高中数学第一章计数原理4简单计数问题课件北师大版选修2_3

4简单计数问题 第一章计数原理 学习目标1 进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理 2 进一步深化排列与组合的概念 3 能综合运用排列 组合解决计数问题 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 知识点一两个计数原理 1 分类加法计数原理 加法原理 完成一件事 可以有n类办法 在第一类办法中有m1种方法 在第二类办法中有m2种方法 在第n类办法中有mn种方法 那么 完成这件事共有N 种方法 2 分步乘法计数原理 乘法原理 完成一件事需要经过n个步骤 缺一不可 做第一步有m1种方法 做第二步有m2种方法 做第n步有mn种方法 那么 完成这件事共有N 种方法 m1 m2 mn m1 m2 mn 3 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 都涉及完成一件事的不同方法的种数 它们的区别在于 分类加法计数原理与分类有关 各种方法相互独立 用其中的任一种方法都可以完成这件事 分步乘法计数原理与分步有关 各个步骤相互依存 只有各个步骤都完成了 这件事才算完成 知识点二排列 1 排列从n个的元素中取出m m n 个元素 按照一定的排成一列 叫作从n个不同的元素中任意取出m个元素的一个排列 顺序 不同 2 排列数 n n 1 n 2 n m 1 n 1 知识点三组合 1 组合一般地 从n个不同的元素中 任取m m n 个元素为一组 叫作从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合 2 组合数 1 组合数定义 从n个不同元素中取出m m n 个元素的 叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数 用符号表示 所有组合的个数 2 组合数公式 1 特别提醒 1 排列组合综合题的一般解法一般坚持先组后排的原则 即先选元素后排列 同时注意按元素性质分类或按事件的发生过程分类 2 解决有限制条件的排列 组合问题的一般策略 1 特殊元素优先安排的策略 2 正难则反 等价转化的策略 3 相邻问题捆绑处理的策略 4 不相邻问题插空处理的策略 5 定序问题除法处理的策略 6 小集团 排列问题中先整体后局部的策略 7 平均分组问题 除法处理的策略 8 构造模型的策略 题型探究 解析在甲箱或乙箱中抽取幸运之星 决定了后边选幸运伙伴是不同的 故要分两类分别计算 1 幸运之星在甲箱中抽 先确定幸运之星 再在两箱中各确定一名幸运伙伴 有30 29 20 17400 种 结果 2 幸运之星在乙箱中抽 同理有20 19 30 11400 种 结果 因此共有17400 11400 28800 种 不同结果 命题角度1 类中有步 的计数问题 类型一两个计数原理的应用 例1电视台在某节目中拿出两个信箱 其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信 甲信箱中有30封 乙信箱中有20封 现由主持人抽奖确定幸运观众 若先确定一名幸运之星 再从两信箱中各确定一名幸运伙伴 有 种不同的结果 解析 答案 28800 用流程图描述计数问题 类中有步的情形如图所示 反思与感悟 具体意义如下 从A到B算作一件事的完成 完成这件事有两类办法 在第1类办法中有3步 在第2类办法中有2步 每步的方法数如图所示 所以 完成这件事的方法数为m1m2m3 m4m5 类 与 步 可进一步地理解为 类 用 号连接 步 用 号连接 类 独立 步 连续 类 标志一件事的完成 步 缺一不可 解析如图所示 将原图从上而下的4个区域标为1 2 3 4 因为1 2 3之间不能同色 1与4可以同色 因此 要分类讨论1 4同色与不同色这两种情况 故不同的着色方法种数为4 3 2 4 3 2 1 48 故选D 跟踪训练1现有4种不同颜色 要对如图所示的四个部分进行着色 要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色 则不同的着色方法共有A 24种B 30种C 36种D 48种 解析 答案 命题角度2 步中有类 的计数问题 例2有4位同学在同一天的上 下午参加 身高与体重 立定跳远 肺活量 握力 台阶 五个项目的测试 每位同学上 下午各测试一个项目 且不重复 若上午不测 握力 项目 下午不测 台阶 项目 其余项目上 下午都各测一人 则不同的安排方式共有 种 用数字作答 解析 答案 264 解析上午总测试方法有4 3 2 1 24 种 我们以A B C D E依次代表五个测试项目 若上午测试E的同学下午测试D 则上午测试A的同学下午只能测试B C 确定上午测试A的同学后其余两位同学上 下午的测试方法共有2种 若上午测试E的同学下午测试A B C之一 则上午测试A B C中任何一个的同学下午都可以测试D 安排完这位同学后其余两位同学的测试方式就确定了 故共有3 3 9 种 测试方法 即下午的测试方法共有11种 根据分步乘法计数原理 总的测试方法共有24 11 264 种 用流程图描述计数问题 步中有类的情形如图所示 反思与感悟 从计数的角度看 由A到D算作完成一件事 可简单地记为A D 完成A D这件事 需要经历三步 即A B B C C D 其中B C这步又分为三类 这就是步中有类 其中mi i 1 2 3 4 5 表示相应步的方法数 完成A D这件事的方法数为m1 m2 m3 m4 m5 以上给出了处理步中有类问题的一般方法 跟踪训练2如图所示 使电路接通 开关不同的开闭方式共有A 11B 12C 20D 21 解析 答案 解析根据题意 设5个开关依次为1 2 3 4 5 如图所示 若电路接通 则开关1 2与3 4 5中至少有1个接通 对于开关1 2 共有2 2 4 种 情况 其中全部断开的有1 种 情况 则其至少有1个接通的有4 1 3 种 情况 对于开关3 4 5 共有2 2 2 8 种 情况 其中全部断开的有1 种 情况 则其至少有1个接通的有8 1 7 种 情况 则电路接通的情况有3 7 21 种 故选D 命题角度1不同元素的排列 组合问题 解答 类型二排列与组合的综合应用 例3有4张分别标有数字1 2 3 4的红色卡片和4张分别标有数字1 2 3 4的蓝色卡片 从这8张卡片中取出4张卡片排成一行 如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10 则不同的排法共有多少种 解分三类 第一类 当取出的4张卡片分别标有数字1 2 3 4时 不同的排法有种 第二类 当取出的4张卡片分别标有数字1 1 4 4时 不同的排法有种 第三类 当取出的4张卡片分别标有数字2 2 3 3时 不同的排法有种 故满足题意的所有不同的排法种数为 432 1 解排列 组合综合问题的一般思路是 先选后排 也就是先把符合题意的元素都选出来 再对元素或位置进行排列 2 解排列 组合综合问题时的注意点 元素是否有序是区分排列与组合的基本方法 无序的问题是组合问题 有序的问题是排列问题 对于有多个限制条件的复杂问题 应认真分析每个限制条件 然后再考虑是分类还是分步 这是处理排列 组合综合问题的一般方法 反思与感悟 跟踪训练3从1 3 5 7 9中任取3个数字 从0 2 4 6 8中任取2个数字 一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数 解答 解 1 五位数中不含数字0 第1步 选出5个数字 共有种选法 第2步 排成偶数 先排末位数 有种排法 再排其他四位数字 有种排法 所以N1 2 五位数中含有数字0 第1步 选出5个数字 共有种选法 第2步 排顺序又可分为两小类 末位排0 有种排列方法 末位不排0 这时末位数有种选法 而因为0不能排在首位 所以首位有种排法 其余3个数字则有种排法 所以N2 所以符合条件的偶数个数为N N1 N2 4560 命题角度2含有相同元素的排列 组合问题 例4今有2个红球 3个黄球 4个白球 同色球不加区分 将这9个球排成一列 有 种不同的方法 解析 答案 1260 解析方法一 元素分析法 先将这9个球视为不同的元素 共有种排法 再来消去同色球的顺序 因2个不同红球有种排法 3个不同黄球有种排法 4个不同白球有种排法 故符合题意的方法有 1260 种 方法二 位置分析法 第一步 从9个位置中选出2个位置 分给相同的红球 有种选法 第二步 从剩余的7个位置中选出3个位置 分给相同的黄球 有种选法 第三步 剩下的4个位置全部分给4个白球 有1种选法 根据分步乘法计数原理可得 符合题意的方法有 1260 种 针对对部分元素相同的n个不同元素进行排列的问题 有两种解决方法 1 先把这些元素看作全不相同的元素进行排列 再设法消去相同元素的顺序 2 从位置进行分析 因为位置全不相同 可以分别给相同的每一类元素找位置 反思与感悟 跟踪训练4为减轻学生经济负担且又能满足学生求知要求 某班级利用班费买了4本相同的数学资料书 3本相同的外语资料书 2本相同的物理资料书作为班级图书供同学们学习使用 现有8人去借阅图书 每人只能借阅一本 则有多少种借阅方法 解答 解第一类 剩下的一本书是数学资料书 此时相当于把8个人分成个数分别为3 3 2的三堆 这三堆分别借阅数学 外语 物理资料书 其借法共有 560 种 第二类 剩下的一本书是外语资料书 此时相当于把8个人分成个数分别为4 2 2的三堆 这三堆分别借阅数学 外语 物理资料书 其借法共有 420 种 第三类 剩下的一本书是物理资料书 此时相当于把8个人分成个数分别为4 3 1的三堆 这三堆分别借阅数学 外语 物理资料书 其借法共有 280 种 根据分类加法计数原理 可得借阅方法共有560 420 280 1260 种 当堂训练 2 3 4 5 1 1 李芳有4件不同颜色的衬衣 3件不同花样的裙子 另有两套不同样式的连衣裙 五一 节需选择一套服装参加歌舞演出 则李芳的不同的选择方式有A 24种B 14种C 10种D 9种 解析 解析由题意可得李芳不同的选择方式为4 3 2 14 故选B 答案 2 3 4 5 1 2 设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动的可能结果有a种 这4名学生在运动会上共同争夺100米 跳远 铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种 则 a b 为A 34 34 B 43 34 C 34 43 D 答案 解析 解析首先每名学生报名有3种选择 有4名学生 根据分步乘法计数原理知共有34种选择 每项冠军有4种可能的结果 3项冠军根据分步乘法计数原理知共有43种可能结果 故选C 2 3 4 5 1 3 三位数中 如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小 则称这个数为凹数 如524 746等都是凹数 那么 各个数位上无重复数字的三位凹数有A 72个B 120个C 240个D 360个 答案 解析 2 3 4 5 1 4 某电视台连续播放5个广告 其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告 要求最后播放的必须是公益宣传广告 且2个公益宣传广告不能连续播放 则不同的播放方式有 种 答案 36 解析 解析先安排后2个 再安排前3个 由分步乘法计数原理知 共有 36 种 不同的播放方式 5 已知xi 1 0 1 i 1 2 3 4 5 6 则满足x1 x2 x3 x4 x5 x6 2的数组 x1 x2 x3 x4 x5 x6 的个数为 答案 解析 解析根据题意 x1 x2 x3 x4 x5 x6 2 xi 1 0 1 i 1 2 3 4 5 6 xi中有2个1和4个0 或3个1