求数列通项八法.doc

八法求通项湖北 何先付一、归纳法：观察所给数列每一项的特点，分析项数n与数值an之间的对应关系，找出规律：一是找出每项中与项数无关的因素，让其保持不变；二是找出随项数变化的因素与项数n的联系，写出通项公式，再代回检验，如有不符适当调整。当然正确与否还要用数学归纳法进行证明。例1、，解析：观察整式部分为1；分母为偶数2n的平方；分子为奇数2n-1；符号奇数项为正，偶数偶为负可用(-1)n-1表示，因而通项为.例2、1，2+3，4+5+6，7+8+9+10，11+12+13+14+15，解析：它为自然数列的前n项的和Sn被分成第一项为1，第二项为后两项的和，第三项为后三项的和，依此类推a1=S1，a2=S3-S1，a3=S6-S3，a4=S10-S6，a5=S15-S10，注意到S的脚标，归纳得 .二、定义法： 若能根据条件先判断一个数列是等差数列或等比数列，则可用公式：an=a1+(n-1)d或an=a1qn-1求出该数列的通项公式。例3、已知数列an满足a1=1，(nN*)，求数列an的通项公式。解析：在两边取倒数，得，所以数列为等差数列，公差为，首项为，因此，故。例4、已知数列an的前n项和为Sn，且有a1=2，3Sn=5an-an-1+3Sn-1，求数列an的通项公式。解析：由3Sn=5an-an-1+3Sn-1，得3（Sn-Sn-1）=5an-an-1，即3an=5an-an-1，所以，数列an为等比数列，公比为，首项为a1=2，故。三、公式法：若知道一个数列的通项公式的表达形式，则可根据题目条件，确定待定系数，从而求出其通项公式。例5、设等差数列an的前n项和是Sn，bn=，且a3 b3= S3 +S5=21。求数列an和bn的通项公式。解析：由等差数列的通项公式及前n项和公式，得.所以an=1+(n-1)=n，。四、前n项和法：确定当n=1时，a1=S1；推出n2时，an=Sn-Sn-1；验证所得的通项公式，n=1时an与a1的关系，若a1适合n2时，an的表达式，则可合并，否则写成an=例6、设数列an的前n项和是Sn=3n2-n（nN*），求数列an的通项公式。解析：当n=1时，a1= S1=2；当n2时，an=Sn-Sn-1=(3n2-n)-3(n-1)2-(n-1)=6n-4.些式对n=1也适用。所以an=6n-4.例7、已知数列an的前n项和是Sn，且满足a1=，an=-2Sn Sn-1（n2）。求数列是否为等差数列？请证明你的结论。解析：因an=Sn-Sn-1，所以Sn-Sn-1= -2Sn Sn-1，两边同除以-Sn Sn-1，得，所以数列为等差数列。五、累差法：若an-an-1=d(常数)，则可用等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d求an；若an-an-1=f(n)(与n有关的式子)，则可用累差法：an =（an-an-1）+（an-1-an-2）+（a3-a2）+ （a2-a1）+a1求an。例8、已知数列an，满足a1=1，an =an-1 + (n2) ，求数列an的通项公式。解析：由条件，知an -an-1 =-，所以an =（an-an-1）+（an-1-an-2）+（a3-a2）+ （a2-a1）+a1 =（-）+（-）+（-）+（-）+1=2-.六、累商法：若=q(常数)，则可用等比数列的通项公式an=a1qn-1求an；若=f(n)(与n有关的式子)，则可用累商法：an =a1求an。例9、设an是首项为1的正项数列，且（n+1）an+12-n an2+ an+1an=0(n=1，2，3，)，求它的通项公式。解析：原式可分解为（an+1+an）（n+1）an+1-n an=0，因an为“正项数列”，所以（n+1）an+1-n an=0，从而，故an =a1 =1=.七、递推法：若给出数列的递推公式，则可适当递推得出所要的结论，再转化处理。但要特别注意，在递推时，n的取值范围的变化。 例10、(2004全国高考卷I，理15) 已知数列an，满足a1=1，an =a1 +2a2 +3 a3+（n-1）an-1(n2) ，则数列an的通项 解析：由条件递推，得an-1 =a1 +2a2 +3 a3+（n-2）an-2(n3)-，得an - an-1 =(n-1)an，所以an=nan-1，即，又由，知a2 =a1 =1，所以an =a2=n(n-1)43(n3) = 例11、（2005山东济宁一模，18）已知各项均为正数的数列an中，是an与1的等差中项，其中Sn是其前n项和，求数列an的通项公式。解析：由条件，得递推，得（n2）-，得即因数列an各项均为正数，所以（n2），从而数列an为等差数列，公差为d=2，由，令n=1，注意到S1=a1，可求得a1=1。故an=1+(n-1)2=2n-1.八、待定系数法：若已知an+1=pan+q，则可设an+1+x=p(an+x)，展开合并，比较对应系数，得，故，所以数列是首项为，公比为p的等比数列。例12、（2006年重庆卷）在数列an中，a1=