福建省新课标高中总复习（第1轮）课件：文数第十一章第5节曲线与方程及圆锥曲线的综合应用 (2).ppt

1 设k 1 则关于x y的方程 1 k x2 y2 k2 1表示的曲线是 a 长轴在y轴上的椭圆b 长轴在x轴上的椭圆c 实轴在y轴上的双曲线d 实轴在x轴上的双曲线方程可化为所以k2 1 0 k 1 0 所以方程表示实轴在y轴上的双曲线 选c c 因为k 1 2 在同一坐标系中 方程a2x2 b2y2 1与ax by2 0 a b 0 表示的曲线大致是 d 将方程a2x2 b2y2 1与ax by2 0转化为标准方程 因为a b 0 所以则有椭圆的焦点在y轴 抛物线的开口向左 选d 易错点 由方程研究曲线的性质 须化为标准方程 3 平面直角坐标系中 已知两点a 3 1 b 1 3 若点c满足 o为原点 其中 1 2 r 且 1 2 1 则点c的轨迹是 a 直线b 椭圆c 圆d 双曲线设c x y 由已知得 x y 1 3 1 2 1 3 x 3 1 2y 1 3 2 又 1 2 1 消去 1 2得x 2y 5 选 a a 所以 4 在平面直角坐标系xoy中 已知 abc的顶点a 6 00和c 6 0 顶点b在双曲线的左支上 则 因为a和c恰为双曲线的两个焦点 所以由双曲线方程及定义得 根据正弦定理知 填 5 我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系 两条数轴的原点重合且单位长度相同 称为斜坐标系 平面上任意一点p的斜坐标定义为 若 其中e1 e2分别为斜坐标系的x轴 y轴正方向上的单位向量 x y r 则点p的斜坐标为 x y 在平面斜坐标系xoy中 若 xoy 60 已知点a的斜坐标为 1 2 点b的斜坐标为 3 1 则线段ab的垂直平分线在斜坐标系中的方程是 x 2 设p x y 为线段ab垂直平分线上的任一点 则有因为 1 x e1 2 y e2 3 x e1 1 y e2所以 1 x 2 2 y 2 2 1 x 2 y 3 x 2 1 y 2 2 3 x 1 y 由得x 2 填x 2 易错点 处理新信息题应认真阅读并理解好题意 1 曲线与方程 1 定义 在直角坐标系中 如果曲线c 看作适合某种条件的点的集合或轨迹 上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立了如下的关系 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 那么 这个方程叫做曲线的方程 这条曲线叫做方程的曲线 2 已知曲线求方程 已知方程画曲线是解析几何的核心内容 已知曲线求方程实质就是求轨迹方程 其方法主要有直接法 定义法 代入法等 已知方程画曲线就是用代数的方法 研究方程性质 x y的取值范围 对称性等 然后根据性质及一些基本函数 方程 的图象作出曲线 2 圆锥曲线中的定值问题在解析几何问题中 有些与参数有关 这就构成定值问题 解决这类问题常通过取出参数和特殊值来确定 定值 是多少 再将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式 证明该式是恒定的 3 圆锥曲线实际应用及其他知识交汇问题以实际应用为背景 圆锥曲线的有关知识为手段 解决实际问题的应用题 或以圆锥曲线为载体 构建与其他数学分支相结合的问题 如数列问题 重点突破 已知曲线求方程 已知a 0 7 b 0 7 c 12 2 则以c为一个焦点过a b的椭圆 求该椭圆的另一个焦点f的轨迹方程 设动直线l垂直于x轴 且与椭圆x2 2y2 4交于a b两点 p是l上满足 1的点 求点p的轨迹方程 首先利用椭圆的定义可知为常数 再利用双曲线的定义即可求得轨迹方程 设出动点p的坐标 用直接法求出p点的轨迹方程即可 注意x的取值范围 由题意又所以故f点的轨迹是以a b为焦点 实轴长为2的双曲线的下支 又c 7 a 1 所以b2 48 所以轨迹方程为 y 1 故填 y 1 设p点的坐标为 x y 则由方程x2 2y2 4 得 由于直线l与椭圆交于a b两点 故 2 x 2 即a b两点的坐标分别为a x b x 则所以即x2 2y2 6 所以点p的轨迹方程为x2 2y2 6 2 x 2 利用圆锥曲线的定义 求动点的轨迹应熟练掌握 若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系 则可利用直接法 其一般步骤是 建系 设点 列式 化简 检验 求动点的轨迹方程时要注意检验 即扣除多余的点 补上遗漏的点 在 abc中 已知a 0 a b 0 a ac bc两边所在的直线分别与x轴交于异于原点的点m和点n 且满足 4a2 a为不等于零的常数 求点c的轨迹方程 设点c x y x 0 m xm 0 n xn 0 当y a时 ac x轴 当y a时 bc x轴 与题意不符 所以y a 由于a c m三点共线 有解得同理 由b c n三点共线 解得因为xm xn 0 所以化简可得点c的轨迹方程为 x2 4y2 4a2 x 0 重点突破 圆锥曲线中的定值问题已知f1 f2分别为椭圆c1 a b 0 的上 下焦点 其中f1也是抛物线c2 x2 4y的焦点 点m是c1与c2在第二象限的交点 且 求椭圆c1的方程 已知点p 1 3 和圆o x2 y2 b2 过点p的动直线l与圆o相交于不同的两点a b 在线段ab上取一点q 满足 0且 1 求证 点q总在某定直线上 求出点m的坐标 利用椭圆的定义 可求得椭圆方程 利用设而不求法 将向量问题转化为坐标关系 可得证 由c2 x2 4y知f1 0 1 设m x0 y0 x0 0 因m在抛物线c2上 故 4y0 又 mf1 则y0 1 由 解得 椭圆c1的两个焦点为f1 0 1 f2 0 1 点m椭圆上 由椭圆定义得2a mf1 mf2 所以a 2 又c 1 所以b2 a2 c2 3 所以椭圆c1的方程为 证明 设a x1 y1 b x2 y2 q x y 由可得 1 x1 3 y1 x2 1 y2 3 x1 x2 1 y1 y2 3 1 由可得 x x1 y y1 x2 x y2 y x1 x2 1 x y1 y2 1 y 即 即 得 得 两式相加得 2 1 2 x 3y 又点a b在圆x2 y2 3上 且 1 所以即x 3y 3 所以点q总在定直线x 3y 3上 掌握求定值定点问题的常用方法 这也是高考数学命题的方向之一 应引起注意 若m n是椭圆 a b 0 上关于原点对称的两个点 点p是椭圆上任一点 当直线pm pn的斜率都存在 并记为kpm kpn时 求证 kpm与kpn之积是与点p位置无关的定值 设点p x y 若m的坐标为 m n 点n的坐标为 m n 其中由所以kpm kpn 将代入上式得 kpm kpn 为定值 得证 重点突破 圆锥曲线中的存在性问题已知两点m 2 0 n 2 0 平面上动点p满足 求动点p的轨迹c方程 如果直线x my 4 0 m r 与曲线c交于a b两点 那么在曲线c上是否存在点d 使得 abd是以ab为斜边的直角三角形 若存在 求出m的取值范围 若不存在 请说明理由 利用直接法 可求得点p的轨迹方程 联立直线和曲线的方程 利用韦达定理 结合假设存在 则有 0 可判断成立与否 设点p x y 由得化简得y2 8x为点p的轨迹方程 设直线x my 4 0与曲线c交于点a x1 y1 b x2 y2 x my 4 0y2 8x所以 64m2 4 32 0 即m2 2 则y1 y2 8m y1y2 32 且若存在点d满足条件 可设d t 因为 abd是以ab为斜边的直角三角形 所以 由 得 y2 8my 32 0 即 y1 t y2 t 0 因为y1 t y2 t 所以 y1 t y2 t 64 0所以t2 8mt 96 0 所以 64m2 4 96 0 所以m2 6 当m 或m 时 存在点d使得 abd是以ab为斜边的直角三角形 又m2 2 所以当 m 或 m 时 满足条件的点d不存在 本题主要考查求曲线方程 直线与圆锥曲线的位置关系 垂直问题 以及推理能力和运算能力 探究能力和向量法 以及 设而不求 对于 1 根据题目给定条件直接可求得 对于 2 先假设存在 用 设而不求 研究直线与圆锥曲线的位置关系 关键是构造一元二次方程 应用根与系数的关系解题 已知定点a a 0 a 0 b为x轴负半轴上的动点 以ab为边作菱形abcd 使其两对角线的交点恰好落在y轴上 求动点d的轨迹e的方程 过点a作直线l与轨迹e交于p q两点 设点r a 0 当l绕点a转动时 证明 prq是否可以为钝角 请给出结论 并加以证明 设d x y 因为a a 0 由abcd为菱形 且ac bd的交点在y轴上 所以b c两点的坐标分别为 x 0 a y 由ac bd 得 2x y 2a y 4ax y2 0 即y2 4ax 因为abcd为菱形 所以x 0 故轨迹e的方程为y2 4ax x 0 prq不可能为钝角 即 prq 90 证明如下 当pq x轴时 p q点的坐标为 a 2a 又r a 0 此时 prq 90 结论成立 当pq与x轴不垂直时 设直线pq的方程为y k x a y2 4axy k x a 得k2x2 2ak2 4a x k2a2 0 由 设p x1 y1 q x2 y2 则x1 x2 x1 a x2 a y1y2 x1 a x2 a k2 x1 a x2 a 1 k2 x1x2 a ak2 x1 x2 a2 a2k2 1 k2 a2 a ak2 2a a2 a2k2 即 为锐角 综上 知 prq 90 成立 2009 山东卷 设m r 在平面直角坐标系中 已知向量a mx y 1 向量b x y 1 a b 动点m x y 的轨迹为e 求轨迹e的方程 并说明该方程所表示曲线的形状 已知m 证明 存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与轨迹e恒有两个交点a b 且oa ob o为坐标原点 并求该圆的方程 已知m 设直线l与圆c x2 y2 r2 1 r 2 相切于a1 且l与轨迹e只有一个公共点b1 当r为何值时 a1b1 取得最大值 并求最大值 因为a b a mx y 1 b x y 1 所以a b mx2 y2 1 0 即mx2 y2 1 当m 0时 该方程表示两条直线 其方程为y 1 当m 1时 该方程表示圆 当m 0且m 1时 该方程表示椭圆 当m 0时 该方程表示双曲线 证明 当m 时 轨迹e的方程为设圆心在原点的圆的一条切线为y kx t y kx t即 1 4k2 x2 8ktx 4t2 4 0 解方程组 得x2 4 kx t 2 4 要使切线与轨迹e恒有两个交点a b 则 64k2t2 16 1 4k2 t2 1 16 4k2 t2 1 0 即4k2 t2 1 0 即t2 4k2 1 且 x1 x2 x1x2 所以y1y2 kx1 t kx2 t k2x1x2 kt x1 x2 t2 要使oa ob 需使x1x2 y1y2 0 即所以5t2 4k2 4 0 即5t2 4k2 4且t2 4k2 1 即4k2 4 20k2 5 恒成立 又因为直线y kx t为圆心在原点的圆的一条切线 所以圆的半径为 故所求圆的方程为x2 y2 当切线的斜率不存在时 切线的方程为它与交于点 或 也满足oa ob 综上 存在圆心在原点的圆x2 y2 使得该圆的任意一条切线与椭圆e恒有两个交点a b 且 当m 时 轨迹e的方程为显然 直线l的斜率存在 故设直线l的方程为y k1x t1 因为直线l与圆c x2 y2 r2 1 r 2 相切于故由 知即y k1x t1 y2 1 a1 由 得x2 4 k1x t1 2 4 即 又因为直线l与轨迹e只有一个公共点b1 故上述方程有唯一解 则即 设点b1 x3 y3 所以 由 得 因为点b1在椭圆上 所以所以在直角三角形oa1b1中 a1b1 2 ob1 2 oa1 2 因为当且仅当r 2时取等号 所以 a1b1 2 5 4 1 即当r 1 2 时 a1b1 取得最大值 最大值为1 本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系 以及直线与椭圆的位置关系 可以通过解方程组法研究有没有交点问题 有几个交点的问题 1 已知曲线求方程的常用方法有 定义法 直接法 代入法等 解题的一般步骤是 建系 设点 列式 代入 化简 证明 以上方法称为直接法 适合于求知道动点符合的几何条件 但不知道轨迹形状的曲线方程 如果能够判断出动点的轨迹形状 又知道曲线方程的形状 则可用待定系数法求出曲线的方程 如果所求曲线上的点是已知曲线上的点的相关动点 那么它的方程可通过相关动点之间的关系 代入到已知曲线的方程中求得 此法称为间接法 代入法 2 解析几何与向量的交汇要紧紧抓住点的坐标 利用平面向量的坐标表示法 将问题中的向量关系转化为代数关系 再根据解析几何中已有的知识与方法求解 3 圆锥曲线是高考的重点考查内容 在高考中除中档题或压轴题综合考查它们与其他知识的交汇之外 三种曲线间的交汇在高考中也常常出现 4 过定点问题 定值问题 存在性问题 探究性问题 等在综合问题中经常出现 解题时要注意应用转化思想 数形结合等数学思想与方法 明确解题思路 简化计算过程 常用 设而不求 整体代换 等解题方法 1 2009 四川卷 已知直线l1 4x 3y 6 0和直线l2 x 1 抛物线y2 4x上一动点p到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 a 2b 3c d a 解法1 直线l2 x 1为抛物线y2 4x的准线 由抛物线的定义知 p