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纳什均衡与ESS发布: 2006-8-05 10:06 | 作者: mumu | 来源: Biooo社区门户纳什均衡与ESS是我这两年学到得最喜欢的两个理论，下面关于这两个的解释，发现表述还困难，偏数学形式才能讲明白，得耐心看，还是很有趣的：）1.纳什均衡1.1二人零和有限对策之纯策率纳什均衡是博弈论里的很重要的概念和理论，最简单的一种：二人零和有限对策，零和是指双方利益完全冲突，我的收益就是你的损失，反之亦然；有限对策当然就是指招数有限，设A方有n招，记为a1,a2,an ；B方有m招，记为b1,b2,bm，两方对局共有n*m个局势，收益形势也就有n*m个，用矩阵S=sijn*m表示，sij表示A方采用ai B方采用bj时A方的收益，越大越好；-sij是B方的收益，对于B方sij越小越好，如下例：.b1.b2.b3 .a1.-6.1.-8 .a2.3.2.4 .a3.9.-1.-10 .a4.-3.0.6 .a1.a2.a3.a4 .b1.6.-3.-9.3 .b2.-1.-2.1.0 .b3.8.-4.10.-6A方如何出招，收益最大的？a3最大可能收益是9，那就用它行吗？那可是一相情愿，得指望对方是b1，要是b3可惨了；所以对方出什么招是很重要的，简单的方法是最小最大原则，即先考虑自己每一招最坏情况下的收益，然后再从挑出最大的那个，也就是最坏情况下的最大收益，应该是a2，最低期望收益为2，当然这是保守的方法；对于B方则是最大最小原则，则是b2，最低期望收益为2（以sij作标准，-sij就该是-2）你会发现两者最低期望收益是相同的，当然了，这是偶构造的特殊形式，对这样的解叫纳什均衡解；双方愿意接受这样的结局吗？应该，达到了最低期望收益，还都一样，大家也就乐哈哈 :）；甘心吗？当然，若B方坚持用b2，你是A方，用用其它招，保管你输，若存在这样的解，对于任何一方主动脱离是会吃亏的。1.2二人零和有限对策之混合策略有这样解得情况并不多，如下的对策收益阵：.b1.b2 .a1.3.6 .a2.5.4A方应该用a2，最低期望收益为4，也就是碰到b2；B方应该用b1最低期望收益为5，也就是碰到a2。若是这样A方的实际收益是5，比期望的多了1，很开心啊；B方虽是期望，终究不大平衡，想想既然A方用a2，何不用b1？倘若A方也想到这一层，问题就不好办了，没有一个认可的解，大家就开始斗心思。若是可以出混合策略如何？鸡蛋不能放在一个篮子里，小孩都知道的，对于A方a1占x1、a2占x2，对于B方b1占y1、b2占y2， x1、x2、y1、y2多少合适呢？A方的收益计算公式：x1*(3*y1+6*y2)+x2*(5*y1+4*y2) B方的收益计算公式：y1*(3*x1+5*x2)+y2*(6*x1+4*x2)两个式子一样，但对A方可是越大越好，B方越小越好可解得x1=1/4,x2=3/4 y1=1/2,y2=1/2 ，收益是9/2 ，怎么解的就不讲了，敲起来费劲，可以试试当一方采用此组合，另一方不用，看看结果如何？这就是纳什均衡，“美丽心灵”中有这一段，是纳什在舞厅里约姑娘失利后的痛苦思索得经验，我还没想明白是怎么回事2.进化稳定对策（ESS）ESS(evolutionary stable strategy)，进化稳定对策，当种群内所有个体都采取了某个对策后，其它对策者都不能侵入该种群，那么这个对策就是进化上稳定得。经典例子是鹰鸽对策，群体里当老鹰的多还是鸽子的多，比例是多少？考虑极端情况：若都是老鹰如何？雄赳赳，气昂昂，很威风，但却会为了利益互不相让，退让了就是鸽子，胜固然好，败了就要损失；因为偶尔原因混进一些鸽子，鸽子遇到老鹰就溜了，不吃亏，若遇到的还是鸽子，其中一方会妥协，平均上获利应是一半，这样这些鸽子不会消失，还会增多若都是鸽子又如何？这时某个原因诞生了只老鹰，那就是要风得风，要雨有雨，老鹰就会越来越多，从上面知道，也不会都成为老鹰。这样可以知道，在这个群体里，必定是老鹰与鸽子的混合，单一是不稳定得，老鹰与鸽子比例是由对阵的收益确定的，若对阵胜方得V，败方损失C；鹰鹰对阵，必分胜负，期望收益(V-C)/2（胜败机会相等）；鹰鸽对阵，鹰为V，鸽为0；鸽鸽对阵，一方退让，期望收益为V/2，赢得阵为：.鹰.鸽 .鹰.(V-C)/2.V .鸽.0.V/2这就变成寻找纳什均衡的形式了，需要注意的这不是二人零和有限对策：首先不是双方，而是一个群体中的两类，鹰、鸽；若认为是双方对阵，鹰鸽是策略，也不是零合的。但思想是damoquan2003-8-24 01:35:00朋友，以后博弈论就请教你了。马上就出野外，回来再求教。popular2003-8-24 01:35:00我倒是学过运筹学等课程，还是跟数学系学生一块学的，当时很感兴趣，不过后来走了实验路线，这些就全还给老师了。mumu2003-8-24 01:35:00两个部分，写在一起是因为后者是前者的应用纳什均衡里讨论得是二人零和有限对策，又分两块，一是纯策率就有均衡解，另一是混合策率才有均衡解首先要理解纯策率下得纳什均衡解；两个效益阵是等价得（通常只写一个，用第一个，第二个是参考示意），一个从A方看，另一个从B方看，只不过A希望越大越好，B希望越小越好；收益的确定要依赖对方得选择，保守得方法是考虑最坏情况下得最好收益，A是最小最大，B是最大最小；这种选择是预期对方出最坏情况下也有好得收益，如果对方不是这一选择，则会更好，对A来说，A2就是这样的，最坏遇到b2,效益为2，但比其他最坏情况都高，如果对方不是b2，则会更好，这是一种很理性的选择；如果B方也是这样考虑，选b2，预防对方得A2，两个刚好碰到一起，得到得是预期效益，可以接受，这就是个均衡解，谁先违背谁吃亏。纯策率下很多时候不存在均衡解，如第二个，有一方占点便宜，另一方就有点不平衡，但若可以用混合策率，就可以找到均衡解；能明白效益计算公式就可以了，对于2*2得可以用图解法，再高的用到对偶阵，求解也不是很难，只要不害怕上面是最简单的两种，思想是相通的ESS在张大勇的“理论生态学研究”是一章，我理解起来有点困难，可能他是数学出身，感觉很自然，我以前一位舍友说，硕研虽没什么象样论文，但长劲是肯定的，温伯格的量子物理（？）原版已可以象读小说一样，一页一页的翻；尚玉昌得书里一点介绍，可以做入门得了解，篇幅短，不会吓着；就我觉得看这类东西，一定要自己推一遍，否则很难理解；ESS的应用很广泛，有谁能介绍？我知道得就是解释为什么男女性别比是1:1 ，张得那一章末尾讲的是稳定的根系分配与生长冗余；看看自己工作范围内可不可以用用，有没有人做过，一个好的想法，你的工作就会很漂亮 此消息由 mumu 在 2003-07-30.10:15:30 编辑过 ecospace2003-8-24 01:35:00挺早的一篇文章，不过没看明白。The Evolution of ESS TheoryThomas L. Vincent; Joel S. BrownAnnual Review of Ecology and Systematics, Vol. 19. (1988), pp. 423-443.“看看自己工作范围内可不可以用用，有没有人做过，一个好的想法，你的工作就会很漂亮 ”，很受启发。沙丁鱼罐头2003-8-24 01:35:00早上翻书惊讶地发现自己连一元二次方程的求根公式都忘了郁闷之中拿这个开刀.将x2=1-x1，y2=1-y1代入下式x1*(3*y1+6*y2)+x2*(5*y1+4*y2)y1*(3*x1+5*x2)+y2*(6*x1+4*x2)得2*x1-4*x1*y1+y1+4=2*x1*（1-2*y1）+9/2设A=2*x1-4*x1*y1+y1+4 （0=x1=1,0=y1=1)可得 9/2-2=A=9/2+2由此可见9/2是中间数，多了b方不高兴，少了a方不高兴所以 2*x1*（1-2*y1）=0解得x1=1/4,x2=3/4 y1=1/2,y2=1/2是大家都满意的双赢策略，哈哈哈哈另外，我觉得纳什均衡在生态学中只能作为一个漂亮的理论看看，并不实用。影响一个物种的因素太多了，一条简单的食物链 虫子-青蛙-蛇-鹰，虫子和青蛙之间有n条策略，青蛙和蛇之间有m条策略，这n和m条还要考虑相互影响，更何况整个生物圈是一个巨大的食物网还要考虑非生物的因素，要建的模型实在是太庞大了非人力所能为。但是大自然办到了，并且亿万年来一直维系着这个平衡，真是纳什均衡最高明的应用者啊bnuecot2003-9-21 22:41:00我的