反比例函数知识点归纳(重点)

1 反比例函数知识点归纳和典型例题反比例函数知识点归纳和典型例题 基础知识 基础知识 一 反比例函数的概念 一 反比例函数的概念 1 可以写成 可以写成 的形式 注意自变量 的形式 注意自变量 x 的指数为的指数为 在解决有关自变量指数问 在解决有关自变量指数问 题时应特别注意系数题时应特别注意系数这一限制条件 这一限制条件 2 也可以写成 也可以写成 xy k 的形式 用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的的形式 用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的 k 从而得到反比例 从而得到反比例 函数的解析式 函数的解析式 3 反比例函数 反比例函数的自变量的自变量 故函数图象与 故函数图象与 x 轴 轴 y 轴无交点 轴无交点 二 反比例函数的图象 二 反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数在用描点法画反比例函数的图象时 应注意自变量的图象时 应注意自变量 x 的取值不能为的取值不能为0 且 且 x 应对称取点 关于原点对称 应对称取点 关于原点对称 三 反比例函数及其图象的性质 三 反比例函数及其图象的性质 1 函数解析式 函数解析式 2 自变量的取值范围 自变量的取值范围 3 图象 图象 1 图象的形状 双曲线 图象的形状 双曲线 越大 图象的弯曲度越小 曲线越平直 越大 图象的弯曲度越小 曲线越平直 越小 图象的弯曲度越大 越小 图象的弯曲度越大 2 图象的位置和性质 图象的位置和性质 与坐标轴没有交点 称两条坐标轴是双曲线的渐近线 与坐标轴没有交点 称两条坐标轴是双曲线的渐近线 当当时 图象的两支分别位于一 三象限 在每个象限内 时 图象的两支分别位于一 三象限 在每个象限内 y 随随 x 的增大而减小 的增大而减小 当当时 图象的两支分别位于二 四象限 在每个象限内 时 图象的两支分别位于二 四象限 在每个象限内 y 随随 x 的增大而增大 的增大而增大 3 对称性 图象关于原点对称 即若 对称性 图象关于原点对称 即若 a b 在双曲线的一支上 则 在双曲线的一支上 则 在双曲线的另一支上 在双曲线的另一支上 图象关于直线图象关于直线对称 即若 对称 即若 a b 在双曲线的一支上 则 在双曲线的一支上 则 和 和 在双曲线的另一支 在双曲线的另一支 上 上 2 4 k 的几何意义的几何意义 如图如图1 设点 设点 P a b 是双曲线 是双曲线上任意一点 作上任意一点 作 PA x 轴于轴于 A 点 点 PB y 轴于轴于 B 点 则矩形点 则矩形 PBOA 的的 面积是面积是 三角形 三角形 PAO 和三角形和三角形 PBO 的面积都是的面积都是 如图如图2 由双曲线的对称性可知 由双曲线的对称性可知 P 关于原点的对称点关于原点的对称点 Q 也在双曲线上 作也在双曲线上 作 QC PA 的延长线于的延长线于 C 则有三角形 则有三角形 PQC 的面积为的面积为 图图1 图图2 5 说明 说明 1 双曲线的两个分支是断开的 研究反比例函数的增减性时 要将两个 双曲线的两个分支是断开的 研究反比例函数的增减性时 要将两个 分支分别讨论 不能一概而论 分支分别讨论 不能一概而论 2 直线 直线与双曲线与双曲线的关系 的关系 当当时 两图象没有交点 当时 两图象没有交点 当时 两图象必有两个交点 且这两个交点关于原点成中心对时 两图象必有两个交点 且这两个交点关于原点成中心对 称 称 3 反比例函数与一次函数的联系 反比例函数与一次函数的联系 四 实际问题与反比例函数 四 实际问题与反比例函数 1 求函数解析式的方法 求函数解析式的方法 1 待定系数法 待定系数法 2 根据实际意义列函数解析式 根据实际意义列函数解析式 2 注意学科间知识的综合 但重点放在对数学知识的研究上 注意学科间知识的综合 但重点放在对数学知识的研究上 五 充分利用数形结合的思想解决问题 五 充分利用数形结合的思想解决问题 3 三 例题分析三 例题分析 1 反比例函数的概念 反比例函数的概念 1 下列函数中 下列函数中 y 是是 x 的反比例函数的是 的反比例函数的是 A y 3x B C 3xy 1 D 2 下列函数中 下列函数中 y 是是 x 的反比例函数的是 的反比例函数的是 A B C D 2 图象和性质 图象和性质 1 已知函数 已知函数是反比例函数 是反比例函数 若它的图象在第二 四象限内 那么若它的图象在第二 四象限内 那么 k 若若 y 随随 x 的增大而减小 那么的增大而减小 那么 k 2 已知一次函数 已知一次函数 y ax b 的图象经过第一 二 四象限 则函数的图象经过第一 二 四象限 则函数的图象位于第的图象位于第 象限 象限 3 若反比例函数 若反比例函数经过点 经过点 2 则一次函数 则一次函数的图象一定不经过第的图象一定不经过第 象限 象限 4 已知 已知 a b 0 点 点 P a b 在反比例函数 在反比例函数的图象上 的图象上 则直线则直线不经过的象限是 不经过的象限是 A 第一象限 第一象限 B 第二象限 第二象限 C 第三象限 第三象限 D 第四象限 第四象限 5 若 若 P 2 2 和 和 Q m 是反比例函数 是反比例函数图象上的两点 图象上的两点 则一次函数则一次函数 y kx m 的图象经过 的图象经过 A 第一 二 三象限 第一 二 三象限 B 第一 二 四象限 第一 二 四象限 C 第一 三 四象限 第一 三 四象限 D 第二 三 四象限 第二 三 四象限 6 已知函数 已知函数和和 k 0 它们在同一坐标系内的图象大致是 它们在同一坐标系内的图象大致是 4 A B C D 3 函数的增减性 函数的增减性 1 在反比例函数 在反比例函数的图象上有两点的图象上有两点 且 且 则 则的值为 的值为 A 正数 正数 B 负数 负数 C 非正数 非正数 D 非负数 非负数 2 在函数 在函数 a 为常数 的图象上有三个点为常数 的图象上有三个点 则函数值 则函数值 的大小关系是 的大小关系是 A B C D 3 下列四个函数中 下列四个函数中 y 随随 x 的增大而减小的函数有 的增大而减小的函数有 A 0个个 B 1个个 C 2个个 D 3个个 4 已知反比例函数 已知反比例函数的图象与直线的图象与直线 y 2x 和和 y x 1的图象过同一点 则当的图象过同一点 则当 x 0时 这个反比例函数的函时 这个反比例函数的函 数值数值 y 随随 x 的增大而的增大而 填 填 增大增大 或或 减小减小 注意 注意 3 中只有 中只有 是符合题意的 而是符合题意的 而 是在是在 每一个象限内每一个象限内 y 随随 x 的增大而减小 的增大而减小 4 解析式的确定 解析式的确定 1 若 若与与成反比例 成反比例 与与成正比例 则成正比例 则 y 是是 z 的 的 A 正比例函数 正比例函数 B 反比例函数 反比例函数 C 一次函数 一次函数 D 不能确定 不能确定 2 若正比例函数 若正比例函数 y 2x 与反比例函数与反比例函数的图象有一个交点为的图象有一个交点为 2 m 则 则 m k 它 它 们的另一个交点为们的另一个交点为 3 已知反比例函数 已知反比例函数的图象经过点的图象经过点 反比例函数 反比例函数的图象在第二 四象限 求的图象在第二 四象限 求的值 的值 4 已知一次函数 已知一次函数 y x m 与反比例函数与反比例函数 的图象在第一象限内的交点为 的图象在第一象限内的交点为 P x 0 3 5 求求 x 0的值 的值 求一次函数和反比例函数的解析式 求一次函数和反比例函数的解析式 5 为了预防 为了预防 非典非典 某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒 某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒 已知药物燃烧时 室内每立方米空气中的含药已知药物燃烧时 室内每立方米空气中的含药 量量 y 毫克 与时间 毫克 与时间 x 分钟 成正比例 药物燃烧完后 分钟 成正比例 药物燃烧完后 y 与与 x 成反比例 如图所示 成反比例 如图所示 现测得药物 现测得药物8分钟燃毕 分钟燃毕 此时室内空气中每立方米的含药量为此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克 毫克 请根据题中所提供的信息解答下列问题 请根据题中所提供的信息解答下列问题 药物燃烧时药物燃烧时 y 关于关于 x 的函数关系式为的函数关系式为 自变量 自变量 x 的取值范围是的取值范围是 药物燃烧后 药物燃烧后 y 关于关于 x 的函数关系式为的函数关系式为 研究表明 当空气中每立方米的含药量低于研究表明 当空气中每立方米的含药量低于1 6毫克时学生方可进教室 那么从消毒开始 至少需要经过毫克时学生方可进教室 那么从消毒开始 至少需要经过 分钟后 学生才能回到教室 分钟后 学生才能回到教室 研究表明 当空气中每立方米的含药量不低于研究表明 当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于毫克且持续时间不低于10 分钟时 才能有效杀灭空气中的病分钟时 才能有效杀灭空气中的病 菌 那么此次消毒是否有效 为什么 菌 那么此次消毒是否有效 为什么 3 依题意 依题意 且且 解得 解得 4 依题意 依题意 解得解得 一次函数解析式为一次函数解析式为 反比例函数解析式为 反比例函数解析式为 5 30 消毒时间为消毒时间为 分钟 分钟 所以消毒有效 所以消毒有效 5 面积计算 面积计算 1 如图 在函数 如图 在函数的图象上有三个点的图象上有三个点 A B C 过这三个点分别向 过这三个点分别向 x 轴 轴 y 轴作垂线 过每一点所作轴作垂线 过每一点所作 的两条垂线段与的两条垂线段与 x 轴 轴 y 轴围成的矩形的面积分别为轴围成的矩形的面积分别为 则 则 A B C D 6 第 第 1 题图 题图 第 第 2 题图 题图 2 如图 如图 A B 是函数是函数的图象上关于原点的图象上关于原点 O 对称的任意两点 对称的任意两点 AC y 轴 轴 BC x 轴 轴 ABC 的面积的面积 S 则 则 A S 1 B 1 S 2 C S 2 D S 2 3 如图 如图 Rt AOB 的顶点的顶点 A 在双曲线在双曲线上 且上 且 S AOB 3 求 求 m 的值 的值 第 第 3 题图 题图 第 第 4 题图 题图 4 已知函数 已知函数的图象和两条直线的图象和两条直线 y x y 2x 在第一象限内分别相交于在第一象限内分别相交于 P1和和 P2两点 过两点 过 P1分别作分别作 x 轴 轴 y 轴的垂线轴的垂线 P1Q1 P1R1 垂足分别为 垂足分别为 Q1 R1 过 过 P2分别作分别作 x 轴 轴 y 轴的垂线轴的垂