【人教版】八年级下数学第17章《勾股定理》单元训练(含答案)

精品文档 1欢迎下载 第第 1717 章章 勾股定理勾股定理 专项训练专项训练 专训专训 1 1 巧用勾股定理求最短路径的长巧用勾股定理求最短路径的长 名师点金 求最短距离的问题 第一种是通过计算比较解最短问题 第二种是平面图 形 将分散的条件通过几何变换 平移或轴对称 进行集中 然后借助勾股定理 解决 第三种是立体图形 将立体图形展开为平面图形 在平面图形中将路程 转化为两点间的距离 然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程 距离 用计算法求平面中最短问题 1 1 如图 学校有一块长方形花圃 有极少数人从 A 走到 B 为了避免拐角 C 走 捷径 在花圃内走出了一条 路 他们仅仅少走了 步路 假 设 2 步为 1 m 却踩伤了花草 第 1 题 2 2 小明听说 武黄城际列车 已经开通 便设计了如下问题 如图 以往 从黄石 A 坐客车到武昌客运站 B 现在可以在黄石 A 坐 武黄城际列车 到武 汉青山站 C 再从青山站 C 坐市内公共汽车到武昌客运站 B 设 AB 80 km BC 20 km ABC 120 请你帮助小明解决以下问题 1 求 A C 之间的距离 参考数据 4 6 21 2 若客车的平均速度是 60 km h 市内的公共汽车的平均速度为 40 km h 武黄城际列车 的平均速度为 180 km h 为了在最短时间内到达武昌 客运站 小明应选择哪种乘车方案 请说明理由 不计候车时间 第 2 题 用平移法求平面中最短问题 3 3 如图是一个三级台阶 它的每一级的长 宽和高分别是 50 cm 30 cm 10 cm A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点 A 点上有一只壁虎 它想到 B 点去吃可口的食物 请你想一想 这只壁虎从 A 点出发 沿着台阶面爬到 B 点 至少需爬 精品文档 2欢迎下载 A 13 cm B 40 cm C 130 cm D 169 cm 第 3 题 第 4 题 4 4 如图 已知 B C D E 90 且 AB CD 3 BC 4 DE EF 2 则 AF 的长是 用对称法求平面中最短问题 5 5 如图 在正方形 ABCD 中 AB 边上有一点 E AE 3 EB 1 在 AC 上有 一点 P 使 EP BP 最短 求 EP BP 的最短长度 第 5 题 6 6 高速公路的同一侧有 A B 两城镇 如图 它们到高速公路所在直线 MN 的距离分别为 AA 2 km BB 4 km A B 8 km 要在高速公路上 A B 之间建一个出口 P 使 A B 两城镇到 P 的距离之和最小 求这个最短 距离 第 6 题 精品文档 3欢迎下载 用展开法求立体图形中最短问题 类型 1 1 圆柱中的最短问题 第 7 题 7 7 如图 已知圆柱体底面圆的半径为 高为 2 AB CD 分别是两底面的 2 直径 若一只小虫从 A 点出发 沿圆柱侧面爬行到 C 点 则小虫爬行的最短路 线的长度是 结果保留根号 类型 2 2 圆锥中的最短问题 8 8 已知 如图 观察图形回答下面的问题 1 此图形的名称为 2 请你与同伴一起做一个这样的物体 并把它沿 AS 剪开 铺在桌面上 则它的侧面展开图是一个 3 如果点 C 是 SA 的中点 在 A 处有一只蜗牛 在 C 处恰好有蜗牛想吃的 食品 但它又不能直接沿 AC 爬到 C 处 只能沿此立体图形的表面爬行 你能在 侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗 4 SA 的长为 10 侧面展开图的圆心角为 90 请你求出蜗牛爬行的最短 路程 第 8 题 类型 3 3 正方体中的最短问题 9 9 如图 一个正方体木柜放在墙角处 与墙面和地面均没有缝隙 有一只 蚂蚁从柜角 A 处沿着木柜表面爬到柜角 C1处 1 请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能 精品文档 4欢迎下载 路径 2 当正方体木柜的棱长为 4 时 求蚂蚁爬过的最短路径的长 第 9 题 类型 4 4 长方体中的最短问题 1010 如图 长方体盒子的长 宽 高分别是 12 cm 8 cm 30 cm 在 AB 的中点 C 处有一滴蜜糖 一只小虫从 E 处沿盒子表面爬到 C 处去吃 求小虫爬 行的最短路程 第 10 题 专训专训 2 2 巧用勾股定理解折叠问题巧用勾股定理解折叠问题 名师点金 折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形绕着折线翻折能够完全重合 解答折叠问题就是巧用轴对称及全等的性质解答折叠中的变化规律 利用勾股 定理解答折叠问题的一般步骤 1 运用折叠图形的性质找出相等的线段或角 2 在图形中找到一个直角三角形 然后设图形中某一线段的长为 x 将此直角 三角形的三边长用数或含有 x 的代数式表示出来 3 利用勾股定理列方程求出 x 4 进行相关计算解决问题 巧用全等法求折叠中线段的长 1 1 中考 泰安 如图 是一直角三角形纸片 A 30 BC 4 cm 将其 折叠 使点 C 落在斜边上的点 C 处 折痕为 BD 如图 再将图 沿 DE 折叠 精品文档 5欢迎下载 使点 A 落在 DC 的延长线上的点 A 处 如图 则折痕 DE 的长为 第 1 题 A cm B 2 cm 8 33 C 2 cm D 3 cm 2 巧用对称法求折叠中图形的面积 2 2 如图所示 将长方形 ABCD 沿直线 BD 折叠 使点 C 落在点 C 处 BC 交 AD 于 E AD 8 AB 4 求 BED 的面积 第 2 题 巧用方程思想求折叠中线段的长 3 3 如图 在边长为 6 的正方形 ABCD 中 E 是边 CD 的中点 将 ADE 沿 AE 对折至 AFE 延长 EF 交 BC 于点 G 连接 AG 1 求证 ABG AFG 2 求 BG 的长 第 3 题 巧用折叠探究线段之间的数量关系 4 4 如图 将长方形 ABCD 沿直线 EF 折叠 使点 C 与点 A 重合 折痕交 AD 精品文档 6欢迎下载 于点 E 交 BC 于点 F 连接 CE 1 求证 AE AF CE CF 2 设 AE a ED b DC c 请写出一个 a b c 三者之间的数量关系 式 第 4 题 专训专训 3 3 利用勾股定理解题的利用勾股定理解题的 7 7 种常见题型种常见题型 名师点金 勾股定理建立起了 数 与 形 的完美结合 应用勾股定理可以解与直 角三角形有关的计算问题 证明含有平方关系的几何问题 作长为 n 为正整 n 数 的线段 解决实际应用问题及专训一 专训二中的最短问题 折叠问题等 在解决过程中往往利用勾股定理列方程 组 有时需要通过作辅助线来构造直 角三角形 化斜为直来解决问题 利用勾股定理求线段长 1 1 如图所示 在等腰直角三角形 ABC 中 ABC 90 点 D 为 AC 边的中 点 过 D 点作 DE DF 交 AB 于 E 交 BC 于 F 若 AE 4 FC 3 求 EF 的长 第 1 题 利用勾股定理作长为的线段 n 2 2 已知线段 a 作长为a 的线段时 只要分别以长为和的线段为直角 13 边作直角三角形 则这个直角三角形的斜边长就为a 13 利用勾股定理证明线段相等 3 3 如图 在四边形 ABFC 中 ABC 90 CD AD AD2 2AB2 CD2 求证 AB BC 第 3 题 精品文档 7欢迎下载 利用勾股定理证明线段之间的平方关系 4 4 如图 C 90 AM CM MP AB 于点 P 求证 BP2 BC2 AP2 第 4 题 利用勾股定理解非直角三角形问题 5 5 如图 在 ABC 中 C 60 AB 14 AC 10 求 BC 的长 第 5 题 利用勾股定理解实际生活中的应用 6 6 在某段限速公路 BC 上 公路视为直线 交通管理部门规定汽车的最高 行驶速度不能超过 60 km h 并在离该公路 100 m处设置了一个监测 即 50 3 m s 点 A 在如图的平面直角坐标系中 点 A 位于 y 轴上 测速路段 BC 在 x 轴上 点 B 在点 A 的北偏西 60 方向上 点 C 在点 A 的北偏东 45 方向上 另外一条 公路在 y 轴上 AO 为其中的一段 1 求点 B 和点 C 的坐标 2 一辆汽车从点 B 匀速行驶到点 C 所用的时间是 15 s 通过计算 判断 该汽车在这段限速路上是否超速 参考数据 1 7 3 第 6 题 精品文档 8欢迎下载 利用勾股定理探究动点问题 7 7 如图 在Rt ABC 中 ACB 90 AB 5 cm AC 3 cm 动点 P 从 点 B 出发沿射线 BC 以 1 cm s的速度移动 设运动的时间为 t 秒 1 求 BC 边的长 2 当 ABP 为直角三角形时 借助图 求 t 的值 3 当 ABP 为等腰三角形时 借助图 求 t 的值 第 7 题 答案答案 专训 1 1 1 1 4 第 2 题 2 2 解 1 如图 过点 C 作 AB 的垂线 交 AB 的延长线于点 E ABC 120 BCE 30 在Rt CBE 中 BC 20 km BE 10 km 由勾股定理可得 CE 10 km 3 在Rt ACE 中 AC2 AE2 CE2 AB BE 2 CE2 8 100 300 8 400 AC 20 20 4 6 92 km 21 2 选择乘 武黄城际列车 理由如下 乘客车需时间 t1 1 h 80 60 1 3 精品文档 9欢迎下载 乘 武黄城际列车 需时间 t2 1 h 92 180 20 40 1 90 1 1 选择乘 武黄城际列车 1 3 1 90 第 3 题 3 3 C 点拨 将台阶面展开 连接 AB 如图 线段 AB 即为壁虎所爬的最 短路线 因为 BC 30 3 10 3 120 cm AC 50 cm 在Rt ABC 中 根据 勾股定理 得 AB2 AC2 BC2 16 900 所以 AB 130 cm 所以壁虎至少爬行 130 cm 4 4 10 5 5 解 如图 连接 BD 交 AC 于 O 连接 ED 与 AC 交于点 P 连接 BP 第 5 题 易知 BD AC 且 BO OD BP PD 则 BP EP ED 此时最短 AE 3 AD 1 3 4 由勾股定理得 ED2 AE2 AD2 32 42 25 52 ED BP EP 5 6 6 解 如图 作点 B 关于 MN 的对称点 C 连接 AC 交 MN 于点 P 则点 P 即 为所建的出口 此时 A B 两城镇到出口 P 的距离之和最小 最短距离为 AC 的 长 作 AD BB 于点 D 在Rt ADC 中 AD A B 8 km DC 6 km AC 10 km AD2 DC2 这个最短距离为 10 km 第 6 题 7 7 2 点拨 将圆柱体的侧面沿 AD 剪开并铺平得长方形 AA D D 连 2 接 AC 如图 线段 AC 就是小虫爬行的最短路线 根据题意得 精品文档 10欢迎下载 AB 2 2 在Rt ABC 中 由勾股定理 得 2 1 2 AC2 AB2 BC2 22 22 8 AC 2 82 第 7 题 8 8 解 1 圆锥 2 扇形 3 把此立体图形的侧面展开 如图所示 AC 为蜗牛爬行的最短路线 4 在Rt ASC 中 由勾股定理 得 AC2 102 52 125 AC 5 125 5 故蜗牛爬行的最短路程为 5 5 第 8 题 第 9 题 9 9 解 1 蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的 AC 1和 AC1 2 如图 AC 1 4 42 4 4 25 AC1 4 所以蚂蚁爬过的最短路径的长是 4 4 4 2 4255 1010 解 分为三种情况 1 如图 连接 EC 在Rt EBC 中 EB 12 8 20 cm BC 30 15 cm 1 2 由勾股定理 得 EC 25 cm 202 152 2 如图 连接 EC 根据勾股定理同理可求 CE cm 25 cm 673 3 如图 连接 EC 根据勾股定理同理可求 CE cm 25 cm 122 30 8 15 22 953 综上可知 小虫爬行的最短路程是 25 cm 精品文档 11欢迎下载 第 10 题 专训 2 2 1 1 A 2 2 解 由题意易知 AD BC 2 3 BC D 与 BCD 关于直线 BD 对称 1 2 1 3 EB ED 设 EB x 则 ED x AE AD ED 8 x 在Rt ABE 中 AB2 AE2 BE2 42 8 x 2 x2 x 5 DE 5 S BED DE AB 5 4 10 1 2 1 2 解题策略 解决此题的关键是证得 ED EB 然后在Rt ABE 中 由 BE2 AB2 AE2 利用勾股定理列出方程即可求解 3 3 1 证明 在正方形 ABCD 中 AD AB D B 90 将 ADE 沿 AE 对折至 AFE AD AF DE EF D AFE 90 AB AF B AFG 90 又 AG AG Rt ABG Rt AFG HL 2 解 ABG AFG BG FG 设 BG FG x 则 GC 6 x E 为 CD 的中点 CE DE EF 3 EG 3 x 在Rt CEG 中 32 6 x 2 3 x 2 解得 x 2 BG 2 4 4 1 证明 由题意知 AF CF AE CE AFE CFE 又四边形 ABCD 是长方形 故 AD BC AEF CFE AFE AEF 精品文档 12欢迎下载 AE AF EC CF 2 解 由题意知 AE EC a ED b DC c 由 D 90 知 ED2 DC2 CE2 即 b2 c2 a2 专训 3 3 第 1 题 1 1 解 如图 连接 BD 等腰直角三角形 ABC 中 点 D 为 AC 边的中点 BD AC BD 平分 ABC 等腰三角形三线合一 ABD CBD 45 又易知 C 45 ABD CBD C BD CD DE DF BD AC FDC BDF EDB BDF FDC EDB 在 EDB 与 FDC 中 EBD C BD CD EDB FDC EDB FDC ASA BE FC 3 AB 7 则 BC 7 BF 4 在Rt EBF 中 EF2 BE2 BF2 32 42 25 EF 5 2 2 2a 3a 3 3 证明 CD AD ADC 90 即 ADC 是直角三角形 由勾股定理 得 AD2 CD2 AC2 又 AD2 2AB2 CD2 AD2 CD2 2AB2 精品文档 13欢迎下载 AC2 2AB2 ABC 90 ABC 是直角三角形 由勾股定理 得 AB2 BC2 AC2 AB2 BC2 2AB2 故 BC2 AB2 即 AB BC 方法总结 当已知条件中有线段的平方关系时 应选择用勾股定理证明 应用勾股定理证明两条线段相等的一般步骤 找出图中证明结论所要用到的 直角三角形 根据勾股定理写出三边长的平方关系 联系已知 等量代换 求之即可 第 4 题 4 4 证明 如图 连接 BM PM AB BMP 和 AMP 均为直角三角形 BP2 PM2 BM2 AP2 PM2 AM2 同理可得 BC2 CM2 BM2 BP2 PM2 BC2 CM2 又 CM AM CM2 AM2 AP2 PM2 BP2 PM2 BC2 AP2 PM2 BP2 BC2 AP2 第 5 题 5 5 思路导引 过点 A 作 AD BC 于 D 图中出现两个直角三角形 Rt ACD 和Rt ABD 这两个直角三角形有一条公共边 AD 借助这条公共边可建立 起两个直角三角形之间的联系 解 如图 过点 A 作 AD BC 于点 D ADC 90 又 C 60 CAD 90 C 30 CD AC 5 1 2 精品文档 14欢迎下载 在Rt ACD 中 AD 5 AC2 CD2102 523 在Rt ABD 中 BD 11 AB2 AD2 BC BD CD 11 5 16 方法总结 利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法 作三角形一 边上的高 将其转化为两个直角三角形 然后利用勾股定理并结合条件 采用 推理或列方程的方法解决问题 6 6 思路导引 1 要求点 B 和点 C 的坐标 只要分别求出 OB 和 OC 的长即 可 2 由 1 可知 BC 的长度 进而利用速度公式求得汽车在这段