2020上海沪教版初三C专题三轮冲刺(动点产生的平行四边形问题4星)教案
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2020
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初三
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三轮
冲刺
产生
平行四边形
问题
教案
- 资源描述:
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动点产生的平行四边形问题
1.理解平行四边形的性质和判定;
2.能应用平行四边形的性质和判定进行相关计算和证明;
3.培养学生能在点的运动过程中寻找平行四边形,继而解决相关问题;
4.培养学生分类讨论的能力,能应用分类讨论思想解决相关问题;
5.体验运动过程,培养学生动态数学思维能力。
【备注】:
1. 根据后面两个图让学生回顾平行四边形的性质和判定,为后面的例题讲解做好准备;
2. 部分地方引导学生填空,让学生自己回顾。时间大概5分钟。
1. 平行四边形的性质:
2. 平行四边形的判定:
【备注】:
1. 以下每题教法建议,请老师根据学生实际情况参考;
2. 在讲解时:不宜采用灌输的方法,应采用启发、诱导的策略,并在读题时引导学生发现一些题目中的条件(相等的量、不变的量、隐藏的量等等),使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思;
3. 可以根据各题的“教法指导”引导学生逐步解题,并采用讲练结合;注意边讲解边让学生计算,加强师生之间的互动性,让学生参与到例题的分析中来;
4. 例题讲解,可以根据“参考教法”中的问题引导学生分析题目,边讲边让学生书写,每个问题后面有答案提示;
5. 引导的技巧:直接提醒,问题式引导,类比式引导等等;
6. 部分例题可以先让学生自己试一试,之后再结合学生做的情况讲评;
7. 每个题目的讲解时间根据实际情况处理,建议每题7分钟,选讲例题在时间足够的情况下讲解。
例1.已知一个二次函数的图像经过、、三点。
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)若点在轴上,点在(1)中所求出的二次函数的图像上,且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形,求点、的坐标。(★★★★)
【参考教法】:可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题
1. 寻找题目中的已知条件和特殊条件:
1. 哪些点的坐标已知? 提示:、、;
2. 二次函数都经过了哪些点? 提示:二次函数的图像经过、、三点;
2. 求解二次函数的解析式,挺简单的,你算算看吧! 提示:二次函数经过了三点,用待定系数法即可求解。
3. 当、、、为顶点的四边形是平行四边形时:
1. 哪些点不动?哪些点在动? 提示:点不动;点在动;
2. 四个点的位置怎么样? 提示:点在轴上、点在轴上、点在轴上、点在二次函数图象上。
3. 你能简单的画一下图象吗? 提示:让学生画图看看!
4. 在点的移动过程中需要分类讨论吗? 提示:平行边不确定,需要。
5. 如需要,怎么讨论? 提示:因确定,所以分为边和对角线两个情况讨论:
①当是以点、、、为顶点的四边形是平行四边形的一边时:可得∥,所以根据图象和点的位置可直接写出点、的坐标;(如图1)
②当是以点、、、为顶点的四边形是平行四边形的一条对角线时:则可根据图象得出依然还是这个平行四边形的一条边,结合图象既可求出点、的坐标;(如图2)。
6. 在计算的过程中注意结合“二次函数的对称性”和“平行四边形的对称性”计算,会方便很多;
7. 通过本题的解答分析过程,你有什么收获没?说说看。(让学生说说看)
【满分解答】:(1)设所求的二次函数的解析式为.
因为抛物线经过 (0,3)、 (4,3)、 (1,0)三点,
所以。 解这个方程组, 得.
所以,所求的二次函数的解析式为.
(2)分两种情况讨论:
①如图1所示,若是以点、、、为顶点的四边形是平行四边形的一边。
由于点在轴上,那么必定也是这个平行四边形的一条边.
由此可知∥,
因此点应该在过点且平行于轴的直线上,
由此可知点与点(4,3)重合.
因为,
所以.
因为四边形是平行四边形,
所以,.
故可得 (5,0), (4,3) .
②如图2所示,
若是以点、、、为顶点的四边形是平行四边形的一条对角线,
由于点在轴上,
那么依然还是这个平行四边形的一条边,
因此依然可以过点作轴的平行线,交抛物线于点,
容易发现这里的点依然是与点 (4,3)重合,联结,
过点作的平行线,交轴于点.
∵四边形是平行四边形,
∴,.
故可得(-3,0), (4,3).
综上所述,点、的坐标是 (5,0), (4,3)或(-3,0), (4,3)。
(图1) (图2)
练习1.如图,在平面直角座标系中,二次函数的图像经过、、三点,设该二次函数图像的顶点为。(★★★★)
(1)求这个二次函数的解析式及其图像的顶点的坐标;
(2)二次函数图像上有一点,轴上有点,问是否存在以、、、为顶点的平行四边形?若存在,求出点的坐标;若不存存,请说明理由。
【解法点拨】:
1. 寻找题目中的已知条件和特殊条件:
1. 定点的坐标:、、;
2. 二次函数经过了三个点,并且这三个点的坐标已知;
3. 二次函数的解析式可用待定系数法求解,且顶点坐标也能方便的求出;
2. 当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时:
1. 点、确定,点在轴上动,点在二次函数图象上动;
2. 分为边、为对角线两个情况讨论:
①当为边时:画图,过点分别作轴垂线即可计算求解;
②当为对角线时:画图观察不存在;
3. 求点的坐标通常情况下要过点作轴或轴垂线;
4. 注意及时画图观察。
【满分解答】:
解:(1)由题意得,解得
∴二次函数的解析式为
顶点的坐标是
(3) (Ⅰ)如为边,则作轴,垂足为,作轴,垂足为
根据题意,可得:≌ ∴
因为点只能在轴上方,所以设点的坐标为,且点在二次函数图像上
∴,解得: ∴
(Ⅱ)如为对角线,不可能
综上所述,点的坐标为。
例2.如图,在平面直角坐标系中,半径为的⊙与轴交于、两点,且点在轴的上方。(★★★★)
(1)求圆心的坐标;
(2)已知一个二次函数的图像经过点、、,求这二次函数的解析式;
(3)设点在轴上,点在(2)的二次函数图像上,如果以点、、、为顶点的四边形是平行四边形,请你直接写出点的坐标。
【参考教法】:可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题
1. 寻找题目中的已知条件和特殊条件:
1.哪些点的坐标已知? 提示:、;
2.圆的条件知道哪些? 提示:知道半径,圆心坐标可以求解;
2. 求解点C的坐标和二次函数的解析式,让学生自己计算。
3. 以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时:
1. 哪些点不动?哪些点在动? 提示:点、不动;点、在动;
2.四个点的位置怎么样? 提示:点、在轴上、点在轴上、点在二次函数图象上。
3.你能简单的画一下图象吗? 提示:让学生画图看看!
4.根据图象,你看看是否需要讨论? 提示:结合图象观察需要讨论。
5.怎么讨论? 提示:分为边和为对角线讨论。
6.你自己计算看看吧! 提示:让学生计算。
【满分解答】:
解:(1) 联结AC,过点C作,垂直为H,
由垂径定理得:AH==2,
则OH=1.
由勾股定理得:CH=4.
又点C在x轴的上方,∴点C的坐标为.
(2)设二次函数的解析式为
由题意,得
解这个方程组,得
∴ 这二次函数的解析式为y =-x2+2x+3.
(3)如下图示,可求得点M的坐标为或或
【备注】:本部分对前面例题中讲到的解题方法进行归类总结,以引导式总结出,建议时间4分钟左右。
动点形成的平行四边形问题的解题方法和策略:
1.分清楚每个点的位置和运动情况;
2.找到四个顶点中不动点和不变的线段;
3.按照不变的线段分边和对角线两大类计算;
4.在计算过程中注意“二次函数的对称性”和“平行四边形的对称性”;
5.准确画图是计算的关键。
1.如图,抛物线与轴交于点C,与轴交于A、B两点,,
。(满分14分)(★★★)
(1)求点B的坐标;(2分)
(2)求抛物线的解析式及顶点坐标;(4分)
(3)设点E在轴上,点F在抛物线上,如果A、C、E、F构成平行四边形,请写出点E的坐标(不必书写计算过程)。(8分)
C
A
B
O
y
x
【解法点拨】:
1. 寻找题目中的已知量:
1. 点的坐标:点坐标已知为,点坐标可求;
2. 二次函数经过了,可用待定系数法求解函数解析式,继而求得顶点坐标;
2. 当A、C、E、F构成平行四边形时:
1. 点确定,点点E在轴上动,点F在抛物线上;
2. 根据题意分AC为平行四边形的一边和对角线两个情况讨论:
①AC为平行四边形的一边时:画图观察有三个情况;
②AC为平行四边形的对角线时:画图观察,有一个情况。
3.计算时注意利用好平行四边形的对称性。
【满分解答】:(1)∵
∴C (0,3) ………………………………………………1分
又∵tan∠OCA=
∴A(1,0)……………………………………………1分
又∵S△ABC=6∴
∴AB=4
∴B(,0)…………………………………………1分
(2)把A(1,0)、B(,0)代入得:
…………………………………………1分
∴,
∴……………………………………2分
∵
∴顶点坐标(,)………………………………1分
(3)①AC为平行四边形的一边时
E1析(,0) ………………………………………2分
E2(,0)………………………………2分
E3(,0)………………………………2分
②AC为平行四边形的对角线时
E4(3,0)…………………………………………2分
批注:学生完成测试后,教师批改给出得分,并进行点评总结.建议时间2-3分钟。
【说明】:本部分为“专题小结”,由“专题知识点或是方法回顾+教师寄语”组成。先让学生说说本节课的收获,之后是教师寄语。教师寄语可以是:需要完成的作业、需要总结的知识点、名言名句、提醒学生需要做的事情等等。
教师:本专题你有哪些收获和感悟?
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