2014年全国中考数学试卷解析分类汇编：解直角三角形

本资料来自于资源最齐全的 世纪教育网 21 世纪教育网 中国最大型 最专业的中小学教育资源门户网站 版权所有 21 世纪教育网 解直角三角形 一 选择题 1 2014 浙江杭州 第 3 题 3 分 在直角三角形 ABC 中 已知 C 90 A 40 BC 3 则 AC A 3sin40 B 3sin50 C 3tan40 D 3tan50 考点 解直角三角形 分析 利用直角三角形两锐角互余求得 B 的度数 然后根据正切函数的定义即可求解 解答 解 B 90 A 90 40 50 又 tanB AC BC tanB 3tan50 故选 D 点评 本题考查了解直角三角形中三角函数的应用 要熟练掌握好边角之间的关系 2 2014 浙江杭州 第 10 题 3 分 已知 AD BC AB AD 点 E 点 F 分别在射线 AD 射线 BC 上 若点 E 与点 B 关于 AC 对称 点 E 与点 F 关于 BD 对称 AC 与 BD 相交 于点 G 则 21 教育名师原创作品 A 1 tan ADB B 2BC 5CFC AEB 22 DE F D 4cos AGB 考点 轴对称的性质 解直角三角形 分析 连接 CE 设 EF 与 BD 相交于点 O 根据轴对称性可得 AB AE 并设为 1 利用勾 股定理列式求出 BE 再根据翻折的性质可得 DE BF BE 再求出 BC 1 然后对各 选项分析判断利用排除法求解 解答 解 如图 连接 CE 设 EF 与 BD 相交于点 O 由轴对称性得 AB AE 设为 1 则 BE 点 E 与点 F 关于 BD 对称 DE BF BE AD 1 本资料来自于资源最齐全的 世纪教育网 21 世纪教育网 中国最大型 最专业的中小学教育资源门户网站 版权所有 21 世纪教育网 AD BC AB AD AB AE 四边形 ABCE 是正方形 BC AB 1 1 tan ADB 1 1 1 故 A 选项结论正确 CF BF BC 1 2BC 2 1 2 5CF 5 1 2BC 5CF 故 B 选项结论错误 AEB 22 45 22 67 在 Rt ABD 中 BD sin DEF DEF 67 故 C 选项结论错误 由勾股定理得 OE2 2 2 OE EBG AGB 90 EGB BEF 90 AGB BEF 又 BEF DEF 4cos AGB 故 D 选项结论错误 故选 A 点评 本题考查了轴对称的性质 解直角三角形 等腰直角三角形的判定与性质 正方形的 判定与性质 熟记性质是解题的关键 设出边长为 1 可使求解过程更容易理解 3 2014 江苏苏州 第 9 题 3 分 如图 港口 A 在观测站 O 的正东方向 OA 4km 某船 从港口 A 出发 沿北偏东 15 方向航行一段距离后到达 B 处 此时从观测站 O 处测得该船 位于北偏东 60 的方向 则该船航行的距离 即 AB 的长 为 本资料来自于资源最齐全的 世纪教育网 21 世纪教育网 中国最大型 最专业的中小学教育资源门户网站 版权所有 21 世纪教育网 A 4kmB 2kmC 2kmD 1 km 考点 解直角三角形的应用 方向角问题 分析 过点 A 作 AD OB 于 D 先解 Rt AOD 得出 AD OA 2 再由 ABD 是等腰直角 三角形 得出 BD AD 2 则 AB AD 2 解答 解 如图 过点 A 作 AD OB 于 D 在 Rt AOD 中 ADO 90 AOD 30 OA 4 AD OA 2 在 Rt ABD 中 ADB 90 B CAB AOB 75 30 45 BD AD 2 AB AD 2 即该船航行的距离 即 AB 的长 为 2km 故选 C 点评 本题考查了解直角三角形的应用 方向角问题 难度适中 作出辅助线构造直角三角形 是解题的关键 4 2014 山东山东临沂 第 13 题 3 分 如图 在某监测点 B 处望见一艘正在作业的渔船在南偏 西 15 方向的 A 处 若渔船沿北偏西 75 方向以 40 海里 小时的速度航行 航行半小时后到 达 C 处 在 C 处观测到 B 在 C 的北偏东 60 方向上 则 B C 之间的距离为 本资料来自于资源最齐全的 世纪教育网 21 世纪教育网 中国最大型 最专业的中小学教育资源门户网站 版权所有 21 世纪教育网 A 20 海里B 10海里C 20海里D 30 海里 考点 解直角三角形的应用 方向角问题 分析 如图 根据题意易求 ABC 是等腰直角三角形 通过解该直角三角形来求 BC 的长 度 解答 解 如图 ABE 15 DAB ABE DAB 15 CAB CAD DAB 90 又 FCB 60 CBE FCB CBA ABE CBE CBA 45 在直角 ABC 中 sin ABC BC 20海里 故选 C 点评 本题考查了解直角三角形的应用 方向角问题 解题的难点是推知 ABC 是等腰直角三 角形 5 2014 四川凉山州 第 5 题 4 分 如图 河堤横断面迎水坡 AB 的坡比是 1 堤 高 BC 10m 则坡面 AB 的长度是 2 1 c n j y A 15mB 20mC 20mD 10m 考点 解直角三角形的应用 坡度坡角问题 分析 在 Rt ABC 中 已知了坡面 AB 的坡比以及铅直高度 BC 的值 通过解直角三角形即可求出斜面 AB 的长 解答 解 Rt ABC 中 BC 10m tanA 1 AC BC tanA 10m 本资料来自于资源最齐全的 世纪教育网 21 世纪教育网 中国最大型 最专业的中小学教育资源门户网站 版权所有 21 世纪教育网 AB 20m 故选 C 点评 此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力 熟练运用勾股定理是解答本题的关键 2 3 4 5 6 7 8 二 填空题 1 2014 上海 第 12 题 4 分 已知传送带与水平面所成斜坡的坡度 i 1 2 4 如果它把物 体送到离地面 10 米高的地方 那么物体所经过的路程为 26 米 考点 解直角三角形的应用 坡度坡角问题 专题 应用题 分析 首先根据题意画出图形 根据坡度的定义 由勾股定理即可求得答案 解答 解 如图 由题意得 斜坡 AB 的坡度 i 1 2 4 AE 10 米 AE BD i BE 24 米 在 Rt ABE 中 AB 26 米 故答案为 26 点评 此题考查了坡度坡角问题 此题比较简单 注意掌握数形结合思想的应用 注意理解 坡度的定义 2 2014 山东潍坊 第 17 题 3 分 如图 某水平地面上建筑物的高度为 AB 在点 D 和 点 F 处分别竖立高是 2 米的 CD 和 EF 两标杆相隔 52 米 并且建筑物 AB 标杆 CD 和 EF 在同一竖直平面内 从标杆 CD 后退 2 米到点 G 处 在 G 处测得建筑物顶端 A 和标杆顶端 C 在同一条直线上 从标杆 FE 后退 4 米到点 H 处 在 H 处测得建筑物顶端 A 和标杆顶端 E 在同一条直线上 则建筑物的高是 米 21 世纪教育网版权所有 本资料来自于资源最齐全的 世纪教育网 21 世纪教育网 中国最大型 最专业的中小学教育资源门户网站 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cos30 即 PQ DP PC QC PQ PC 即PC PC 解得 PC 故答案为 点评 此题考查了含 30 度直角三角形的性质 锐角三角函数定义 熟练掌握直角三角形的 性质是解本题的关键 5 6 7 8 三 解答题 本资料来自于资源最齐全的 世纪教育网 21 世纪教育网 中国最大型 最专业的中小学教育资源门户网站 版权所有 21 世纪教育网 1 2014 四川巴中 第 27 题 9 分 如图 一水库大坝的横断面为梯形 ABCD 坝顶 BC 宽 6 米 坝高 20 米 斜坡 AB 的坡度 i 1 2 5 斜坡 CD 的坡角为 30 求坝底 AD 的长 度 精确到 0 1 米 参考数据 1 414 1 732 提示 坡度等于坡面的铅垂高度与 水平长度之比 考点 解直角三角形的应用 分析 过梯形上底的两个顶点向下底引垂线 得到两个直角三角形和一个矩形 利用相 应的性质求解即可 解答 作 BE AD CF AD 垂足分别为点 E F 则四边形 BCFE 是矩形 由题意得 BC EF 6 米 BE CF 20 米 斜坡 AB 的坡度 i 为 1 2 5 在 Rt ABE 中 BE 20 米 AE 50 米 在 Rt CFD 中 D 30 DF CFcot D 20米 AD AE EF FD 50 6 20 90 6 米 故坝底 AD 的长度约为 90 6 米 点评 本题考查了坡度及坡角的知识 解答本题的关键是构造直角三角形和矩形 注意 理解坡度与坡角的定义 2 2014 山东枣庄 第 21 题 8 分 如图 一扇窗户垂直打开 即 OM OP AC 是长度不 变的滑动支架 其中一端固定在窗户的点 A 处 另一端在 OP 上滑动 将窗户 OM 按图示 方向想内旋转 35 到达 ON 位置 此时 点 A C 的对应位置分别是点 B D 测量出 ODB 为 25 点 D 到点 O 的距离为 30cm 1 求 B 点到 OP 的距离 2 求滑动支架的长 结果精确到 1cm 参考数据 sin25 0 42 cos25 0 91 tan25 0 47 sin55 0 82 cos55 0 57 tan55 1 43 本资料来自于资源最齐全的 世纪教育网 21 世纪教育网 中国最大型 最专业的中小学教育资源门户网站 版权所有 21 世纪教育网 考点 解直角三角形的应用 分析 1 根据三角函数分别表示出 OE 和 DE 再根据点 D 到点 O 的距离 为 30cm 可列方程求解 2 在 Rt BDE 中 根据三角函数即可得到滑动支架的长 解答 解 1 在 Rt BOE 中 OE 在 Rt BDE 中 DE 则 30 解得 BE 10 6cm 故 B 点到 OP 的距离大约为 10 6cm 2 在 Rt BDE 中 BD 25 3cm 故滑动支架的长 25 3cm 点评 此题考查了解直角三角形的应用 主要是三角函数的基本概念及运算 关键是运用数学知识解决实际问题 3 2014 山东潍坊 第 21 题 10 分 如图 某海域有两个海拔均为 200 米的海岛 A 和海岛 B 一勘测飞机在距离海平面垂直高度为 1100 米的空中飞行 飞行到点 C 处时测得正前方 一海岛顶端 A 的俯角是 450 然后 沿平行于 AB 的方向水平飞行 1 99 104米到达点 D 处 在 D 处测得正前方另一海岛顶端 B 的俯角是 600 求两海岛间的距离 AB 本资料来自于资源最齐全的 世纪教育网 21 世纪教育网 中国最大型 最专业的中小学教育资源门户网站 版权所有 21 世纪教育网 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 分析 首先过点 A 作 AE CD 于点 E 过点 B 作 BF CD 于点 F 易得四边形 ABFE 为矩形 根据矩形的性质 可得 AB EF AE BF 由题意可知 AE BF 100 米 CD 500 米 然后 分别在 Rt AEC 与 Rt BFD 中 利用三角函数即可求得 CE 与 DF 的长 继而求得岛屿两端 A B 的距离 来源 21 世纪 教育 网 解答 如图 过点 A 作 AE CD 于点 E 过点 B 作 BF 上 CD 交 CD 的延长线于点 F 则四边形 ABFE 为矩形 所以 AB EF AE BF 由题意可知 AE BF 1100 200 900 CD 19900 在 Rt AEC 中 C 450 AE 900 900 45tan 900 tan 0 C AE CE 在 Rt BFD 中 BDF 600 BF 900 BF 900 3300 60tan 900 tan 0 BDF BF DF AB EF CD DF CE 19900 3300 900 19000 3300 答 两海岛之间的距离 AB 是 19000 300 3 米 点评 此题考查了俯角的定义 解直角三角形与矩形的性质 注意能借助俯角构造直角三角 形并解直角三角形是解此题的关键 注意数形结合思想的应用 版权所有 21 教育 4 2014 山东烟台 第 21 题 7 分 小明坐于堤边垂钓 如图 河堤 AC 的坡角为 30 AC 长米 钓竿 AO 的倾斜角是 60 其长为 3 米 若 AO 与钓鱼线 OB 的夹角为 60 求浮漂 B 与河堤下端 C 之间的距离 考点 解直角三角形的应用 分析 延长 OA 交 BC 于点 D 先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出 CAD 180 ODB ACD 90 解 Rt ACD 得出 AD AC tan ACD 米 CD 2AD 3 米 再证明 BOD 是等边三角形 得到 BD OD OA AD 4 5 米 然后根据 BC BD CD 即可 求出浮漂 B 与河堤下端 C 之间的距离 www 21 cn 解答 延长 OA 交 BC 于点 D AO 的倾斜角是 60 ODB 60 ACD 30 CAD 180 ODB ACD 90 本资料来自于资源最齐全的 世纪教育网 21 世纪教育网 中国最大型 最专业的中小学教育资源门户网站 版权所有 21 世纪教育网 在 Rt ACD 中 AD AC tan ACD 米 CD 2AD 3 米 又 O 60 BOD 是等边三角形 BD OD OA AD 3 4 5 米 BC BD CD 4 5 3 1 5 米 答 浮漂 B 与河堤下端 C 之间的距离为 1 5 米 点评 本题考查了解直角三角形的应用 坡度坡角问题 作出辅助线得到 Rt ACD 是解题 的关键 5 2014 湖南怀化 第 21 题 10 分 两个城镇 A B 与两条公路 ME MF 位置如图所示 其中 ME 是东西方向的公路 现电信部门需在 C 处修建一座信号发射塔 要求发射塔到两 个城镇 A B 的距离必须相等 到两条公路 ME MF 的距离也必须相等 且在 FME 的内 部 1 那么点 C 应选在何处 请在图中 用尺规作图找出符合条件的点 C 不写已知 求 作 作法 只保留作图痕迹 2 设 AB 的垂直平分线交 ME 于点 N 且 MN 2 1 km 在 M 处测得点 C 位于点 M 的北偏东 60 方向 在 N 处测得点 C 位于点 N 的北偏西 45 方向 求点 C 到公路 ME 的 距离 考点 解直角三角形的应用 方向角问题 作图 应用与设计作图 分析 1 到城镇 A B 距离相等的点在线段 AB 的垂直平分线上 到两条公路距离相等 的点在两条公路所夹角的角平分线上 分别作出垂直平分线与角平分线 它们的交点 即为所求作的点 C 2 作 CD MN 于点 D 由题意得 CMN 30 CND 45 分别在 Rt CMD 中 和 Rt CND 中 用 CD 表示出 MD 和 ND 的长 从而求得 CD 的长即可 解答 解 1 答图如图 本资料来自于资源最齐全的 世纪教育网 21 世纪教育网 中国最大型 最专业的中小学教育资源门户网站 版权所有 21 世纪教育网 2 作 CD MN 于点 D 由题意得 CMN 30 CND 45 在 Rt CMD 中 tan CMN MD 在 Rt CND 中 tan CNM ND CD MN 2 1 km MN MD DN CD CD 2 1 km 解得 CD 2km 点 C 到公路 ME 的距离为 2km 点评 本题考查了解直角三角形的应用及尺规作图 正确的作出图形是解答本题的关键 难 度不大 6 2014 湖南张家界 第 21 题 8 分 如图 我渔政 310 船在南海海面上沿正东方向匀速 航行 在 A 点观测到我渔船 C 在北偏东 60 方向的我国某传统渔场捕鱼作业 若渔政 310 船航向不变 航行半小时后到达 B 点 观测到我渔船 C 在东北方向上 问 渔政 310 船再 按原航向航行多长时间 离渔船 C 的距离最近 渔船 C 捕鱼时移动距离忽略不计 结果 不取近似值 本资料来自于资源最齐全的 世纪教育网 21 世纪教育网 中国最大型 最专业的中小学教育资源门户网站 版权所有 21 世纪教育网 考点 解直角三角形的应用 方向角问题 分析 首先作 CD AB 交 AB 的延长线于 D 则当渔政 310 船航行到 D 处时 离渔政船 C 的距离最近 进而表示出 AB 的长 再利用速度不变得出等式求出即可 解答 解 作 CD AB 交 AB 的延长线于 D 则当渔政 310 船航行到 D 处时 离渔政船 C 的距离最近 设 CD 长为 x 在 Rt ACD 中 ACD 60 tan ACD AD x 在 Rt BCD 中 CBD BCD 45 BD CD x AB AD BD x x 1 x 设渔政船从 B 航行到 D 需要 t 小时 则 1 t 0 5 解得 t t 答 渔政 310 船再按原航向航行小时后 离渔船 C 的距离最近 本资料来自于资源最齐全的 世纪教育网 21 世纪教育网 中国最大型 最专业的中小学教育资源门户网站 版权所有 21 世纪教育网 点评 此题主要考查了方向角问题以及锐角三角函数关系等知识 利用渔政船速度不变得出 等式是解题关键 7 2014 江西抚州 第 21 题 9 分 如图 1 所示的晾衣架 支架主视图的基本图形是菱 形 其示意图如图 2 晾衣架伸缩时 点在射线上滑动 的大小也随之发生变GDPCED 化 已知每个菱形边长均等于 20cm 且 20cm 21 cn jy comAHDEEG 图 1图 2 当 60 时 求两点间的距离 CEDC D 当 由 60 变为 120 时 点向左移动了多少 cm 结果精确到 0 1cm CEDA 设cm 当 的变化范围为 60 120 包括端点值 时 求的取值范围 DGx CEDx 结果精确到 0 1cm 21 世纪 教育网 参考数据 可使用科学计算器 31 732 解析 1 如图 1 每个菱形的边长都是 20 且 DE 20 CE DE CED 60 CED 是等边三角形 CD 20cm C D 两点之间的距离是 20cm 2 如图 2 作 EH CD 于 H 在 CED 中 CE DE 本资料来自于资源最齐全的 世纪教育网 21 世纪教育网 中国最大型 最专业的中小学教育资源门户网站 版权所有 21 世纪教育网 CED 120 ECD 30 EH CE 10 1 2 CH 10 CD 20 33 点 C 向左移动了 20 20 3 点 A 向左移动了 20 20 3 43 9cm 3 3 如图 1 当 CED 60 时 ED EG CGD 30 在 Rt CGD 中 CG 40 D G C G cos 30 DG 20 34 6 3 如图 2 当 CED 120 时 CGD 60 DG CG 20 20 34 6 1 2 x 8 2014 山东聊城 第 21 题 8 分 如图 美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城而过 沿河两 岸的滨河大道和风景带称为我市的一道新景观 在数学课外实践活动中 小亮在河西岸滨河 大道一段 AC 上的 A B 两点处 利用测角仪分别对东岸的观景台 D 进行了测量 分别测得 DAC 60 DBC 75 又已知 AB 100 米 求观景台 D 到徒骇河西岸 AC 的距离约为多 少米 精确到 1 米 tan60 1 73 tan75 3 73 考点 解直角三角形的应用 分析 如图 过点 D 作 DE AC 于点 E 通过解 Rt EAD 和 Rt EBD 分别求得 AE BE 的长度 然后根据图示知 AB AE BE 100 把相关线段的长度代入列出关于 ED 的 方程 100 通过解该方程求得 ED 的长度 解答 解 如图 过点 D 作 DE AC 于点 E 在 Rt EAD 中 DAE 60 tan60 本资料来自于资源最齐全的 世纪教育网 21 世纪教育网 中国最大型 最专业的中小学教育资源门户网站 版权所有 21 世纪教育网 AE 同理 在 Rt EBD 中 得到 EB 又 AB 100 米 AE EB 100 米 即 100 则 ED 323 米 答 观景台 D 到徒骇河西岸 AC 的距离约为 323 米 点评 本题考查了解直角三角形的应用 主要是正切概念及运算 关键把实际问题转化为数 学问题加以计算 9 2014 年贵州黔东南 黔东南州 22 10 分 某校九年级某班开展数学活动 小明和小军合 作用一副三角板测量学校的旗杆 小明站在 B 点测得旗杆顶端 E 点的仰角为 45 小军站在 点 D 测得旗杆顶端 E 点的仰角为 30 已知小明和小军相距 BD 6 米 小明的身高 AB 1 5 米 小军的身高 CD 1 75 米 求旗杆的高 EF 的长 结果精确到 0 1 参考数 据 1 41 1 73 2 1 c n j y 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 21 世纪教育网 分析 过点 A 作 AM EF 于 M 过点 C 作 CN EF 于 N 则 MN 0 25m 由小明站在 B 点测得旗杆顶端 E 点的仰角为 45 可得 AEM 是等腰直角三角形 继而得出得出 AM ME 设 AM ME xm 则 CN x 6 m EN x 0 25 m 在 Rt CEN 中 由 tan ECN 代入 CN EN 解方程求出 x 的值 继而可求得旗杆的高 EF 解答 解 过点 A 作 AM EF 于 M 过点 C 作 CN EF 于 N MN 0 25m 本资料来自于资源最齐全的 世纪教育网 21 世纪教育网 中国最大型 最专业的中小学教育资源门户网站 版权所有 21 世纪教育网 EAM 45 AM ME 设 AM ME xm 则 CN x 6 m EN x 0 25 m ECN 30 tan ECN 解得 x 8 8 则 EF EM MF 8 8 1 5 10 3 m 答 旗杆的高 EF 为 10 3m 点评 本题考查了解直角三角形的问题 该题是一个比较常规的解直角三角形问题 建立 模型比较简单 但求解过程中涉及到根式和小数 算起来麻烦一些 10 2014 遵义 21 8 分 如图 一楼房 AB 后有一假山 其坡度为 i 1 山坡坡面 上 E 点处有一休息亭 测得假山坡脚 C 与楼房水平距离 BC 25 米 与亭子距离 CE 20 米 小丽从楼房顶测得 E 点的俯角为 45 求楼房 AB 的高 注 坡度 i 是指坡面的铅直高度与 水平宽度的比 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 解直角三角形的应用 坡度坡角问题 专题 应用题 分析 过点 E 作 EF BC 的延长线于 F EH AB 于点 H 根据 CE 20 米 坡度为 i 1 分别求出 EF CF 的长度 在 Rt AEH 中求出 AH 继而可得楼房 AB 的 高 解答 解 过点 E 作 EF BC 的延长线于 F EH AB 于点 H 在 Rt CEF 中 i tan ECF ECF 30 本资料来自于资源最齐全的 世纪教育网 21 世纪教育网 中国最大型 最专业的中小学教育资源门户网站 版权所有 21 世纪教育网 EF CE 10 米 CF 10米 BH EF 10 米 HE BF BC CF 25 10 米 在 Rt AHE 中 HAE 45 AH HE 25 10 米 AB AH HB 35 10 米 答 楼房 AB 的高为 35 10 米 点评 本题考查了解直角三角形的应用 涉及仰角俯角及坡度坡角的知识 构造直角三角形 是解题关键 11 2014 十堰 15 3 分 如图 轮船在 A 处观测灯塔 C 位于北偏西 70 方向上 轮船从 A 处以每小时 20 海里的速度沿南偏西 50 方向匀速航行 1 小时后到达码头 B 处 此时 观 测灯塔 C 位于北偏西 25 方向上 则灯塔 C 与码头 B 的距离是 24 海里 结果精确到个 位 参考数据 1 4 1 7 2 4 考点 解直角三角形的应用 方向角问题 分析 作 BD AC 于点 D 在直角 ABD 中 利用三角函数求得 BD 的长 然后在直角 BCD 中 利用三角函数即可求得 BC 的长 解答 解 CBA 25 50 75 作 BD AC 于点 D 则 CAB 90 70 90 50 20 40 60 ABD 30 CBD 75 35 45 在直角 ABD 中 BD AB sin CAB 20 sin60 20 10 在直角 BCD 中 CBD 45 则 BC BD 10 10 10 2 4 24 海里 本资料来自于资源最齐全的 世纪教育网 21 世纪教育网 中国最大型 最专业的中小学教育资源门户网站 版权所有 21 世纪教育网 故答案是 24 点评 本题主要考查了方向角含义 正确求得 CBD 以及 CAB 的度数是解决本题的关 键 12 2014 娄底 22 8 分 如图 有小岛 A 和小岛 B 轮船以 45km h 的速度由 C 向东航 行 在 C 处测得 A 的方位角为北偏东 60 测得 B 的方位角为南偏东 45 轮船航行 2 小时 后到达小岛 B 处 在 B 处测得小岛 A 在小岛 B 的正北方向 求小岛 A 与小岛 B 之间的距 离 结果保留整数 参考数据 1 41 2 45 出处 21 教育名师 考点 解直角三角形的应用 方向角问题 分析 先过点 C 作 CP AB 于 P 根据已知条件求出 PCB PBC 45 CAP 60 再根 据轮船的速度和航行的时间求出 BC 的值 在 Rt PCB 中 根据勾股定理求出 BP CP 的值 再根据特殊角的三角函数值求出 AP 的值 最后根据 AB AP PB 即 可求出答案 解答 解 过点 C 作 CP AB 于 P BCF 45 ACE 60 AB EF PCB PBC 45 CAP 60 轮船的速度是 45km h 轮船航行 2 小时 BC 90 BC2 BP2 CP2 BP CP 45 CAP 60 tan60 AP 15 AB AP PB 15 45 15 2 45 45 1 41 100 km 答 小岛 A 与小岛 B 之间的距离是 100km 本资料来自于资源最齐全的 世纪教育网 21 世纪教育网 中国最大型 最专业的中小学教育资源门户网站 版权所有 21 世纪教育网 点评 本题考查的是解直角三角形的应用 根据题意作出辅助线 构造出直角三角形 利用 锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键 13 20142014 年河南年河南 19 9 分 在中俄 海上联合 2014 反潜演习中 我军舰 A 测得潜艇 C 的俯角为 300 位于 军舰 A 正上方 1000 米的反潜直升机 B 侧得潜艇 C 的俯 角为 680 试根据以上数据求出潜艇 C 离开海平面的下 潜深度 结果保留整数 参考数据 sin680 0 9 cos680 0 4 tan680 2 5 3 1 7 21 cnjy com 解 过点 C 作 CD AB 交 BA 的延长线于点 D 则 AD 即为潜艇 C 的下潜深度 根据题意得 ACD 300 BCD 680 设 AD x 则 BD BA 十 AD 1000 x 在 Rt ACD 中 CD 0 x 3x tantan30 AD ACD 4 分 在 Rt BCD 中 BD CD tan688 1000 x 3x tan688 7 分 x 0 10001000 308 1 7 2 5 13tan681 潜艇 C 离开海平面的下潜深度约为 308 米 9 分 14 2014 江苏徐州 第 25 题 8 分 如图 轮船从点 A 处出发 先航行至位于点 A 的南偏 西 15 且点 A 相距 100km 的点 B 处 再航行至位于点 A 的南偏东 75 且与点 B 相距 200km 的点 C 处 1 求点 C 与点 A 的距离 精确到 1km 2 确定点 C 相对于点 A 的方向 参考数据 1 414 1 732 平 平 平 300 680 D B A C 本资料来自于资源最齐全的 世纪教育网 21 世纪教育网 中国最大型 最专业的中小学教育资源门户网站 版权所有 21 世纪教育网 考点 解直角三角形的应用 方向角问题 21 世纪教育网 分析 1 作辅助线 构造直角三角形 解直角三角形即可 2 利用勾股定理的逆定理 判定 ABC 为直角三角形 然后根据方向角的定义 即可确 定点 C 相对于点 A 的方向 21 教育网 解答 解 1 如右图 过点 A 作 AD BC 于点 D 由图得 ABC 75 10 60 在 Rt ABD 中 ABC 60 AB 100 BD 50 AD 50 CD BC BD 200 50 150 在 Rt ACD 中 由勾股定理得 AC 100 173 km 答 点 C 与点 A 的距离约为 173km 2 在 ABC 中 AB2 AC2 1002 100 2 40000 BC2 2002 40000 AB2 AC2 BC2 BAC 90 CAF BAC BAF 90 15 75 答 点 C 位于点 A 的南偏东 75 方向 点评 考查了解直角三角形的应用 方向角问题 关键是熟练掌握勾股定理 体现了数学 应用于实际生活的思想 15 2014 江苏盐城 第 23 题 10 分 盐城电视塔是我市标志性建筑之一 如图 在一次数 学课外实践活动中 老师要求测电视塔的高度 AB 小明在 D 处用高 1 5m 的测角仪 CD 测 本资料来自于资源最齐全的 世纪教育网 21 世纪教育网 中国最大型 最专业的中小学教育资源门户网站 版权所有 21 世纪教育网 得电视塔顶端 A 的仰角为 30 然后向电视塔前进 224m 到达 E 处 又测得电视塔顶端 A 的 仰角为 60 求电视塔的高度 AB 取 1 73 结果精确到 0 1m 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 分析 设 AG x 分别在 Rt AFG 和 Rt ACG 中 表示出 CG 和 GF 的长度 然后根据 DE 224m 求出 x 的值 继而可求出电视塔的高度 AB 解答 解 设 AG x 在 Rt AFG 中 tan AFG FG 在 Rt ACG 中 tan ACG CG x x 224 解得 x 193 8 则 AB 193 8 1 5 195 3 米 答 电视塔的高度 AB 约为 195 3 米 点评 本题考查了解直角三角形的应用 关键是根据仰角构造直角三角形 利用三角函数求 解 注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法 16 2014 年山东东营 第 22 题 8 分 热气球的探测器显示 从热气球底部 A 处看一栋高楼顶 部的仰角为 30 看这栋楼底部的俯角为 60 热气球 A 处与高楼的水平距离为 120m 这栋 高楼有多高 1 732 结果保留小数点后一位 本资料来自于资源最齐全的 世纪教育网 21 世纪教育网 中国最大型 最专业的中小学教育资源门户网站 版权所有 21 世纪教育网 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 21 世纪教育网 分析 过 A 作 AD BC 垂足为 D 在直角 ABD 与直角 ACD 中 根据三角函数即可 求得 BD 和 CD 即可求解 解答 解 过 A 作 AD BC 垂足为 D 在 Rt ABD 中 BAD 30 AD 120m BD AD tan30 120 40m 在 Rt ACD 中 CAD 60 AD 120m CD AD tan60 120 120m BC 40 277 12 277 1m 答 这栋楼高约为 277 1m 点评 本题主要考查了仰角与俯角的计算 一般三角形的计算 常用的方法是利用作高线 转化为直角三角形的计算 17 2014 四川遂宁 第 22 题 10 分 如图 根据图中数据完成填空 再按要求答题 sin2A1 sin2B1 1 sin2A2 sin2B2 1 sin2A3 sin2B3 1 本资料来自于资源最齐全的 世纪教育网 21 世纪教育网 中国最大型 最专业的中小学教育资源门户网站 版权所有 21 世纪教育网 1 观察上述等式 猜想 在 Rt ABC 中 C 90 都有 sin2A sin2B 1 2 如图 在 Rt ABC 中 C 90 A B C 的对边分别是 a b c 利用三 角函数的定义和勾股定理 证明你的猜想 3 已知 A B 90 且 sinA 求 sinB 考点 勾股定理 互余两角三角函数的关系 解直角三角形 分析 1 由前面的结论 即可猜想出 在 Rt ABC 中 C 90 都有 sin2A sin2B 1 2 在 Rt ABC 中 C 90 利用锐角三角函数的定义得出 sinA sinB 则 sin2A sin2B 再根据勾股定理得到 a2 b2 c2 从而证明 sin2A sin2B 1 3 利用关系式 sin2A sin2B 1 结合已知条件 sinA 进行求解 解答 解 1 1 2 如图 在 Rt ABC 中 C 90 sinA sinB sin2A sin2B ADB 90 BD2 AD2 AB2 sin2A cos2A 1 3 sinA sin2A sin2B 1 sinB 点评 本题考查了在直角三角形中互为余角三角函数的关系 勾股定理 锐角三角函数的定 义 比较简单 18 2014 四川泸州 第 22 题 8 分 海中两个灯塔 A B 其中 B 位于 A 的正东方向上 渔船跟踪鱼群由西向东航行 在点 C 处测得灯塔 A 在西北方向上 灯塔 B 在北偏东 30 方 向上 渔船不改变航向继续向东航行 30 海里到达点 D 这是测得灯塔 A 在北偏西 60 方向 上 求灯塔 A B 间的距离 计算结果用根号表示 不取近似值 本资料来自于资源最齐全的 世纪教育网 21 世纪教育网 中国最大型 最专业的中小学教育资源门户网站 版权所有 21 世纪教育网 考点 解直角三角形的应用 方向角问题 分析 根据方向角的定义以及锐角三角函数关系得出 AN NC 的长进而求出 BN 即可得出答 案 解答 解 如图所示 由题意可得出 FCA ACN 45 NCB 30 ADE 60 过点 A 作 AF FD 垂足为 F 则 FAD 60 FAC FCA 45 ADF 30 AF FC AN NC 设 AF FC x tan30 解得 x 15 1 tan30 解得 BN 15 5 AB AN BN 15 1 15 5 30 20 答 灯塔 A B 间的距离为 30 20 海里 点评 此题主要考查了方向角以及锐角三角函数关系 得出 NC 的长是解题关键 19 2014 四川内江 第 20 题 9 分 马航事件 的发生引起了我国政府的高度重视 迅 速派出了舰船和飞机到相关海域进行搜寻 如图 在一次空中搜寻中 水平飞行的飞机观测 本资料来自于资源最齐全的 世纪教育网 21 世纪教育网 中国最大型 最专业的中小学教育资源门户网站 版权所有 21 世纪教育网 得在点 A 俯角为 30 方向的 F 点处有疑似飞机残骸的物体 该物体视为静止 为了便于观 察 飞机继续向前飞行了 800 米到达 B 点 此时测得点 F 在点 B 俯角为 45 的方向上 请你 计算当飞机飞临 F 点的正上方点 C 时 点 A B C 在同一直线上 竖直高度 CF 约为多少 米 结果保留整数 参考数值 1 7 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 分析 易得 BC CF 那么利用 30 的正切值即可求得 CF 长 解答 解 BDC 90 DBC 45 BC CF CAF 30 tan30 解得 CF 400 400 400 1 7 1 1080 米 答 竖直高度 CF 约为 1080 米 点评 此题考查了考查俯角的定义 要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角 形 注意方程思想与数形结合思想的应用 20 2014 四川南充 第 22 题 8 分 马航 MH370 失联后 我国政府积极参与搜救 某日 我两艘专业救助船 A B 同时收到有关可疑漂浮物的讯息 可疑漂浮物 P 在救助船 A 的北偏 东 53 50 方向上 在救助船 B 的西北方向上 船 B 在船 A 正东方向 140 海里处 参考数据 sin36 5 0 6 cos36 5 0 8 tan36 5 0