估计量的评选标准与区间估计.ppt

估计量的评选标准与区间估计 一估计量的评选标准 一 无偏性 定义若估计量 X1 X2 Xn 的数学期望E 存在 且对于任意 有E 则称是 的无偏估计 在科学技术中E 称为以作为 的估计的系统误差 无偏估计的实际意义就是无系统误差 例1设总体X的的k阶矩 k E Xk k 1 存在 又设X1 X2 Xn是X的一个样本 试证明不论总体服从什么分 布 k阶样本矩 证X1 X2 Xn与X同分布 故有E Xik E Xk k i 1 2 n 即有 证 例2对于均值 方差 2 0都存在的总体 若 2均为未知 则 2的估计量是有偏的 是k阶总体矩 k的无偏估计 特别 不论总体服从什么分布 只要它的数学期望存在总是总体X的数学期望 1 E X 的无偏估计量 所得的估计量就是无偏的了 这就是说S2是 2的无偏估计 因此 一般都是取S2作为方差 2的估计量 例3设总体X服从参数为 的指数分布 概率密度为 其中 0为未知 又设X1 X2 Xn是来自X的样本 试证 都是 的无偏估计量 证 而Z min X1 X2 Xn 服从参数为 n的指数分布 即具有概率密度 故知 即nZ也是参数 的无偏估计量 由此可见一个未知参数可以有不同的无偏估计量 事实上X1 X2 Xn均可 二 有效性 的无偏估计量 若有 现在来比较 的两无偏估计量 例4 续例3 试证当n 1时 的无偏估计量较 的无偏估计量nZ有效 三 一致性 定义设 X1 X2 Xn 为参数 的估计量 若对于任意 当n 时 X1 X2 Xn 依赖收敛于 则称为 的一致估计量 证由于D X 2 故有D 2 n 再者 由于D Z 2 n2 故有D nZ 2 当n 1时D nZ D 故较nZ有效 由第六章 2知 样本k k 1 阶矩是总体X的k阶矩 k E Xk 的一致估计量 进而若待估参数 g 1 2 k 其中g为连续函数 则 的矩估计量 g A1 A2 Ak 是 的一致估计量 由极大似然估计法得到的估计量 在一定条件下也具有一致性 二区间估计 对于未知参数 除了求出它的点估计外 还必须给出一个范围 并知道这个范围包含 真值的可信度 这样的范围用区间给出 并给出范围含 的可信程度 这种形式的估计称为区间估计 置信区间设总体X的分布函数F x 含有一个未知参数 对于给定值a 0 a 1 若由样本X1 X2 Xn确定的两个统计量 满足 别称为置信度为1 a的双侧置信区间的置信下限和置信上限 1 a称为置信度 意义 若反复抽样多次 容量都是n 每个样本确定一个区间 其中包含 真值的约占100 1 a 例4设总体X N 2 2为已知 为未知 设X1 X2 Xn是来自X的样本 求 的置信度为1 a的置信区间 且它不依赖于任何未知参数 按标准正态分布的上a分位点的定义 有 如图 这就得到了 的一个置信度为1 a的置信区间 如果取a 0 05 即1 0 05 0 95 又若 1 n 16 查表得za 2 z0 025 1 96 于是得到置信度为0 95的置信区间 这已不是随机区间 但仍称为95 的置信区间 含义 是该区间属于那些包含 的区间的可信程度为95 或 该 区间包含 的可信度为95 注意 置信区间不唯一 上例给定a 0 05 则还有 也是 的置信度为95 的置信区间 比较 5 和 7 则区间长度分别为 可见 L随n的增大而减小 当a给定时 我们可以确定n 使置信区间具有预先给定的长度 寻求参数 的置信区间的具体做法步骤 1 寻求一个样本X1 X2 Xn的函数 Z Z X1 X2 Xn 它包含待估参数 而不含其它未知参数 且Z的分布不依赖其它未知参数 当然不依赖于待估参数 2 对给定置信度1 定出两常数a b 使 P a Z X1 X2 Xn b 1 3 若能从a Z X1 X2 Xn b得到等价的不等式 函数Z X1 X2 Xn 的构造 可以从 的点估计着手考虑 三 单个总体N 2 的情况设已给定置信度为1 a 并设X1 X2 Xn为总体N 2 1 均值 的置信区间 于是得 的置信度为1 a的置信区间 例5有一大批糖果 现从中随机地取16袋 称得重量为 506508499503504510497512 514505493496506502509496 解这里1 a 0 95 a 2 0 025 n 1 15 s 6 2022 于是根据得均值 的0 95置信区间 即 500 4 507 1 若以此区间任一值作 的近似值 其误差不大于 设袋装糖果的重量近似服从正态分布 试求总体均值 的置信区间 2 方差 2的置信区间 只介绍 为未知 2的无偏估计为S2由第六章 2定理一知 这就是 2的置信度为1 a的置信区间 还可得标准差 的置信区间 例6求例5中 的置信度