高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8_5垂直关系课件理北师大版

8 5垂直关系 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 直线与平面垂直 知识梳理 任意 m n O a b a b 2 平面与平面垂直 1 平面与平面垂直的定义两个平面相交 如果它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 直二面角 2 判定定理与性质定理 垂线 交线 l 重要结论 1 若两平行线中的一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于这个平面 2 若一条直线垂直于一个平面 则它垂直于这个平面内的任何一条直线 证明线线垂直的一个重要方法 3 垂直于同一条直线的两个平面平行 4 一条直线垂直于两平行平面中的一个 则这一条直线与另一个平面也垂直 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 直线l与平面 内的无数条直线都垂直 则l 2 垂直于同一个平面的两平面平行 3 直线a b 则a b 4 若 a a 5 若直线a 平面 直线b 则直线a与b垂直 1 教材改编 下列命题中不正确的是A 如果平面 平面 且直线l 平面 则直线l 平面 B 如果平面 平面 那么平面 内一定存在直线平行于平面 C 如果平面 不垂直于平面 那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 D 如果平面 平面 平面 平面 l 那么l 考点自测 答案 解析 根据面面垂直的性质 知A不正确 直线l可能平行平面 也可能在平面 内 2 设平面 与平面 相交于直线m 直线a在平面 内 直线b在平面 内 且b m 则 是 a b 的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 答案 解析 若 因为 m b b m 所以根据两个平面垂直的性质定理可得b 又a 所以a b 反过来 当a m时 因为b m 且a m共面 一定有b a 但不能保证b 所以不能推出 3 2016 宝鸡质检 对于四面体ABCD 给出下列四个命题 若AB AC BD CD 则BC AD 若AB CD AC BD 则BC AD 若AB AC BD CD 则BC AD 若AB CD AC BD 则BC AD 其中为真命题的是A B C D 答案 解析 如图 取BC的中点M 连接AM DM 由AB AC AM BC 同理DM BC BC 平面AMD 而AD 平面AMD 故BC AD 设A在平面BCD内的投影为O 连接BO CO DO 由AB CD BO CD 由AC BD CO BD O为 BCD的垂心 DO BC AD BC 4 2016 济南模拟 如图 四边形ABCD是边长为1的正方形 MD 平面ABCD NB 平面ABCD 且MD NB 1 G为MC的中点 则下列结论中不正确的是A MC ANB GB 平面AMNC 平面CMN 平面AMND 平面DCM 平面ABN 答案 解析 显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体 把该几何体放置到正方体中 如图 取AN的中点H 连接HB MH GB 则MC HB 又HB AN 所以MC AN 所以A正确 由题意易得GB MH 又GB平面AMN MH 平面AMN 所以GB 平面AMN 所以B正确 因为AB CD DM BN 且AB BN B CD DM D 所以平面DCM 平面ABN 所以D正确 5 教材改编 在三棱锥P ABC中 点P在平面ABC中的投影为点O 1 若PA PB PC 则点O是 ABC的 心 答案 解析 外 如图1 连接OA OB OC OP 在Rt POA Rt POB和Rt POC中 PA PC PB 所以OA OB OC 即O为 ABC的外心 2 若PA PB PB PC PC PA 则点O是 ABC的 心 答案 解析 垂 如图2 延长AO BO CO分别交BC AC AB于H D G PC PA PB PC PA PB P PC 平面PAB AB 平面PAB PC AB 又AB PO PO PC P AB 平面PGC 又CG 平面PGC AB CG 即CG为 ABC边AB的高 同理可证BD AH为 ABC底边上的高 即O为 ABC的垂心 题型分类深度剖析 题型一直线与平面垂直的判定与性质 例1 2016 全国甲卷改编 如图 菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O AB 5 AC 6 点E F分别在AD CD上 AE CF EF交BD于点H 将 DEF沿EF折到 D EF的位置 OD 证明 D H 平面ABCD 证明 几何画板展示 由已知得AC BD AD CD 因此EF HD 从而EF D H 所以OH 1 D H DH 3 于是D H2 OH2 32 12 10 D O2 故D H OH 又D H EF 而OH EF H 且OH EF 平面ABCD 所以D H 平面ABCD 思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键 1 证明直线和平面垂直的常用方法有 判定定理 垂直于平面的传递性 a b a b 面面平行的性质 a a 面面垂直的性质 2 证明线面垂直的关键是证线线垂直 而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质 因此 判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想 跟踪训练1 2015 江苏 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 已知AC BC BC CC1 设AB1的中点为D B1C BC1 E 求证 1 DE 平面AA1C1C 由题意知 E为B1C的中点 又D为AB1的中点 因此DE AC 又因为DE平面AA1C1C AC 平面AA1C1C 所以DE 平面AA1C1C 证明 2 BC1 AB1 证明 又因为BC1 平面BCC1B1 所以BC1 AC 因为BC CC1 所以矩形BCC1B1是正方形 因此BC1 B1C 因为AC B1C 平面B1AC AC B1C C 所以BC1 平面B1AC 又因为AB1 平面B1AC 所以BC1 AB1 题型二平面与平面垂直的判定与性质 例2如图 四棱锥P ABCD中 AB AC AB PA AB CD AB 2CD E F G M N分别为PB AB BC PD PC的中点 1 求证 CE 平面PAD 证明 方法一取PA的中点H 连接EH DH 又E为PB的中点 所以EH綊AB 又CD綊AB 所以EH綊CD 所以四边形DCEH是平行四边形 所以CE DH 又DH 平面PAD CE平面PAD 所以CE 平面PAD 方法二连接CF 因为F为AB的中点 所以AF AB 又CD AB 所以AF CD 又AF CD 所以四边形AFCD为平行四边形 因此CF AD 又CF平面PAD AD 平面PAD 所以CF 平面PAD 因为E F分别为PB AB的中点 所以EF PA 又EF平面PAD PA 平面PAD 所以EF 平面PAD 因为CF EF F 故平面CEF 平面PAD 又CE 平面CEF 所以CE 平面PAD 2 求证 平面EFG 平面EMN 证明 因为E F分别为PB AB的中点 所以EF PA 又因为AB PA 所以EF AB 同理可证AB FG 又因为EF FG F EF 平面EFG FG 平面EFG 所以AB 平面EFG 又因为M N分别为PD PC的中点 所以MN CD 又AB CD 所以MN AB 所以MN 平面EFG 又因为MN 平面EMN 所以平面EFG 平面EMN 引申探究 1 在本例条件下 证明 平面EMN 平面PAC 证明 因为AB PA AB AC 且PA AC A 所以AB 平面PAC 又MN CD CD AB 所以MN AB 所以MN 平面PAC 又MN 平面EMN 所以平面EMN 平面PAC 2 在本例条件下 证明 平面EFG 平面PAC 证明 因为E F G分别为PB AB BC的中点 所以EF PA FG AC 又EF平面PAC PA 平面PAC 所以EF 平面PAC 同理 FG 平面PAC 又EF FG F 所以平面EFG 平面PAC 思维升华 1 判定面面垂直的方法 面面垂直的定义 面面垂直的判定定理 a a 2 在已知平面垂直时 一般要用性质定理进行转化 在一个平面内作交线的垂线 转化为线面垂直 然后进一步转化为线线垂直 跟踪训练2 2016 江苏 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 D E分别为AB BC的中点 点F在侧棱B1B上 且B1D A1F A1C1 A1B1 求证 1 直线DE 平面A1C1F l 由已知 DE为 ABC的中位线 DE AC 又由三棱柱的性质可得AC A1C1 DE A1C1 又 DE平面A1C1F A1C1 平面A1C1F DE 平面A1C1F 证明 2 平面B1DE 平面A1C1F 证明 在直三棱柱ABC A1B1C1中 AA1 平面A1B1C1 AA1 A1C1 又 A1B1 A1C1 且A1B1 AA1 A1 A1C1 平面ABB1A1 B1D 平面ABB1A1 A1C1 B1D 又 A1F B1D 且A1F A1C1 A1 B1D 平面A1C1F 又 B1D 平面B1DE 平面B1DE 平面A1C1F 题型三垂直关系中的探索性问题 例3如图 在三棱台ABC DEF中 CF 平面DEF AB BC 1 设平面ACE 平面DEF a 求证 DF a 在三棱台ABC DEF中 AC DF AC 平面ACE DF平面ACE DF 平面ACE 又 DF 平面DEF 平面ACE 平面DEF a DF a 证明 2 若EF CF 2BC 试问在线段BE上是否存在点G 使得平面DFG 平面CDE 若存在 请确定G点的位置 若不存在 请说明理由 解答 线段BE上存在点G 且BG BE 使得平面DFG 平面CDE 证明如下 取CE的中点O 连接FO并延长交BE于点G 连接GD GF CF EF GF CE 在三棱台ABC DEF中 AB BC DE EF 由CF 平面DEF CF DE 又CF EF F DE 平面CBEF DE GF 又GF 平面DFG 平面DFG 平面CDE 此时 如平面图所示 延长CB FG交于点H O为CE的中点 EF CF 2BC 由平面几何知识易证 HOC FOE 思维升华 同 平行关系中的探索性问题 的规律方法一样 一般是先探求点的位置 多为线段的中点或某个三等分点 然后给出符合要求的证明 跟踪训练3 2016 北京东城区模拟 如图 在三棱柱ABC A1B1C1中 侧棱AA1 底面ABC M为棱AC的中点 AB BC AC 2 AA1 1 求证 B1C 平面A1BM 证明 连接AB1与A1B 两线交于点O 连接OM 在 B1AC中 M O分别为AC AB1中点 OM B1C 又 OM 平面A1BM B1C平面A1BM B1C 平面A1BM 2 求证 AC1 平面A1BM 证明 侧棱AA1 底面ABC BM 平面ABC AA1 BM 又 M为棱AC中点 AB BC BM AC AA1 AC A BM 平面ACC1A1 BM AC1 AC 2 AM 1 AC1C A1MA 即 AC1C C1AC A1MA C1AC 90 A1M AC1 BM A1M M AC1 平面A1BM 解答 平面AC1N 平面AA1C1C 证明如下 设AC1中点为D 连接DM DN D M分别为AC1 AC中点 又 N为BB1中点 DM BN 且DM BN 四边形BNDM为平行四边形 BM DN BM 平面ACC1A1 DN 平面ACC1A1 又 DN 平面AC1N 平面AC1N 平面AA1C1C 典例 12分 如图所示 M N K分别是正方体ABCD A1B1C1D1的棱AB CD C1D1的中点 求证 1 AN 平面A1MK 2 平面A1B1C 平面A1MK 立体几何证明问题中的转化思想 思想与方法系列17 规范解答 思想方法指导 1 线面平行 垂直关系的证明问题的指导思想是线线 线面 面面关系的相互转化 交替使用平行 垂直的判定定理和性质定理 2 线线关系是线面关系 面面关系的基础 证明过程中要注意利用平面几何中的结论 如证明平行时常用的中位线 平行线分线段成比例 证明垂直时常用的等腰三角形的中线等 3 证明过程一定要严谨 使用定理时要对照条件 步骤书写要规范 返回 证明 1 如图所示 连接NK 在正方体ABCD A1B1C1D1中 四边形AA1D1D DD1C1C都为正方形 AA1 DD1 AA1 DD1 C1D1 CD C1D1 CD 2分 N K分别为CD C1D1的中点 DN D1K DN D1K 四边形DD1KN为平行四边形 3分 KN DD1 KN DD1 AA1 KN AA1 KN 四边形AA1KN为平行四边形 AN A1K 4分 A1K 平面A1MK AN平面A1MK AN 平面A1MK 6分 2 如图所示 连接BC1 在正方体ABCD A1B1C1D1中 AB C1D1 AB C1D1 M K分别为AB C1D1的中点 BM C1K BM C1K 四边形BC1KM为平行四边形 MK BC1 8分 在正方体ABCD A1B1C1D1中 A1B1 平面BB1C1C BC1 平面BB1C1C A1B1 BC1 MK BC1 A1B1 MK 四边形BB1C1C为正方形 BC1 B1C 10分 MK B1C A1B1 平面A1B1C B1C 平面A1B1C A1B1 B1C B1 MK 平面A1B1C 又 MK 平面A1MK 平面A1B1C 平面A1MK 12分 返回 课时作业 1 若平面 平面 平面 平面 直线l 则A 垂直于平面 的平面一定平行于平面 B 垂直于直线l的直线一定垂直于平面 C 垂直于平面 的平面一定平行于直线lD 垂直于直线l的平面一定与平面 都垂直 答案 解析 对于A 垂直于平面 的平面与平面 平行或相交 故A错误 对于B 垂直于直线l的直线与平面 垂直 斜交 平行或在平面 内 故B错误 对于C 垂直于平面 的平面与直线l平行或相交 故C错误 易知D正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 设m n是两条不同的直线 是两个不同的平面 下列命题中正确的是A 若 m n 则m nB 若 m n 则m nC 若m n m n 则 D 若m m n n 则 答案 解析 A中 m与n可垂直 可异面 可平行 B中 m与n可平行 可异面 C中 若 仍然满足m n m n 故C错误 故选D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 2016 包头模拟 如图 三棱柱ABC A1B1C1中 侧棱AA1垂直底面A1B1C1 底面三角形A1B1C1是正三角形 E是BC中点 则下列叙述正确的是A CC1与B1E是异面直线B AC 平面ABB1A1C AE与B1C1是异面直线 且AE B1C1D A1C1 平面AB1E 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A不正确 因为CC1与B1E在同一个侧面中 故不是异面直线 B不正确 由题意知 上底面ABC是一个正三角形 故不可能存在AC 平面ABB1A1 C正确 因为AE B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线 故它们是异面直线 D不正确 因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交 且A1C1与交线有公共点 故A1C1 平面AB1E不正确 故选C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 如图 以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕 把 ABD和 ACD折成互相垂直的两个平面后 某学生得出下列四个结论 BD AC BAC是等边三角形 三棱锥D ABC是正三棱锥 平面ADC 平面ABC 其中正确的是A B C D 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意知 BD 平面ADC 故BD AC 正确 AD为等腰直角三角形斜边BC上的高 平面ABD 平面ACD 所以AB AC BC BAC是等边三角形 正确 易知DA DB DC 又由 知 正确 由 知 错 故选B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 如图所示 直线PA垂直于 O所在的平面 ABC内接于 O 且AB为 O的直径 点M为线段PB的中点 现有结论 BC PC OM 平面APC 点B到平面PAC的距离等于线段BC的长 其中正确的是A B C D 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对于 PA 平面ABC PA BC AB为 O的直径 BC AC BC 平面PAC 又PC 平面PAC BC PC 对于 点M为线段PB的中点 OM PA PA 平面PAC OM平面PAC OM 平面PAC 对于 由 知BC 平面PAC 线段BC的长即是点B到平面PAC的距离 故 都正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 如图 BAC 90 PC 平面ABC 则在 ABC和 PAC的边所在的直线中 与PC垂直的直线有 与AP垂直的直线有 答案 解析 AB BC AC AB PC 平面ABC PC垂直于直线AB BC AC AB AC AB PC AC PC C AB 平面PAC 与AP垂直的直线是AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 如图 直三棱柱ABC A1B1C1中 侧棱长为2 AC BC 1 ACB 90 D是A1B1的中点 F是BB1上的动点 AB1 DF交于点E 要使AB1 平面C1DF 则线段B1F的长为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设B1F x 因为AB1 平面C1DF DF 平面C1DF 所以AB1 DF 设Rt AA1B1斜边AB1上的高为h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 在Rt DB1E中 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 如图 PA 圆O所在的平面 AB是圆O的直径 C是圆O上的一点 E F分别是点A在PB PC上的射影 给出下列结论 AF PB EF PB AF BC AE 平面PBC 其中正确结论的序号是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意知PA 平面ABC PA BC 又AC BC 且PA AC A BC 平面PAC BC AF AF PC 且BC PC C AF 平面PBC AF PB 又AE PB AE AF A PB 平面AEF PB EF 故 正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 2016 保定模拟 如图 在直二面角 MN 中 等腰直角三角形ABC的斜边BC 一直角边AC BC与 所成角的正弦值为 则AB与 所成的角是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 如图所示 作BH MN于点H 连接AH 则BH BCH为BC与 所成的角 ABC为等腰直角三角形 AC AB AB与 所成的角为 BAH 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 2016 全国乙卷 如图 在以A B C D E F为顶点的五面体中 平面ABEF为正方形 AF 2FD AFD 90 且二面角D AF E与二面角C BE F都是60 1 证明 平面ABEF EFDC 证明 由已知可得AF DF AF FE DF FE F 所以AF 平面EFDC 又AF 平面ABEF 故平面ABEF 平面EFDC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 求二面角E BC A的余弦值 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 过D作DG EF 垂足为G 由 1 知DG 平面ABEF 由 1 知 DFE为二面角D AF E的平面角 故 DFE 60 则 DF 2 DG 可得A 1 4 0 B 3 4 0 E 3 0 0 D 0 0 由已知 AB EF AB平面EFDC EF 平面EFDC 所以AB 平面EFDC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设n x y z 是平面BCE的法向量 又平面ABCD 平面EFDC CD 故AB CD CD EF 由BE AF 可得BE 平面EFDC 所以 CEF为二面角C BE F的平面角 CEF 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11 如图所示 四边形ABCD是平行四边形 平面AED 平面ABCD EF AB AB 2 BC EF 1 AE DE 3 BAD 60 G为BC的中点 1 求证 FG 平面