第6章 函数插值-1.ppt

第六章函数插值 本章主要讨论的问题 1 函数插值的基本方法2 插值的误差分析 已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下 深度 M 46674195014221634水温 oC 7 044 283 402 542 13根据这些数据 希望合理地估计出其它深度 如500米 600米 1000米 处的水温 6 1插值举例 这就是本章要讨论的 插值问题 函数插值也就是对函数的离散数据建立简单的数学模型 Def 当精确函数y f x 非常复杂或未知时 在区间 a b 上一系列互异节点x0 x1 xn处测得函数值y0 f x0 yn f xn 由此构造一个简单易算的近似函数g x f x 满足条件g xi f xi i 0 n 这个问题称为 插值问题 插值问题的定义 这里的g x 称为f x 的插值函数 节点x0 xn称为插值节点 f x 称为被插函数 条件 称为插值条件 区间 a b 称为插值区间 f x g x 最常用的插值函数是 代数多项式 用代数多项式作插值函数的插值称为代数插值 本章主要讨论的内容 插值函数的类型有很多种 插值问题 插值法 插值函数 一 插值问题解的存在唯一性 二 插值多项式的常用构造方法 三 插值函数的误差如何估计 代数插值 一代数插值问题解的存在惟一性 给定区间 a b 上互异的n 1个点的一组函数值 求一个次数不超过n的多项式 使得 定理1 满足插值条件 1 的插值多项式 2 是存在唯一的 令 只要证明Pn x 的系数存在唯一即可 而的系数行列式是Vandermonde行列式 且 从而方程组 3 的解存在且唯一 注 通过解上述方程组 3 求得插值多项式Pn x 的方法并不可取 这是因为当n较大时解方程组的计算量较大 而且方程组系数矩阵的条件数一般较大 可能是病态方程组 当阶数n越高时 病态越重 为此我们必须从其它途径来求Pn x 不通过求解方程组而获得插值多项式 不同的基函数的选取导致不同的插值方法 Lagrange插值 Newton插值 n 1 可见L1 x 是过 x0 y0 和 x1 y1 两点的直线 6 2Lagrange插值 求n次多项式使得 已知x0 x1 y0 y1 求 这种插值称为线性插值 其中l0 x l1 x 称为线性插值的基函数 它们是由插值节点x0 x1唯一确定的 且满足 n 2 L2 x 是过 x0 y0 x1 y1 和 x2 y2 三点的次数不超过2次的多项式 几何上看即为抛物线 构造L2 x 如下 令 代入 可得 同理可得 于是有 这种插值称为二次插值 或抛物插值 可以验证L2 x 满足插值条件 L2 xi yi i 0 1 2 其中l0 x l1 x 和l2 x 称为二次插值的基函数 它们是由插值节点x0 x1 x2唯一确定的 且满足 二次插值函数 推广到一般情形 则有一般的Lagrange插值公式 一 插值基函数 Def 若n次多项式在n 1个插值节点上满足插值条件 则称这n 1个n次多项式为插值节点上的n次插值基函数 下建立其具体表达式 由i k时 知为的零点 故设 由得 因此 与节点有关 而与f无关 基函数的性质 Prop1 基函数为由插值节点唯一确定的n次函数 Prop2 基函数所含的基函数个数与插值节点个数相同 可以证明函数组l0 x l1 x ln x 在插值区间 a b 上线性无关 所以这n 1个函数可作为Pn的一组基函数 称为Lagrange插值基函数 则Ln x 是次数不超过n的多项式 满足插值条件Ln xi yi 称其为Lagrange插值多项式 或Lagrange插值公式 注 1 若被插函数f x 1 则得插值基函数的一个重要性质 2 Lagrang插值只要求节点互异 而与大小次序无关 令 二 Lagrange插值多项式 方便记法 记 则 因此可写成如下形式 例1 已知分别用线性插值和二次插值求的近似值 解 1 线性插值 2 二次插值 注 这里线性插值只选取两个相近点 插值余项 Remainder 证明 由于Rn xi 0 i 0 1 n 任意固定x xi i 0 n 考察 t 有n 2个不同的根x0 xnx Taylor公式 推论 设 并记 则函数f x 的过点 a f a b f b 的线性插值余项R1 x 有上界误差估计式 说明 10 由于余项含有因子 如果插值点偏离节点较远 则插值效果一般不理想 20 通常所说的n次代数插值多项式不一定就是次多项式 它可能是次数低于n的 30 一般情况下 余项中 的具体数值不易确定 实际计算中常估计其误差限 设 则有 由此看出 Rn x 的大小除与Mn 1有关外 还与插值节点有密切关系 当给定m个点处的函数值 但仅选用其中n 1 n 1 m 个作为插值条件而求某点处的函数值时 n 1个节点的选取应尽可能地接近 40 优缺点 优点 Lagrange插值多项式构造简单 形式对称 计算方便 缺点 要增加节点时 需重新构造基函数 解 n 1 分别利用x0 x1以及x1 x2计算 利用 sin50 0 7660444 利用x0 x1作为插值节点的实际误差 0 01001 利用 计算得 sin50 0 76008 利用x1 x2作为插值节点的实际误差 0 00596 n 2 sin50 0 7660444 2次插值的实际误差 0 00