【志鸿全优设计】高中数学 第二章2.3.1 双曲线及其标准方程讲解与例题 新人教A版选修21.doc

2.3双曲线2.3.1双曲线及其标准方程问题导学一、双曲线的定义活动与探究1若点f1(c,0)，f2(c,0)(c0且为常数)为两个不同的定点，且动点m满足|mf1|mf2|2a(2a0且a为常数)求动点m的轨迹迁移与应用1动点p到点m(1,0)及点n(3,0)的距离之差为2，则点p的轨迹是()a双曲线 b双曲线的一支c两条射线 d一条射线2已知两定点f1(5,0)，f2(5,0)，动点p满足|pf1|pf2|2a，则当a3和5时，p点的轨迹分别是()a双曲线和一条直线b双曲线和一条射线c双曲线的一支和一条射线d双曲线的一支和一条直线根据双曲线的定义判断动点轨迹时，一定要注意双曲线的定义中的各个条件，不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数，就认为其轨迹是双曲线，还要看该常数是否小于两个已知定点之间的距离且大于零，否则就不是双曲线二、双曲线标准方程的理解活动与探究2讨论1表示何种曲线？迁移与应用1已知方程1表示双曲线，则k的取值范围是()a1k1 bk0ck0 dk1或k12已知1，当k为何值时：方程表示双曲线；表示焦点在x轴上的双曲线；表示焦点在y轴上的双曲线1对于方程1，当mn0时表示双曲线进一步，当m0，n0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m0，n0时表示焦点在y轴上的双曲线2对于方程1，则当mn0时表示双曲线且当m0，n0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m0，n0时表示焦点在y轴上的双曲线3已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围三、求双曲线的标准方程活动与探究3求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，4)和；(2)与双曲线1有公共焦点，且过点(3，2)迁移与应用1过点(1,1)且的双曲线的标准方程是()ay21 bx21cx21 dy21或x212若双曲线以椭圆1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为_1双曲线标准方程的求解方法是“先定型，后计算”所谓“定型”，是指确定类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴，从而设出相应的标准方程的形式；所谓“计算”，是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2的值，最后写出双曲线的标准方程2在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为ax2by21(ab0)3与双曲线1共焦点的双曲线的标准方程可设为1(b2a2)四、双曲线定义的应用活动与探究4已知双曲线1，p为双曲线上除x轴上之外的一点且f1pf2，求pf1f2的面积迁移与应用1已知f1，f2是双曲线y21的两个焦点，p是双曲线上一点，且f1pf290，则f1pf2的面积是()a1 b c2 d2已知圆m1：(x4)2y225，圆m2：x2(y3)21，一动圆p与这两个圆都外切，试求动圆圆心p的轨迹双曲线上一点p与双曲线的两个焦点f1，f2构成的三角形称之为焦点三角形，其中|pf1|，|pf2|和|f1f2|为三角形的三边，解决与这个三角形有关的问题要充分利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理答案：课前预习导学【预习导引】1差的绝对值两个定点两焦点间的距离预习交流1提示：定义中要求是与两个定点的距离的差的绝对值等于常数，而不是与两个定点的距离的差等于常数，否则，轨迹将只是双曲线的某一支，而不是完整的双曲线定义中的常数应满足：大于零且小于|f1f2|若常数等于零，则轨迹为线段f1f2的垂直平分线；若常数等于|f1f2|，则轨迹为以f1，f2为端点的两条射线；若常数大于|f1f2|，则轨迹不存在预习交流2提示：给定一个双曲线的标准方程，判定它代表的双曲线的焦点的位置时，应根据x2和y2的系数的正负来确定如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上双曲线的标准方程中的a和b之间没有确定的大小关系，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点所在的坐标轴课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：要紧扣双曲线的定义，注意题目中的两个字母c，a的关系，根据不同的大小关系分类讨论解：若2a2c0，则点m的轨迹不存在若2a2c0，则点m的轨迹是以点f2为端点，且与x轴正方向同向的射线，方程为y0(xc)若02a2c，则点m的轨迹是以f1，f2为焦点的双曲线的右支，其方程为1(xa)若2a0，则点m的轨迹是线段f1f2的垂直平分线，方程为x0迁移与应用1d解析：依题意|pm|pn|2|mn|，所以点p的轨迹不是双曲线，而是一条射线2c解析：当a3时，|pf1|pf2|6|f1f2|，所以p点轨迹是双曲线的一支；当a5时，|pf1|pf2|10|f1f2|，所以p点轨迹是以f2为起点的一条射线活动与探究2思路分析：根据所给方程，依据25k与k9的符号及大小，确定方程所表示的曲线解：由题意可知k25且k9当k25时，有25k0，k90，所给方程表示焦点在y轴上的双曲线；当k9时，有25k0，k90，所给方程表示焦点在x轴上的双曲线；当9k17时，25k0，k90且25kk9，所给方程表示焦点在x轴上的椭圆；当17k25时，25k0，k90且k925k，所给方程表示焦点在y轴上的椭圆；当k17时，25kk98，所给方程表示以原点为圆心，2为半径的圆迁移与应用1a解析：方程1表示双曲线，则(1k)(1k)0，(k1)(k1)0，1k12解：若方程表示双曲线，则有或解得k3或1k3；若方程表示焦点在x轴上的双曲线，则1k3；若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则k3活动与探究3思路分析：可先设出双曲线的标准方程，再构造关于a，b的方程组，求得a，b，从而求得双曲线的标准方程注意平方关系c2a2b2的运用解：(1)由已知，可设所求双曲线方程为1(a0，b0)，则解得双曲线的方程为1(2)解法一：设双曲线方程为1由题意知c2双曲线过点(3，2)，1又a2b2(2)2，a212，b28故所求双曲线的方程为1解法二：设双曲线方程为1(4k16)，将点(3，2)代入得k4，所求双曲线的方程为1迁移与应用1d解析：由于，b22a2当焦点在x轴上时，设双曲线方程为1，将点(1,1)代入，得a2此时双曲线方程为y21同理求得焦点在y轴上时，双曲线方程为x2121解析：椭圆1的焦点在x轴上，且a4，b3，c，所以焦点为(，0)，顶点为(4,0)于是双曲线经过点(，0)，焦点为(4,0)，于是a，c4，所以b29，所以双曲线的标准方程为1活动与探究4思路分析：在焦点三角形中，充分利用双曲线的定义和三角形的边角关系、余弦定理、正弦定理来求解解：由面积公式知|pf1|pf2|sin f1pf2，首先用余弦定理求出|pf1|pf2|的值，因为cosf1pf21|pf1|pf2|，从而得b2cot (f1pf2)迁移与应用1a解析：解法一：设|pf1|d1，|pf2|d2，由双曲线的定义可知|d1d2|4又f1pf290，于是有dd|f1f2|220，因此，d1d2(dd|d1d2|2)1解法二：由y21，知|f1f2|2设p点的纵坐标为yp，由于f1pf290，则p在以|f1f2|为直径的圆上，即在x2y25上由消去x得|yp|故f1pf2的面积s|f1f2|yp|12解：设动圆的半径是r，则由题意知两式相减得|pm1|pm2|4|m1m2|5，所以动圆圆心p的轨迹是以点m1(4,0)，m2(0,3)为焦点的双曲线中靠近焦点m2(0,3)的一支当堂检测1已知定点f1(2,0)，f2(2,0)在满足下列条件的平面内，动点p的轨迹为双曲线的是()a|pf1|pf2|3b|pf1|pf2|4c|pf1|pf2|5d|pf1|2|pf2|24答案：a解析：根据双曲线定义知p到f1，f2的距离之差的绝对值要小于|f1f2|2k1，则关于x，y的方程(1k)x2y2k21所表示的曲线是()a焦点在x轴上的椭圆b焦点在y轴上的椭圆c焦点在y轴上的双曲线d焦点在x轴上的双曲线答案：c解析：原方程可化为，k1，k210,1k0方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线3设椭圆c1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线c2上的点到椭圆c1的两焦点的距离差的绝对值等于8，则曲线c2的标准方程为()a1 b1c1 d1答案：a解析：在椭圆c1中，由得椭圆c1的焦点f1(5,0)，f2(5,0)，曲线c2是以f1，f2为焦点，实轴长为8的双曲线，故c2的标准方程为4双曲线1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为()a22或2 b7 c22 d2答案：a解析：a225，所以a5,2a10，由双曲线的定义知双曲线上的点到两焦点距离差的绝对值为10，故到另一焦点的距离为22或2