高考数学大一轮复习 第七章 不等式 7_4 基本不等式及其应用课件 理 北师大版

7 4基本不等式及其应用 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 基本不等式成立的条件 2 等号成立的条件 当且仅当时取等号 知识梳理 a 0 b 0 a b 2 几个重要的不等式 1 a2 b2 a b R 2ab 2 3 ab a b R 以上不等式等号成立的条件均为a b 1 设a 0 b 0 则a b的算术平均数为 几何平均数为 3 算术平均数与几何平均数 2 基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数它们的几何平均数 也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项 不小于 2 如果和x y是定值p 那么当且仅当时 xy有最值 简记 和定积最大 x y 大 4 利用基本不等式求最值问题 已知x 0 y 0 则 1 如果积xy是定值p 那么当且仅当时 x y有最值 简记 积定和最小 x y 小 不等式的恒成立 能成立 恰成立问题 1 恒成立问题 若f x 在区间D上存在最小值 则不等式f x A在区间D上恒成立 若f x 在区间D上存在最大值 则不等式f x A成立 f x min A x D f x max B x D f x max A x D 若f x 在区间D上存在最小值 则在区间D上存在实数x使不等式f x A恰在区间D上成立 f x A的解集为D 不等式f x B恰在区间D上成立 f x B的解集为D f x min B x D 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 教材改编 设x 0 y 0 且x y 18 则xy的最大值为A 80B 77C 81D 82 考点自测 答案 解析 x 0 y 0 当且仅当x y 9时 xy max 81 2 已知f x x 2 x 0 则f x 有A 最大值为0B 最小值为0C 最大值为 4D 最小值为 4 答案 解析 当且仅当x 1时 f x max 4 答案 解析 A q rpD p r q f x lnx在 0 上是增加的 4 教材改编 已知x y均为正实数 且x 4y 1 则xy的最大值为 答案 解析 5 教材改编 若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地 则矩形场地的最大面积是 m2 答案 解析 25 设矩形的一边为xm 则另一边为 20 2x 10 x m 当且仅当x 10 x 即x 5时 ymax 25 题型分类深度剖析 当且仅当3x 4 3x 即x 时 取等号 题型一利用基本不等式求最值 命题点1通过配凑法利用基本不等式 答案 解析 1 答案 解析 因为x0 答案 解析 例2已知a 0 b 0 a b 1 则的最小值为 命题点2通过常数代换法利用基本不等式 答案 解析 4 a 0 b 0 a b 1 引申探究 解答 当且仅当a b 时 取等号 解答 解答 a 2b 3 思维升华 1 应用基本不等式解题一定要注意应用的前提 一正 二定 三相等 所谓 一正 是指正数 二定 是指应用基本不等式求最值时 和或积为定值 三相等 是指满足等号成立的条件 2 在利用基本不等式求最值时 要根据式子的特征灵活变形 配凑出积 和为常数的形式 然后再利用基本不等式 3 条件最值的求解通常有两种方法 一是消元法 即根据条件建立两个量之间的函数关系 然后代入代数式转化为函数的最值求解 二是将条件灵活变形 利用常数 1 代换的方法构造和或积为常数的式子 然后利用基本不等式求解最值 跟踪训练1 1 2016 西藏民族学院附中期末 若正数x y满足x 3y 5xy 则3x 4y的最小值是 答案 解析 3x 4y的最小值是5 当且仅当y 时等号成立 3x 4y min 5 2 已知x y 0 2x 3 y 若 m 0 的最小值为3 则m 答案 解析 4 由2x 3 y 得x y 3 解得m 4 题型二基本不等式的实际应用 例3 2016 淄博模拟 某工厂某种产品的年固定成本为250万元 每生产x千件 需另投入成本为C x 当年产量不足80千件时 C x x2 10 x 万元 当年产量不小于80千件时 C x 51x 1450 万元 每件商品售价为0 05万元 通过市场分析 该厂生产的商品能全部售完 1 写出年利润L x 万元 关于年产量x 千件 的函数解析式 解答 因为每件商品售价为0 05万元 则x千件商品销售额为0 05 1000 x万元 依题意得 当0 x 80时 L x 1000 x 0 05 x2 10 x 250 x2 40 x 250 当x 80时 L x 1000 x 0 05 51x 1450 250 1200 x 2 当年产量为多少千件时 该厂在这一商品的生产中所获利润最大 当0 x 80时 L x x 60 2 950 对称轴为x 60 即当x 60时 L x 最大 950 万元 当且仅当x 100时 L x 最大 1000 万元 综上所述 当年产量为100千件时 年获利最大 解答 思维升华 1 设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数 2 根据实际问题抽象出函数的解析式后 只需利用基本不等式求得函数的最值 3 在求函数的最值时 一定要在定义域 使实际问题有意义的自变量的取值范围 内求解 跟踪训练2 1 某车间分批生产某种产品 每批的生产准备费用为800元 若每批生产x件 则平均仓储时间为天 且每件产品每天的仓储费用为1元 为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小 每批应生产产品 件 答案 解析 80 设每件产品的平均费用为y元 由题意得 2 某公司购买一批机器投入生产 据市场分析 每台机器生产的产品可获得的总利润y 单位 万元 与机器运转时间x 单位 年 的关系为y x2 18x 25 x N 则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是 万元 8 答案 解析 题型三基本不等式的综合应用 命题点1基本不等式与其他知识交汇的最值问题 例4 1 2016 菏泽一模 已知直线ax by c 1 0 b c 0 经过圆x2 y2 2y 5 0的圆心 则的最小值是A 9B 8C 4D 2 答案 解析 圆x2 y2 2y 5 0化成标准方程 得x2 y 1 2 6 所以圆心为C 0 1 因为直线ax by c 1 0经过圆心C 所以a 0 b 1 c 1 0 即b c 1 因为b c 0 2 2016 山西忻州一中第一次联考 设等差数列 an 的公差是d 其前n项和是Sn 若a1 d 1 则的最小值是 答案 解析 当且仅当n 4时取等号 命题点2求参数值或取值范围 答案 解析 m 12 m的最大值为12 答案 解析 设g x x x N 则g 2 6 g 3 对任意x N f x 3恒成立 即 3恒成立 即知a x 3 思维升华 1 应用基本不等式判断不等式是否成立 对所给不等式 或式子 变形 然后利用基本不等式求解 2 条件不等式的最值问题 通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解 3 求参数的值或范围 观察题目特点 利用基本不等式确定相关成立条件 从而得参数的值或范围 跟踪训练3 1 2016 福建四地六校联考 已知函数f x x 2的值域为 0 4 则a的值是 答案 解析 由题意可得a 0 几何画板展示 答案 解析 由各项均为正数的等比数列 an 满足a7 a6 2a5 可得a1q6 a1q5 2a1q4 所以q2 q 2 0 解得q 2或q 1 舍去 因为 4a1 所以qm n 2 16 所以2m n 2 24 所以m n 6 又m n 6 解得m 2 n 4 符合题意 利用基本不等式求最值 现场纠错系列9 利用基本不等式求最值时要注意条件 一正二定三相等 多次使用基本不等式要验证等号成立的条件 错解展示 现场纠错 纠错心得 返回 解析 1 x 0 y 0 返回 课时作业 1 已知a b R 且ab 0 则下列结论恒成立的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 运用基本不等式时需保证 一正 二定 三相等 而当x k k Z时 sinx的正负不定 故选项B不正确 由基本不等式可知 选项C正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 最小值1B 最大值1C 最小值2D 最大值2 答案 解析 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 2016 平顶山至阳中学期中 若函数f x x x 2 在x a处取最小值 则a等于 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 已知x 0 y 0 且4xy x 2y 4 则xy的最小值为 答案 解析 答案 解析 A 1B 6C 9D 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 2016 唐山一模 已知x y R且满足x2 2xy 4y2 6 则z x2 4y2的取值范围为 答案 解析 4 12 x2 4y2 4 当且仅当x 2y时取等号 又 x 2y 2 6 2xy 0 即2xy 6 z x2 4y2 6 2xy 12 当且仅当x 2y时取等号 综上可知4 x2 4y2 12 9 2016 潍坊模拟 已知a b为正实数 直线x y a 0与圆 x b 2 y 1 2 2相切 则的取值范围是 答案 解析 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 直线x y a 0与圆 x b 2 y 1 2 2相切 a b 1 2 即a b 1 又 a b为正实数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 答案 解析 由题意知3a 3b 3 即3a b 3 a b 1 a 0 b 0 11 2016 东莞模拟 函数y loga x 3 1 a 0 且a 1 的图像恒过定点A 若点A在直线mx ny 1 0上 其中m n均大于0 则的最小值为 答案 解析 8 y loga x 3 1的图像恒过定点A 2 1 由A在直线mx ny 1 0上 得 2m n 1 0 即2m n 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 已知x 0 y 0 且2x 5y 20 1 求u lgx lgy的最大值 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x 0 y 0 由基本不等式 得2x 5y 2 2x 5y 20 2 20 xy 10 当且仅当2x 5y时 等号成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 此时xy有最大值10 u lgx lgy lg xy lg10 1 当x 5 y 2时 u lgx lgy有最大值1 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x 0 y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 经市场调查 某旅游城市在过去的一个月内 以30天计 第t天 1 t 30 t N 的旅游人数f t 万人 近似地满足f t 4 而人均消费g t 元 近似地满足g t 120 t 20 1 求该城市的旅游日收益W t 万元 与时间t 1 t 30 t N 的函数关系式 解答 W t f t g t 4 120 t 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 求该城市旅游日收益的最小值 解答 14 如图所示 建立平面直角坐标系xOy x轴在地平面上 y轴垂直于地平面 单位长度为1km 某炮位于坐标原点 已知炮弹发射后的轨迹在方程y kx 1 k2 x2 k 0 表示的曲线上 其中k与发射方向有关 炮的射程是指炮弹落地点的横坐标 1 求炮的最大射程 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 令y 0 得kx 1 k2 x2 0 由实际意义和题设条件知