高中数学第二章函数4二次函数性质的再研究课件北师大版必修1

4二次函数性质的再研究 第二章函数 学习目标1 掌握配方法 理解a b c 或a h k 对二次函数图像的作用 2 理解由y x2到y a x h 2 k的图像变换方法 3 能根据条件灵活选择二次函数的三种形式求解析式 4 掌握二次函数的性质 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一二次函数的配方法 y 4x2 4x 1如何配方 你能由此求出方程4x2 4x 1 0的根吗 令y 0 即4x2 4x 1 0 答案 梳理 思考 知识点二图像变换 y x2和y 2 x 1 2 3的图像之间有什么关系 答案 答案y x2的图像各点纵坐标变为原来的2倍 可得y 2x2的图像 再把y 2x2的图像向左平移1个单位 再上移3个单位 得y 2 x 1 2 3的图像 梳理 思考 知识点三二次函数的三种形式 我们知道y x2 2x x 1 2 1 x 2 x 那么点 1 1 数0 2是y x2 2x的什么 答案 答案点 1 1 是y x2 2x的顶点 数0 2是方程x2 2x 0的两根 梳理 1 二次函数的一般式y ax2 bx c a 0 2 如果已知二次函数的顶点坐标为 h k 则可将二次函数设为y a x h 2 k 3 如果已知方程ax2 bx c 0的两根x1 x2 即抛物线与x轴交点横坐标 可设为y a x x1 x x2 知识点四二次函数的性质 题型探究 解答 类型一二次函数解析式的求解 例1已知二次函数y ax2 bx c a 0 的图像与x轴相交于点A 3 0 对称轴为x 1 顶点M到x轴的距离为2 求此函数的解析式 解方法一代入A 3 0 有9a 3b c 0 顶点M到x轴的距离为 a b c 0 2 方法二因为二次函数图像的对称轴是x 1 又顶点M到x轴的距离为2 所以顶点的坐标为 1 2 或 1 2 故可得二次函数的解析式为y a x 1 2 2或y a x 1 2 2 因为图像过点A 3 0 所以0 a 3 1 2 2或0 a 3 1 2 2 方法三因为二次函数图像的对称轴为x 1 又图像过点A 3 0 所以点A关于对称轴的对称点A 1 0 也在图像上 所以可得二次函数的解析式为y a x 3 x 1 由题意得顶点坐标为 1 2 或 1 2 求二次函数解析式的步骤 反思与感悟 跟踪训练1 1 y ax2 6x 8与直线y 3x交于点A 1 m 求a 解把A 1 m 代入y 3x 得m 3 把 1 3 代入y ax2 6x 8 得a 6 8 3 即a 1 解答 2 f x x2 bx c 若f 4 f 0 f 2 2 求f x 又f 2 2 顶点坐标为 2 2 f x x 2 2 2 x2 4x 2 方法二由f 4 f 0 可设f x x x 4 c 代入x 2 得 2 2 4 c 2 c 2 f x x2 4x 2 解答 类型二二次函数的图像及变换 例2由函数y x2的图像如何得到f x x2 2x 3的图像 解f x x2 2x 3 x2 2x 3 x2 2x 1 1 3 x 1 2 4 由y x2的图像关于x轴对称 可得y x2的图像 由y x2的图像向右平移1个单位 向上平移4个单位 可得y x 1 2 4 即y x2 2x 3的图像 解答 引申探究利用f x x2 2x 3的图像比较f 1 f 2 的大小 解f x 图像如图 由图知越接近对称轴 函数值越大 由 1 1 2 2 1 1 即f 2 比f 1 更接近对称轴 f 2 f 1 解答 处理二次函数y ax2 bx c a 0 的图像问题 主要是考虑其图像特征如开口 顶点 与x轴 y轴交点 对称轴等与系数a b c之间的关系 在图像变换中 记住 h正左移 h负右移 k正上移 k负下移 反思与感悟 跟踪训练2二次函数f x x2 bx c的图像向左平移2个单位长度 再向上平移3个单位长度 得到二次函数f x x2 2x 1的图像 则b c 解析f x x2 2x 1 x 1 2 其图像顶点为 1 0 将二次函数f x x2 2x 1的图像向下平移3个单位长度 再向右平移2个单位长度后的图像的顶点为 3 3 得到的抛物线为y x 3 2 3 即f x x2 bx c x 3 2 3 x2 bx c 即x2 6x 6 x2 bx c b 6 c 6 解析 6 6 答案 类型三二次函数的性质 1 求函数图像的顶点坐标 对称轴方程和最值 解对函数右端的表达式配方 得 解答 2 若x 1 4 求函数值域 解由于3 1 4 所以函数在区间 1 3 上是减函数 在 3 4 上是增函数 解答 解析式 图像 性质三者各有特点又联系紧密 应用时在三者间灵活转化可使问题更易解决 反思与感悟 跟踪训练3已知函数f x ax2 2ax 1在区间 1 2 上有最大值4 求实数a的值 解答 当堂训练 答案 2 3 4 5 1 1 二次函数f x ax2 bx c a 0 与g x bx2 ax c b 0 的图像可能是下图中的 解析 2 3 4 5 1 由C D中给出的图像 可判定f x g x 的图像的开口方向相反 故ab 0 2 设二次函数y f x 满足f 4 x f 4 x 又f x 在 4 上是减函数 且f a f 0 则实数a的取值范围是A a 4B 0 a 8C a 0D a 0或a 8 答案 2 3 4 5 1 解析由题意知二次函数f x 的图像关于直线x 4对称 则有f 0 f 8 因为f x 在 4 上是减函数 所以f x 在 4 上是增函数 当a 4 时 由f a f 0 得0 a 4 当a 4 时 由f a f 0 即f a f 8 得4 a 8 综上可知0 a 8 解析 3 已知f x x2 bx c 且f 1 f 3 则A f 1 c f 1 B f 1 f 1 f 1 D c f 1 f 1 答案 2 3 4 5 1 解析因为f 1 f 3 所以f x 图像的对称轴为x 1 因此函数在区间 1 上是减函数 又c f 0 所以f 1 c f 1 解析 4 已知二次函数f x x2 6x 8 x 2 a 且f x 的最小值为f a 则a的取值范围是 答案 2 3 4 5 1 2 3 解析二次函数f x 的图像的对称轴为x 3 要使f x x2 6x 8在区间 2 a 上的最小值为f a 只需函数f x 在区间 2 a 上是减函数 所以2 a 3 解析 5 根据下列条件 求二次函数y f x 的解析式 1 图像过点 2 0 4 0 0 3 2 3 4 5