高三数学知识点

上海数学培优孟老师联系电话 微信 QQ第 1页 共 22页 高中数学知识点汇总 高三 高中数学知识点汇总 高三 高中数学知识点汇总 高三 1 十四 空间直线与平面 2 十五 简单几何体 10 十六 排列组合与二项式定理 16 一 排列组合 16 二 二项式定理 18 十七 概率论初步 19 十八 基本统计方法 21 上海数学培优孟老师联系电话 微信 QQ第 2页 共 22页 十四 空间直线与平面十四 空间直线与平面 1 平面 平面及其基本性质 及其基本性质 1 平面的定义 平面概念是现实中平面形象抽象的结果 无厚度 无边界 在空间延伸至无限 一般地 平面用一个大写的英文字母或小写的希腊字母表示 如平面M 平面N或平面 平面 也可以用平面上的三个 或三个以上 点的字母表示 2 点与直线的关系 点A在直线l上 或直线l经过点A Al 点B不在直线l上 Bl 3 点与平面的关系 点A在平面 上 或平面 经过点A A 点B不在平面 上 B 4 直线与平面的关系 直线l在平面 上 或平面 经过直线l l 直线l与平面 相交于点A 或称A是直线l与平面 的交 点 lA 直线l与平面 平行 或直线l与平面 没有公共点 l 或l 上海数学培优孟老师联系电话 微信 QQ第 3页 共 22页 5 平面与平面的关系 平面 与平面 相交 平面 与平面 平行 或 6 公理 1 如果直线l上有两个点在平面 上 那么直线l在平面 上 若Al Bl 且A B 则l 7 公理 2 如果不同的两个平面 有一个公共点A 那么 的交集是过点A的直线l 对于不同的两个平面 若存在A 则 l 其中l是直线 且Al 8 公理 3 及其推论 公理 3 不在同一直线上的三点确定一个平面 这里 确定一个平面 的含义是 有且只有一个 平面 推论 1 一条直线和直线外的一点确定一个平面 推论 2 两条相交的直线确定一个平面 推论 3 两条平行的直线确定一个平面 上海数学培优孟老师联系电话 微信 QQ第 4页 共 22页 2 空间直线与直线的位置关系 空间直线与直线的位置关系 1 空间两条直线的位置关系 相交直线 共面直线 平行直线 异面直线 2 公理 4 平行于同一直线的两条直线相互平行 3 定理 1 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行 那么这两个角相等或互补 4 异面直线的定义 如果空间的两条直线 1 l 2 l既不平行 也不相交 这时不可能存在一个平面 使它既经过直线 1 l 又经过直线 2 l 我们把不能置于同一平面的两条直线 1 l 2 l叫做异面直线 5 异面直线所成的角 对于异面直线a和b 在空间任取一点P 过P分别作a和b的平行线 a 和 b 我们把 a 与 b 所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角 取值范围是 0 2 6 异面直线的性质 过两条异面直线中的一条且平行于另一条的平面是唯一的 3 空间直线与平面的位置关系 空间直线与平面的位置关系 1 直线与平面垂直 一般地 如果一条直线l与平面 上的任何直线都垂直 那么我们就说直线l与平面 垂直 记作l 直线l叫做平面 的垂线 l与 的交点叫做垂足 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直 则该直线与此平面垂直 ab ac b c bcA a 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a b ab ab 2 直线与平面平行 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行 则该直线与此平面平行 a b 且ab a 上海数学培优孟老师联系电话 微信 QQ第 5页 共 22页 性质定理 一条直线与一个平面平行 则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a a b ab 4 直线与平面所成的角 当直线l与平面 相交且不垂直时 叫做直线l与平面 斜交 直线l叫做平面 的斜线 设直线l与平面 斜交于点M 过l上任意点A 作平面 的垂线 垂足为O 我们把点O 叫做点A在平面 上的射影 直线OM叫做直线l在平面 上的射影 并规定直线l与其在平面 上的射影OM所成的锐角叫做直线l和平面 所成的角 当直线l与平面 垂直时 它们所成的角等于90 当直线l与平面 平行或直线l在平面 上时 它们所成的角为0 直线与平面所成的角的取值范围是 0 2 最小角定理 已知 的斜线l与 所成的角为 l与 内的一条直线所成的角为 则 此为最小角定理 已知OA是平面 的斜线 OB是OA在 内的射影 OM 1 AOB 2 BOM 则 12 coscoscos 5 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直 那么它也和 这条斜线垂直 三垂线定理逆定理 如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直 那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内 的射影 4 空间平面与平面的位置关系 空间平面与平面的位置关系 1 空间平面与平面平行 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 则这两个平面平行 a b abP a b 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交 那么它们的交线平行 a b 求证ab 2 空间平面与平面垂直 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线 则这两个平面垂直 a a 性质定理 两个平面垂直 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 l ml m m 上海数学培优孟老师联系电话 微信 QQ第 6页 共 22页 3 二面角 设两个平面 相交于直线AB AB将 分别分割成两个半平面 由 的半平面 及其交线AB所组成的空间图形叫做二面角 记作AB 交线AB叫做二面角的棱 两个半 平面 叫做二面角的面 如果半平面 上有点Q 半平面 上有点P 那么该二面角也可记 作PABQ 4 二面角的平面角 在二面角的棱AB上任取一点O 过O分别在面 和 上作棱AB的垂线OM和ON 射线OM 和ON所成的角叫做二面角AB 的平面角 二面角的大小就用它的平面角来度量 当二面 角的平面角是 时 就说这个二面角是 0 特别地 当 2 时 称平面 与平面 垂直 记作 5 二面角的平面角大小的求解方法 定义法 在二面角AB 的交线AB上找到一点O 然后分别在这两个面内作AB的垂 线OM ON 然后求解MON 即可 射影法 cos S S 射影的面积 原几何图形的面积 其中 为二面角的平面角的大小 注意 注意 当射影在二面角的外面时 射影的面积取负值 上海数学培优孟老师联系电话 微信 QQ第 7页 共 22页 5 空间图形中的有关距离 空间图形中的有关距离 点M和平面 的距 离 设M是平面 外一点 过点M作平面 的 垂线 垂足为N 我们把点M到垂足N之 间的距离叫做点M和平面 的距离 直线l和平面 的距 离 设直线l平行于平面 在直线l上任取一 点M 我们把点M到平面 的距离叫做直 线l和平面 的距离 平面 和平面 的距 离 设平面 平行于平面 在平面 上任取一 点M 我们把点M到平面 的距离叫做平 面 和平面 的距离 异面直线a b的距 离 设直线a与直线b是异面直线 当点M N 分别在a b上 且直线MN既垂直于直线 a 又垂直于直线b时 我们把直线MN叫 做异面直线a b的公垂线 垂足M N之 间的距离叫做异面直线a和b的距离 上海数学培优孟老师联系电话 微信 QQ第 8页 共 22页 6 立体向量的相关问题 立体向量的相关问题 1 中点坐标公式 已知 111 A x y z 222 B xyz 若 M x y z是线段AB的中点 则有 12 12 12 2 2 2 xx x yy y zz z 2 异面直线所成的角 已知直线m的方向向量为 111 ax y z 直线n的方向向量为 222 bxyz 则 直线m与直线n所成的角 满足 121212 222222 111222 cos xxyyzza b abxyzxyz 3 平面的法向量 已知平面 的两个方向向量为 1111 dx y z 2222 dxyz 法向量为 nx y z 则 1 2 0 0 dn dn 即 111 222 0 0 x xy yz z x xy yz z 得到 x y z即可 4 直线与平面所成的角 已知直线AP的方向向量为 111 dx y z 平面 的法向量为 222 nxyz 则 直线AP与平面 所成的角 满足 121212 222222 111222 sin xxyyzzd n dnxyzxyz 5 二面角 平面与平面所成的角 基向量法 二面角ABDC 中 AEBD CFBD AC EF AE CF长度已知 则由 2 2 ACAEEFFC 可求出cos AE FC 从而求得 AE FC 则二面角ABDC 的大小为 AE FC 上海数学培优孟老师联系电话 微信 QQ第 9页 共 22页 法向量法 已知平面 的法向量为 1111 nx y z 平面 的法向量为 2222 nxyz 则 平面 与平面 所成的二面角 满足 12121212 222222 12 111222 cos n nxxyyzz nnxyzxyz 其中 号 可以结合具体情形加以判断 或者令 1 n 与 2 n 对于二面角的朝向相反 6 点到平面的距离 已知点P 平面 的法向量为 111 nx y z 则任取平面 上的点M 于是 点P到平面 的距离为 n PM n 7 异面直线间的距离 设异面直线AB CD间的距离为d 则 BC nBD nAC nAD n d nnnn 其中 n 满足0n AB 且0n CD 注意注意 异面直线间的距离问题在新课标中有所淡化 此公式仅作了解即可 要注意体会点到平面的 距离公式与该公式的联系 从而体会点面之距 异面直线之距间的相互转化 上海数学培优孟老师联系电话 微信 QQ第 10页 共 22页 十五 简单几何体十五 简单几何体 1 多面体 多面体 1 多面体的相关定义 概念定义 多面体由平面多边形 或三角形 围成的封闭体 多面体的面 F构成多面体的各平面多边形 或三角形 多面体的棱 E多面体相邻多边形 或三角形 的公共边 多面体的顶点 V棱与棱的交点 凸多面体欧拉公式2VFE 2 棱柱及其性质 棱锥及其性质 棱柱棱锥 定 义 1 有两个面互相平行 其余每相邻两个面的公共 边都互相平行的多面体叫做棱柱 其中 棱柱的两个相互平行的面叫做棱柱的底 面 其他的面叫做棱柱的侧面 棱柱的侧面都是 平行四边形 不在底面上的棱叫做棱柱的侧棱 两个底面间的距离叫做棱柱的高 2 底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体 3 侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱 4 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱 5 底面是矩形的直棱柱叫做长方体 6 所有棱长都相等的长方体叫做正方体 1 有一个面是多边形 其余各面是有一个公 共顶点的三角形的多面体叫做棱锥 其中 棱锥的多边形的面叫做棱锥的底面 其他的面叫做棱锥的侧面 棱锥的侧面都是三 角形 不在底面上的棱叫做棱锥的侧棱 侧棱 的公共点叫做棱锥的顶点 顶点与底面之间的 距离叫做棱锥的高 2 底面是正多边形 且顶点在底面的射影是 底面的中心 这样的棱锥叫做正棱锥 性 质 1 一般棱柱 1 侧棱平行且相等 2 侧面是平行四边形 3 两底面及平行于底面的截面是全等多边形 4 对角面是平行四边形 2 直棱柱 1 侧棱长等于高 2 侧面和对角面是矩形 3 正棱柱 1 侧面是全等的矩形 2 两底中心连线垂直于底面 1 一般棱锥 棱锥被平行于底面的平面所截 那么侧棱 和高被这个平面分成比例线段 所得截面与底 面相似 其面积比等于截得棱锥的高与已知棱 锥高的平方比 2 正棱锥 1 各侧棱相等 2 各侧面是全等的等腰三角形 3 各条高都相等 4 侧棱和底面所成的角相等 5 侧面与底面所成二面角相等 6 相邻两个侧面所成二面角相等 上海数学培优孟老师联系电话 微信 QQ第 11页 共 22页 3 立体图形图示 三棱柱ABCA B C 四棱柱ABCDA B C D 六棱柱ABCDEFA B C D E F 平行六面体ABCDA B C D 长方体ABCDA B C D 正方体ABCDA B C D 直三棱柱ABCA B C 直四棱柱ABCDA B C D 直五棱柱ABCDEA B C D E 正三棱柱ABCA B C 正四棱柱ABCDA B C D 正六棱柱 ABCDEFA B C D E F 三棱锥PABC 四棱锥PABCD 五棱锥PABCDE 上海数学培优孟老师联系电话 微信 QQ第 12页 共 22页 正三棱锥PABC 正四棱锥PABCD 正六棱锥PABCDE 4 斜二测 画图法的定义 规定按图所示的位置和夹角作三条轴分别表示铅垂方向 左右方向以及前后方向的轴 依 次把它们叫做z轴 y轴和x轴 规定在z轴和y轴方向上线段的长度与其表示的真实长度相等 而在x轴方向上 线段的长 度是其表示的真实长度的二分之一 用这种方法画的空间图形的直观图叫做斜二轴测图 这样的画图方法简称 斜二测 画图法 5 斜二测 画图法有两条重要性质 平行直线的斜二测图仍是平行直线 线段及其线段上定比分点的斜二测图保持原比例不变 上海数学培优孟老师联系电话 微信 QQ第 13页 共 22页 2 旋转体 旋转体 旋转体的定义 平面上一条封闭曲线所围成的区域绕着它所在平面上的一条定直线旋转而形成的几 何体叫做旋转体 该定直线叫做旋转体的轴 分类定义及其性质图形 圆柱 将矩形ABCD 及其内部 绕其一条边AB所在直线 旋转一周 所形成的几何体叫做圆柱 AB所在直线叫做圆柱的轴 线段AD和BC旋转而成 的圆面叫做圆柱的底面 线段CD旋转而成的曲面叫做圆 柱的侧面 CD叫做圆柱的一条母线 圆柱的两个底面间 的距离 即AB的长度 叫做圆柱的高 圆锥 将直角三角形ABC 及其内部 绕其一条直角边AB 所在直线旋转一周 所形成的几何体叫做圆锥 AB所在直线叫做圆锥的轴 点A叫做圆锥的顶点 直角边BC旋转而成的圆面叫做圆锥的底面 斜边AC旋转 而成的曲面叫做圆锥的侧面 斜边AC叫做圆锥的一条母 线 圆锥的顶点到底面间的距离 即AB的长度 叫做圆 锥的高 易知 圆锥有无穷多条母线 且所有母线相交于圆锥 的顶点 每条母线与轴的夹角都相等 球 将圆心为O的半圆 及其内部 绕其直径AB所在的 直线旋转一周 所形成的几何体叫做球 记作球O 半圆的圆弧所形成的曲面叫做球面 易知 点O到球 面上任意点的距离都相等 把点O称为球心 把原半圆的 半径和直径分别称为球的半径和球的直径 上海数学培优孟老师联系电话 微信 QQ第 14页 共 22页 3 几何体的表面积 几何体的表面积 1 直柱体的表面积 直棱柱的侧面积 Sch 侧 其中h和c分别是直棱柱的高和底面周长 直棱柱的表面积 2Sch 全 底面面积 其中h和c分别是直棱柱的高和底面周长 圆柱的侧面积 2Srh 侧 其中r和h是圆柱底面的半径和圆柱的高 圆柱的表面积 2 22Srhr 全 其中r和h是圆柱底面的半径和圆柱的高 2 椎体的表面积 正棱锥的侧面积 1 2 S ch 侧 其中c和 h 是正棱锥底面的周长和正棱锥侧面等腰三角形的高 也称斜高 正棱锥的表面积 1 2 Sch 全 底面面积 其中c和 h 是正棱锥底面的周长和侧面等腰三角形的高 也称斜高 圆锥的侧面 扇形 积 Srh 侧 其中r h 分别是圆锥底面半径和母线长 扇形的半径是圆锥的母线 扇形的弧长是圆锥的底面圆的周长 圆锥的表面积 2 Srhr 全 其中r h 分别是圆锥底面半径和母线长 注意 注意 直棱柱 圆柱的侧面积公式统一为Sch 柱 正棱锥 圆锥的侧面积公式统一为 1 2 S ch 锥 3 球的表面积 2 4Sr 其中r是球的半径 4 几何体的体积 几何体的体积 1 柱体的体积 祖暅原理 约在公元前 5 世纪 我国数学家祖暅在研究 开立圆术 中指出 夫叠棊成立 积 缘幂势既同 则积不容异 其意思是 体积可看成是由面积叠加而成 用一组平行平面截 两个空间图形 若在任意等高处的截面面积都对应相等 则两空间图形的体积必然相等 这一 论述被后人称为祖暅原理 棱柱的体积公式 VSh 棱柱 其中V棱柱 S和h分别表示棱柱的体积 底面面积和高 圆柱的体积公式 上海数学培优孟老师联系电话 微信 QQ第 15页 共 22页 2 Vrh 圆柱 其中r为圆柱底面的半径 h为圆柱的高 2 椎体的体积 等底等高的棱锥的体积相等 棱锥的体积公式 1 3 VSh 棱锥 其中V棱锥 S和h分别表示棱锥的体积 底面面积和高 圆锥的体积公式 2 1 3 Vr h 圆锥 其中r为圆锥底面的半径 h为圆锥的高 3 球的体积公式 3 4 3 Vr 球 其中r为球的半径 5 球面距离 球面距离 1 球面距离 在联结球面上两点的路径中 通过该两点的大圆劣弧最短 因此该弧的长度就是 这两点的球面距离 球面距离公式 ABR 其中A B为球O上的两点 且AOB R为球O的半径 2 纬度 某点与地球球心的连线和地球赤道面所成的线面角 其数值在 0 至 90 之间 位于赤 道以北的点的纬度叫北纬 记为N 位于赤道以南的点的纬度称南纬 记为S 3 经度 过地球上某点与南北极的大圆的半圆与本初子午线所在平面所形成的面面角 按国际 规定英国首都伦敦格林尼治天文台原址的那一条经线定为 0 经线 然后向左右延伸 而各地的 时区也由此划分 每 15 个经度便相差一个小时 上海数学培优孟老师联系电话 微信 QQ第 16页 共 22页 十六 排列组合与二项式定理十六 排列组合与二项式定理 一 排列组合 一 排列组合 1 计数原理 计数原理 I 乘法原理乘法原理 如果完成一件事需要n个步骤 第 1 步有 1 m种不同的方法 第 2 步有 2 m种不同的方法 第n 步有 n m种不同的方法 那么完成这件事共有 12n Nm mm 种不同的方法 2 排列 排列 1 一般地 从n个不同元素中取出 m mn 个元素 按照一定的次序排成一列 叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个排列 2 从n个不同元素中取出 m mn 个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元 素的排列数 用符号Pm n 表示 3 排列数公式 P 1 2 1 m n n n nnnm nm 特别地 当nm 时 P n n n 4 n的阶乘 1 2 3 2 1nnnn 易得1 1 2 2 3 6 4 24 5 120 6 720 3 计数原理 计数原理 II 加法原理 加法原理 如果完成一件事有n类办法 在第 1 类办法中有 1 m种不同的方法 在第 2 类办法中有 2 m种不同 的方法 在第n类办法中有 n m种不同的方法 那么完成这件事共有 12n Nmmm 种不同的 方法 4 组合 组合 1 一般地 从n个不同元素中取出 m mn 个元素组成一组 叫做从n个不同元素中取出m个 元素的一个组合 2 从n个不同元素中取出 m mn 个元素的所有组合的个数 叫做从n个不同元素中取出m个 元素的组合数 用符号Cm n表示 上海数学培优孟老师联系电话 微信 QQ第 17页 共 22页 3 组合数公式 一般地 对于从n个不同元素中取出m个元素的排列数Pm n 可看作由以下 2 个步骤得到的 第 1 步 先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合 共有Cm n种 第 2 步 求每一个组合中m个元素的全排列数Pm m 根据乘法原理 得到PCP mmm nnm 于是 有以下组合式公式 P 1 2 1 C P m m n n m n n nnnmn mm nm 4 组合数Cm n的性质 CC mn m nn 1 1 CCC mmm nnn 上海数学培优孟老师联系电话 微信 QQ第 18页 共 22页 二 二项式定理 二 二项式定理 1 一般地 对于任意正整数n有 011 1 CCCC nnnrn rrnn nnnn abaababbnN 这个公式所表示的定理叫做二项式定理 右边的多项式叫做 nab 的二项展开式 它一共有1n 项 其中各项的系数C 0 1 2 r n rn 叫做二项式系数 注意 二项式系数与系数是不同的 辨析 二项式系数之和为2n 各项系数之和为 nab 中的参变量都等于 1 的值 二项展开式的通项 1 Cr n rr rn Tab 2 二项式系数表 0 ab 1 1 ab 11 2 ab 121 3 ab 1331 4 ab 14641 5 ab 15101051 3 二项式系数的性质 nab 的二项展开式中 与首末两端 等距离 的两项的二项式系数相等 nab 的二项展开式中 所有二项式系数的和等于2n 将1ab 分别代入 nab 和它的二项展开式中 即有 012 2CC C C C nrn nnnnn nab 的二项展开式中 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 将1 1ab 代入 nab 和它的二项展开式中 即有 0221321 C C C C C C 0 1 2 rr nnnnnn r nab 的二项展开式中 当n为偶数时 中间一项的二项式系数 2 C n n取得最大值 当n为奇数时 中间两项的二项式系数 1 2 C n n 1 2 C n n 相等 且同时取得最大值 上海数学培优孟老师联系电话 微信 QQ第 19页 共 22页 十七 概率论初步十七 概率论初步 1 古典概型 古典概型 1 概率论是研究随机现象数量规律的数学分支 2 把一次试验可能出现的结果叫做基本事件 一次试验所有的基本事件只有有限个 每个基本事件出现的可能性相等 具有这两个特点的概率模型叫做古典概型 对于在一定条件下可能出现也可能不出现 具有 统计规律性的现象叫做随机现象 在概率论中 掷骰子 转硬币 都叫做试验 试验的结果叫 做随机事件 简称事件 用大写字母A B等来表示 基本事件本身也是随机事件 随机事件A出现的概率记作 P A 在古典概型中 事件A出现的概率定义为 A P A 事件 所包含的基本事件数 试验中所有的基本事件数 用集合语言表示 设 1 2 n 表示所有的基本事件 基本事件的集合记为 12 n 随机事件A看作是 的某个子集 则 A P A 所包含的 的个数 中元素 的总个数 3 必然事件 不可能事件 随机事件 把试验后必定出现的事件叫做必然事件 记作 把不可能出现的事件叫做不可能事件 记作 I 不可能事件的概率为零 即 0P II 必然事件的概率为 1 即 1P III 对任意随机事件E 有0 1P E IV 若 12 n 则 12 1 n PPP 上海数学培优孟老师联系电话 微信 QQ第 20页 共 22页 4 对立事件 设E和F是两个随机事件 把满足下列条件的E和F叫做对立事件 EF EF 在任何一次试验中 事件A要么出现 要么不出现 如果把事件A不出现记作事件A 那么 事件A与事件A互为对立事件 易知 1P AP A 事件A的对立事件A的集合语言表示为 AxAC A 2 几何概率模型 几何概率模型 E P E 出现区域或区间的几何度量 所考察整个区域或区间的几何度量 其中几何度量指区间长度或图形面积 3 频率与概率 频率与概率 1 频率 对于随机事件E 如果在n次试验中出现了m次 0 mn 那么m称为事件E出现的频数 m n 称为事件E出现的频率 实践证明 事件出现的频率常在该事件的概率 固定常数 附近摆动 这种规律性叫做频率 稳定性或随机现象的统计规律性 频率稳定性的含义 在大量试验中 事件出现的频率与其概率很接近 当试验次数无限增大时 事件出现的频率与概率相差较大的可能性趋近于 0 注意 在学习频率稳定性时 不能把概率作为当试验次数无限增大时频率的极限 在通常意 义上 来理解 这是概率论发展史上 有人曾经犯过的错误之一 2 大数定律 在掷一枚硬币时 既可能出现正面 也可能出现反面 预先作出确定性判断是不可能的 但 是假如硬币均匀 当试验次数增大时 频率值越来越稳定于 1 2 频率的这一性质叫做大数定律 大数定律可以解释成 频率在大数次试验中稳定于某一常数 概率 频率也叫做经验概率 计算频率通常是为了估计概率 上海数学培优孟老师联系电话 微信 QQ第 21页 共 22页 十八 基本统计方法十八 基本统计方法 1 总体和样本 总体和样本 1 总体和个体 在统计问题中 把研究对象的全体叫做总体 总体中的每一个对象叫做个体 2 总体分布 人口年龄的分布可以用频率直方图表示 从中看出各年龄段在总体中所占的比例 百分比 即总体 分布 3 总体的分类 有限总体 无限总体 4 有限总体的平