直线 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 的交点的直线系方程为的交点的直线系方程为 111222 0AxB yCA xB yC 除除 2 l 其中其中 是待定的系数是待定的系数 3 3 平行直线系方程平行直线系方程 直线直线ykxb 中当斜率中当斜率 k k 一定而一定而 b b 变动时变动时 表示平行直线系方程表示平行直线系方程 与直线与直线 0AxByC 平行的直线系方程是平行的直线系方程是0AxBy 0 是参变量是参变量 4 4 垂直直线系方程垂直直线系方程 与直线与直线0AxByC A A 0 0 B B 0 0 垂直的直线系方程是垂直的直线系方程是0BxAy 是参变量是参变量 83 点到直线的距离点到直线的距离 00 22 AxByC d AB 点点 00 P xy 直线直线l 0AxByC 84 84 0AxByC 或或0 所表示的所表示的平面区域平面区域 设直线设直线 0l AxByC 则则0AxByC 或或0 所表示的所表示的平面区域平面区域是是 若若0B 当当B与与AxByC 同号时同号时 表示表示直线直线l的上方的的上方的区域区域 当当B与与AxByC 异号时异号时 表示表示直线直线l 12 的下方的的下方的区域区域 简言之简言之 同号在上同号在上 异号在下异号在下 若若0B 当当A与与AxByC 同号时同号时 表示表示直线直线l的右方的的右方的区域区域 当当A与与AxByC 异号时异号时 表示表示直线直线l 的左方的的左方的区域区域 简言之简言之 同号在右同号在右 异号在左异号在左 85 85 111222 0AxB yCA xB yC 或或0 所表示的所表示的平面区域平面区域 设曲线设曲线 111222 0CAxB yCA xB yC 1212 0A A B B 则则 111222 0AxB yCA xB yC 或或0 所表示的所表示的平面区域平面区域是是 111222 0AxB yCA xB yC 所表示的所表示的平面区域平面区域上下两部分上下两部分 111222 0AxB yCA xB yC 所表示的所表示的平面区域平面区域上下两部分上下两部分 86 圆的圆的四种四种方程方程 1 1 圆的标准方程圆的标准方程 222 xaybr 2 2 圆的一般方程圆的一般方程 22 0 xyDxEyF 22 4DEF 0 0 3 3 圆的圆的参数方程参数方程 cos sin xar ybr 4 4 圆圆的的直径式直径式方程方程 1212 0 xxxxyyyy 圆的直径的端点是圆的直径的端点是 11 A x y 22 B xy 87 87 圆系方程圆系方程 1 1 过点过点 11 A x y 22 B xy的圆系方程是的圆系方程是 1212112112 0 xxxxyyyyxxyyyyxx 1212 0 xxxxyyyyaxbyc 其中其中0axbyc 是直线是直线AB的方程的方程 是待定的是待定的 系数系数 2 2 过 直 线过 直 线l 0AxByC 与 圆与 圆C 22 0 xyDxEyF 的 交 点 的 圆 系 方 程 是的 交 点 的 圆 系 方 程 是 22 0 xyDxEyFAxByC 是待定的系数是待定的系数 3 3 过圆过圆 1 C 22 111 0 xyD xE yF 与圆与圆 2 C 22 222 0 xyD xE yF 的交点的圆系方程是的交点的圆系方程是 2222 111222 0 xyD xE yFxyD xE yF 是待定的系数是待定的系数 88 88 点与圆的位置关系点与圆的位置关系 点点 00 P xy与圆与圆 222 rbyax 的位置关系有三种的位置关系有三种 若若 22 00 daxby 则则 dr 点点P在圆外在圆外 dr 点点P在圆上在圆上 dr 点点P在圆内在圆内 89 89 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 直线直线0 CByAx与圆与圆 222 rbyax 的位置关系有三种的位置关系有三种 0 相离rd 0 相切rd 0 相交rd 其中其中 22 BA CBbAa d 90 90 两圆位置关系的判定方法两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为设两圆圆心分别为 O O1 1 O O2 2 半径分别为半径分别为 r r1 1 r r2 2 dOO 21 条公切线外离4 21 rrd 条公切线外切3 21 rrd 条公切线相交2 2121 rrdrr 条公切线内切1 21 rrd 无公切线内含 21 0rrd 91 91 圆的切线方程圆的切线方程 13 1 1 已知圆已知圆 22 0 xyDxEyF 若已知切点若已知切点 00 xy在圆上在圆上 则切线只有一条则切线只有一条 其方程是其方程是 00 00 0 22 D xxE yy x xy yF 当当 00 xy圆外时圆外时 00 00 0 22 D xxE yy x xy yF 表示表示过两个切点的切点弦方程过两个切点的切点弦方程 过圆外一点的切线方程可设为过圆外一点的切线方程可设为 00 yyk xx 再利用相切条件求再利用相切条件求 k k 这时必有两条切线这时必有两条切线 注意不注意不 要漏掉平行于要漏掉平行于 y y 轴的切线轴的切线 斜率为斜率为 k k 的切线方程可设为的切线方程可设为ykxb 再利用相切条件求再利用相切条件求 b b 必有两条切线必有两条切线 2 2 已知圆已知圆 222 xyr 过圆上的过圆上的 000 P xy点的切线方程为点的切线方程为 2 00 x xy yr 斜率为斜率为k的圆的切线方程为的圆的切线方程为 2 1ykxrk 9292 椭圆椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的参数方程是的参数方程是 cos sin xa yb 9393 椭圆椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 焦半径公式焦半径公式 2 1 c a xePF 2 2 x c a ePF 9494 椭圆的椭圆的的内外部的内外部 1 1 点点 00 P xy在在椭圆椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的内部的内部 22 00 22 1 xy ab 2 2 点点 00 P xy在在椭圆椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的外部的外部 22 00 22 1 xy ab 95 95 椭圆椭圆的的切线切线方程方程 1 1 椭圆椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 上一点上一点 00 P xy处的切线方程是处的切线方程是 00 22 1 x xy y ab 2 2 过椭圆过椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 外一点外一点 00 P xy所引两条切线的切所引两条切线的切点弦方程是点弦方程是 00 22 1 x xy y ab 3 3 椭圆椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 与直线与直线0AxByC 相切的条件是相切的条件是 22222 A aB bc 9696 双曲线双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的的焦半径公式焦半径公式 2 1 a PFe x c 2 2 a PFex c 97 97 双曲双曲线线的内外部的内外部 1 1 点点 00 P xy在双曲线在双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的内部的内部 22 00 22 1 xy ab 2 2 点点 00 P xy在双曲线在双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的外部的外部 22 00 22 1 xy ab 98 98 双曲双曲线线的方程与的方程与渐近线方程的关系渐近线方程的关系 1 1 若双曲线方程为若双曲线方程为1 2 2 2 2 b y a x 渐近线方程渐近线方程 22 22 0 xy ab x a b y 14 2 2 若若渐近线方程为渐近线方程为x a b y 0 b y a x 双曲线可设为双曲线可设为 2 2 2 2 b y a x 3 3 若若双曲线与双曲线与1 2 2 2 2 b y a x 有公共渐近线有公共渐近线 可设为可设为 2 2 2 2 b y a x 0 焦点在焦点在 x x 轴上轴上 0 焦点在焦点在 y y 轴上轴上 99 99 双曲线的双曲线的切线方程切线方程 1 1 双曲线双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 上一点上一点 00 P xy处的切线方程是处的切线方程是 00 22 1 x xy y ab 2 2 过双曲线过双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 外一点外一点 00 P xy所引两条切线的切点弦方程是所引两条切线的切点弦方程是 00 22 1 x xy y ab 3 3 双曲线双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 与直线与直线0AxByC 相切的条件是相切的条件是 22222 A aB bc 100100 抛物线抛物线pxy2 2 的的焦半径公式焦半径公式 抛物线抛物线 2 2 0 ypx p 焦半径焦半径 0 2 p CFx 过焦点弦长过焦点弦长pxx p x p xCD 2121 22 101101 抛物线抛物线pxy2 2 上的动点可设为上的动点可设为 P P 2 2 y p y 或或或 2 2 2 ptptP P P x y 其中其中 2 2ypx 102102 二 次 函 数二 次 函 数 2 22 4 24 bacb yaxbxca x aa 0 a 的 图 象 是的 图 象 是 抛 物 线抛 物 线 1 1 顶 点 坐 标 为顶 点 坐 标 为 2 4 24 bacb aa 2 2 焦点的坐标为焦点的坐标为 2 41 24 bacb aa 3 3 准线方程是准线方程是 2 41 4 acb y a 103 103 抛物线的内外部抛物线的内外部 1 1 点点 00 P xy在抛物线在抛物线 2 2 0 ypx p 的内部的内部 2 2 0 ypx p 点点 00 P xy在抛物线在抛物线 2 2 0 ypx p 的外部的外部 2 2 0 ypx p 2 2 点点 00 P xy在抛物线在抛物线 2 2 0 ypx p 的内部的内部 2 2 0 ypx p 点点 00 P xy在抛物线在抛物线 2 2 0 ypx p 的外部的外部 2 2 0 ypx p 3 3 点点 00 P xy在抛物线在抛物线 2 2 0 xpy p 的内部的内部 2 2 0 xpy p 点点 00 P xy在抛物线在抛物线 2 2 0 xpy p 的外部的外部 2 2 0 xpy p 4 4 点点 00 P xy在抛物线在抛物线 2 2 0 xpy p 的内部的内部 2 2 0 xpy p 点点 00 P xy在抛物线在抛物线 2 2 0 xpy p 的外部的外部 2 2 0 xpy p 104 104 抛物线的抛物线的切线方程切线方程 1 1 抛物线抛物线pxy2 2 上上一点一点 00 P xy处的切线方程是处的切线方程是 00 y yp xx 2 2 过过抛物线抛物线pxy2 2 外一点外一点 00 P xy所引两条切线的切点弦方程是所引两条切线的切点弦方程是 00 y yp x x 3 3 抛物线抛物线 2 2 0 ypx p 与直线与直线0AxByC 相切的条件是相切的条件是 2 2pBAC 105 105 两个常见的曲线系方程两个常见的曲线系方程 1 1 过曲线过曲线 1 0f x y 2 0fx y 的交点的曲线系方程是的交点的曲线系方程是 12 0f x yf x y 为参数为参数 2 2 共焦点的有心圆锥曲线系方程共焦点的有心圆锥曲线系方程 22 22 1 xy akbk 其中其中 22 max ka b 当当 22 min ka b 时时 表表示椭示椭 15 圆圆 当当 2222 min max a bka b 时时 表示双曲线表示双曲线 106106 直线与圆锥曲线相交的弦长公式直线与圆锥曲线相交的弦长公式 22 1212 ABxxyy 或或 2222 211212 1 1tan 1tABkxxxxyyco 弦端点弦端点 A A 2211 yxByx 由由 方程方程 0 y x F bkxy 消去消去 y y 得到得到0 2 cbxax 0 为直线为直线AB的倾斜角的倾斜角 k为直线的斜率为直线的斜率 107107 圆锥曲线的两类对称问题圆锥曲线的两类对称问题 1 1 曲线曲线 0F x y 关于点关于点 00 P xy成中心对称的曲线是成中心对称的曲线是 00 2 2 0Fx xyy 2 2 曲线曲线 0F x y 关于直线关于直线0AxByC 成轴对称的曲线是成轴对称的曲线是 2222 2 2 0 A AxByCB AxByC F xy ABAB 108108 四线四线 一方程一方程 对于一般的二次曲线对于一般的二次曲线 22 0AxBxyCyDxEyF 用用 0 x x代代 2 x 用用 0 y y代代 2 y 用用 00 2 x yxy 代代xy 用用 0 2 xx 代代x 用用 0 2 yy 代代y即得方程即得方程 0000 00 0 222 x yxyxxyy Ax xBCy yDEF 曲线的切线曲线的切线 切点弦切点弦 中点弦中点弦 弦中点方程均是弦中点方程均是 此方程得到此方程得到 109109 证明直线与直线的平行的思考途径证明直线与直线的平行的思考途径 1 转化为判定共面二直线无交点转化为判定共面二直线无交点 2 转化为二直线同与第三条直线平行转化为二直线同与第三条直线平行 3 转化为线面平行转化为线面平行 4 转化为线面垂直转化为线面垂直 5 转化为面面平行转化为面面平行 110 证明直线与平面的平行的思考途径证明直线与平面的平行的思考途径 1 转化为直线与平面无公共点转化为直线与平面无公共点 2 转化为线线平行转化为线线平行 3 转化为面面平行转化为面面平行 111 证明平面与平面平行的思考途径证明平面与平面平行的思考途径 1 转化为判定二平面无公共点转化为判定二平面无公共点 2 转化为线面平行转化为线面平行 3 转化为线面垂直转化为线面垂直 112 证明直线与直线的垂直的思考途径证明直线与直线的垂直的思考途径 1 转化为相交垂直转化为相交垂直 2 转化为线面垂直转化为线面垂直 3 转化为线与另一线的射影垂直转化为线与另一线的射影垂直 4 转化为线与形成射影的斜线垂直转化为线与形成射影的斜线垂直 113 证明直线与平面垂直的思考途径证明直线与平面垂直的思考途径 1 转化为该直线与平面内任一直线垂直转化为该直线与平面内任一直线垂直 2 转化为该直线与平面内转化为该直线与平面内相交二直线垂直相交二直线垂直 3 转化为该直线与平面的一条垂线平行转化为该直线与平面的一条垂线平行 4 转化为该直线垂直于另一个平行平面转化为该直线垂直于另一个平行平面 5 转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 114 证明平面与平面的垂直的思考途径证明平面与平面的垂直的思考途径 1 转化为判断二面角是直二面角转化为判断二面角是直二面角 2 转化为线面垂直转化为线面垂直 115 空间向量的加法与数乘向量运算的运算律空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 1 1 加法交换律加法交换律 a a b b b b a a 2 2 加法结合律加法结合律 a a b b c c a a b b c c 16 3 3 数乘分配律数乘分配律 a a b b a a b b 116 116 平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和量之和 等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点 的对角线所表示的向量的对角线所表示的向量 117 共线向量定理共线向量定理 对空间任意两个向量对空间任意两个向量 a b b 0 a b 存在实数存在实数 使使 a b PAB 三点共线三点共线 APAB APtAB 1 OPt OAtOB AB CD AB CD 共线且共线且ABCD 不共线不共线 ABtCD 且且ABCD 不共线不共线 118 118 共面向量定理共面向量定理 向量向量 p p 与两个不共线的向量与两个不共线的向量 a a b b 共面的共面的 存在实数对存在实数对 x y 使使paxby 推论推论 空间一点空间一点 P P 位于平面位于平面 MABMAB 内的内的 存在有序实数对存在有序实数对 x y 使使MPxMAyMB 或或对空间任一定点对空间任一定点 O O 有序实数对有序实数对 x y 使使OPOMxMAyMB 119 119 对空间任一点对空间任一点O和不共线的三点和不共线的三点 A A B B C C 满足满足OPxOAyOBzOC xyzk 则当则当1k 时时 对于空间任一点对于空间任一点O 总有总有 P P A A B B C C 四点四点共面共面 当当1k 时时 若若O 平面平面 ABCABC 则则 P P A A B B C C 四点四点共面共面 若若O 平面平面 ABCABC 则则 P P A A B B C C 四点不四点不共面共面 C AB D四点共面四点共面 AD 与与AB AC 共面共面 ADxAByAC 1 ODxy OAxOByOC O 平面平面 ABCABC 120 120 空间向量基本定理空间向量基本定理 如果三个向量如果三个向量 a a b b c c 不共面不共面 那么对空间任一向量那么对空间任一向量 p p 存在一个唯一的有序实数组存在一个唯一的有序实数组 x x y y z z 使使 p p x xa a y yb b z zc c 推论推论 设设 O O A A B B C C 是不共面的四点是不共面的四点 则则对空间任一点对空间任一点 P P 都存在唯一的三个有序实数都存在唯一的三个有序实数 x x y y z z 使使 OPxOAyOBzOC 121 121 射影公式射影公式 已知向量已知向量AB a a和轴和轴l e e 是是l上与上与l同方向的同方向的单位向量单位向量 作作 A A 点在点在l上的射影上的射影 A 作作 B B 点在点在l上的射影上的射影 B 则则 cosABAB a a e e a a e e 122 122 向量的直角坐标运算向量的直角坐标运算 设设a a 123 a a a b b 123 b b b则则 1 1 a a b b 112233 ab ab ab 2 2 a a b b 112233 ab ab ab 3 3 a a 123 aaa R R 4 4 a a b b 1 1223 3 aba ba b 123 123 设设 A A 111 x y z B B 222 xyz 则则 ABOBOA 212121 xx yy zz 124124 空间的空间的线线平行或垂直线线平行或垂直 设设 111 ax y z r 222 bxyz r 则则 a b rr P 0 ab b rr rr 12 12 12 xx yy zz ab rr 0a b r r 121212 0 x xy yz z 125 125 夹角公式夹角公式 设设a a 123 a a a b b 123 b b b 则则 coscos a a b b 1 1223 3 222222 123123 aba ba b aaabbb 17 推论推论 2222222 1 1223 3123123 a ba ba baaabbb 此即三维柯西不等式此即三维柯西不等式 126 126 四面体的对棱所成的角四面体的对棱所成的角 四面体四面体ABCD中中 AC与与BD所成的角为所成的角为 则则 2222 cos 2 ABCDBCDA AC BD 127 异面直线所成角异面直线所成角 cos cos a b r r 12121 2 222222 111222 x xy yz za b abxyzxyz r r rr 其中其中 090 oo 为异面直线为异面直线a b 所成角所成角 a b r r 分别表示异面直线分别表示异面直线a b 的方向向量的方向向量 128 直线直线AB与平面所成角与平面所成角 sin AB m arc AB m m 为平面为平面 的法向量的法向量 129 129 若若ABC 所在平面若所在平面若 与过若与过若AB的平面的平面 成的角成的角 另两边另两边AC BC与平面与平面 成的角分别是成的角分别是 1 2 AB 为为ABC 的两个内角的两个内角 则则 22222 12 sinsin sinsin sinAB 特别地特别地 当当90ACB 时时 有有 222 12 sinsinsin 130 130 若若ABC 所在平面若所在平面若 与过若与过若AB的平面的平面 成的角成的角 另两边另两边AC BC与平面与平面 成的角分别是成的角分别是 1 2 AB 为为ABO 的两个内角的两个内角 则则 222 2 2 12 tantan sinsin tanAB 特别地特别地 当当90AOB 时时 有有 222 12 sinsinsin 131 二面角二面角l 的平面角的平面角 cos m n arc m n 或或cos m n arc m n m n 为平面为平面 的法向量的法向量 132132 三余弦定理三余弦定理 设设 ACAC 是是 内的任一条直线内的任一条直线 且且 BCBC ACAC 垂足为垂足为 C C 又设又设 AOAO 与与 ABAB 所成的角为所成的角为 1 ABAB 与与 ACAC 所成的角为所成的角为 2 AOAO 与与 ACAC 所成的角为所成的角为 则则 12 coscoscos 133133 三射线定理三射线定理 若夹在平面角为若夹在平面角为 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 1 2 与二面角的棱所成的角是与二面角的棱所成的角是 则有则有 2222 1212 sinsinsinsin2sinsincos 1212 180 当且仅当当且仅当90 时等号成立时等号成立 134134 空间两点间