第二章 状态空间描述.ppt

第二章控制系统的状态空间描述 2 1状态空间分析法2 2由系统框图导出状态空间描述2 3由系统机理导出状态空间描述2 4由输入输出描述导出状态空间描述及其几种标准形式2 5离散时间线性系统的状态空间描述2 6线性定常系统的特征结构2 7由状态空间描述求传递函数2 8状态矢量的线性变换2 9组合系统的状态空间描述 状态空间分析法 绘制步骤 1 绘制积分器 2 画出加法器和放大器 3 用线连接各元件 并用箭头示出信号传递的方向 状态空间表达式的状态变量图 由系统框图导出状态空间描述 将系统传递函数方块图的各个环节变换成相应的模拟图 把每个积分器的输出选作为一个状态变量 根据系统的实际连结 写出相应的状态空间表达式 例系统传递函数方框图如图所示 输入为u 输出为y 试求其状态空间表达式 从图可知 状态方程 输出方程 x1 x2 x3 状态空间表达式为 由系统机理导出状态空间描述建立状态空间模型的关键在于状态变量的选取 它是建立状态空间模型的前提状态变量的主要选取办法系统储能元件的输出系统输出及其输出变量的各阶导数 2 4由输入输出描述导出状态空间描述及其几种标准形式 本节讨论由高阶常微分方程与传递函数 通过选择适当的状态变量分别建立系统的状态空间模型 这样的问题称为系统的实现问题 状态空间描述既保持原传递函数所特定的输入 输出关系 又将系统的内部结构确定下来 因此它是该传递函数的一种实现 然而根据输入输出关系求得的状态空间描述不是唯一的 通常把这种没有零极点对消的传递函数的实现称为最小实现 即在所有实现中 它的阶数最小 实现问题是现代控制理论的重要课题之一 因为在某些实际问题中 系统的物理过程比较复杂 通过分析方法 如上节所述 来建立的动态方程十分困难 甚至不可能 这时可能采取的方法之一就是通过某种实验手段先确定输入输出之间的传递函数 然后根据传递函数来确定系统的状态方程和输出方程 n阶常系数微分方程 单入单出 相应的传递函数为 问题 将上式转换成状态空间表达式 2 4 1传递函数中没有零点的实现 u 输入y 输出 n阶常系数微分方程 单入单出 相应的传递函数为 选状态变量x 选输出各阶导数建立方程 友矩阵 A B具有这种形式 则称为能控标准型 该矩阵的最后一行与其矩阵特征多项式的系数有对应关系 前n 1行为1个n 1维的单位矩阵 系统输出方程 结构图 能控标准型 这种结构的特点是由各中间变量 即状态变量 到输入的负反馈构成 能控性 是控制作用u t 支配系统x t 的能力 例三阶系统 其微分方程为 选取状态变量 则有 写成矩阵形式 状态图如下 标准I型 标准II型 补充 2 4 2传递函数中有零点时的实现 如果单输入 单输出系统的微分方程为 一般输入量中导数项的次数小于或等于系统的次数 如果选输出各阶导数则可得如下状态方程 根据微分方程解的存在性和唯一性条件 要求输入u t 为分段连续 而上述状态方程中输入u的各阶导数可能不连续 从而使微分方程解的存在性和唯一性的条件不成立 因此 状态方程中不应有输入u的导数项出现 即不能直接将输出y的各阶导数项取作状态变量 为避免状态方程中出现输入的导数 通常 可利用输出y和输入u以及其各阶导数的线性组合来组成状态变量 基于这种思路选择状态变量的方法很多 下面先介绍一种 其他的方法将在后续章节中陆续介绍 设n阶微分方程为 Laplace变换 求传递函数 引入辅助变量z 返回到微分方程形式 以及 选择状态变量如下 写成矩阵形式 注 如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同 则有d 例已知描述系统的微分方程为 试求系统的状态空间表达式 解 引入辅助变量z 选择状态变量 于是系统的状态空间表达式为 2 4 3传递函数展开成部分分式求其状态空间描述 由于传递函数与线性定系数常微分方程有直接的对应关系 故前面讨论的由高阶线性微分方程建立状态空间模型的方法同样适用于将传递函数建立变换为状态空间模型 类似地 本节讨论的由传递函数建立状态空间模型的方法亦适用于对微分方程建立状态空间模型 下面分传递函数极点互异有重极点两种情况讨论如何建立状态空间模型 1 传递函数中极点互异时的变换对于传递函数G s 其特征方程为sn a1sn 1 an 0若其特征方程的n个特征根s1 s2 sn互异 则用部分分式法可将G s 表示为如下并联分解 其中k1 k2 kn为待定系数 其计算公式为 考虑到输出y t 和输入u t 的拉氏变换满足 若选择状态变量xi t 使其拉氏变换满足 反变换可得系统状态方程为 相应地 系统输出y t 的拉氏变换为Y s k1X1 s k2X2 s knXn s 因此 经拉氏反变换可得如下输出方程y k1x1 k2x2 knxn整理上述状态方程和输出方程可得如下状态空间模型 上述用部分分式法建立的状态空间模型中的系统矩阵有一个重要特征 即A为对角线矩阵 系统矩阵A具有上述对角线形式的状态空间模型即为对角线规范形 对角线规范形其实是将系统转换为n个一阶子系统 惯性环节 的并联 如下图所示 对角线规范形的结构图 例 解由系统特征多项式s3 6s2 11s 6可求得系统极点为s1 1s2 2s3 3于是有 选择状态变量为G s 分式并联分解的各个一阶惯性环节的输出 可得如下状态空间模型 2 传递函数中有重极点时的变换不失一般性 为清楚地叙述变换方法 以下设系统特征方程有6个根 其值分别为s1 s1 s1 s4 s5 s5 即s1为3重极点 s5为2重极点 相应地 用部分分式法可将所对应的传递函数表示为 如何选择状态变量 考虑到输出y t 和输入u t 的拉氏变换满足 选择状态变量xi t 使其拉氏变换满足 则有 则有 则经反变换可得系统状态方程为 相应地 系统输出y t 的拉氏变换为Y s k11X1 s k12X2 s k13X3 s k41X4 s k51X5 s k52X6 s 拉氏反变换可得如下输出方程y k11x1 k12x2 k13x3 k41x4 k51x5 k52x6 整理可得如下矩阵描述的状态空间模型 系统矩阵有一个重要特征 即A为块对角矩阵 且每个矩阵方块为只有一个重特征值的特定矩阵块 约当块 系统矩阵A具有上述特定块对角形式的状态空间模型即为约当规范形 事实上 约当规范形是将系统转换为多个子系统 惯性环节 的串 并联 例用部分分式法将下述传递函数变换为状态空间模型 解由系统特征多项式s3 5s2 8s 4可求得系统有二重极点s1 2和单极点s2 1 于是有 其中 可得如下状态空间模型 2 5离散时间线性系统的状态空间描述 后面统一讲 2 6线性定常系统的特征结构 自学 2 7由状态空间描述求传递函数 下节再讲 2 8状态矢量的线性变换 为何同一个系统具有不同的状态空间模型 原因 状态变量的不同选择各种不同选择的状态变量之间 以及它们所对应的状态空间模型之间的关系如何 在控制系统的分析和设计中 某些特殊的系统数学模型对讨论问题相对简单得多 如前面建立的对角线规范形和约当规范形 如何把一般形式的状态空间模型变换成特定形式的状态空间模型 以降低系统的分析问题和设计问题的难度 解决上述两个问题 就需引入状态空间的线性变换 什么是状态空间的线性变换 状态空间中由于状态变量的不同选择类似于线性空间中的坐标的不同选择同一个系统选择不同状态变量组之间存在类似于线性空间不同坐标之间的线性变换因此我们将在状态空间中坐标变换称为状态空间的线性变换 引入坐标变换和状态空间线性变换等概念 实际上就回答了上述两个问题 选取不同状态变量之间存在一个坐标变换 其相应的状态空间模型之间也存在一个相应的相似变换 2 既然可以对状态变量和状态空间模型进行线性变换 则在一定条件下应可以将一般形式的状态空间模型变换成某种特殊的状态空间模型 2 8 1化状态方程为对角线规范形 对角线规范形是指系统矩阵A为对角线矩阵的一类状态空间模型 对于该类状态空间模型 由于在系统分析和综合时 清晰直观 使问题得以简化 该类系统可简化成n个一阶惯性环节的并联故在状态空间分析法中是较重要的一类特殊状态空间模型 任何具有n个线性独立特征向量的状态空间模型一定能经状态变换变换成对角线规范形 证明 A矩阵为任意形式A矩阵的特征根无重根时对线性定常系统 若系统的特征值两两互异 则必存在非奇异变换 将状态方程化为对角线标准型 实际上 例试将下列状态空间模型变换为对角线规范形 解先求A的特征值 由特征方程可求得特征值为 1 1 2 2 3 3求特征值所对应的特征向量 可求得特征值 1 2和 3所对应的特征向量分别为p1 101 Tp2 124 Tp3 169 T取A的特征向量组成变换矩阵P并求逆阵P 1即有 计算各矩阵 5 系统在新的状态变量下的状态空间模型为 下面给出快速计算矩阵特征向量及对角线规范形的一个特例 在第三节讨论的状态空间模型中 其系统矩阵为 其特征多项式为 I A n a1 n 1 an 1 an即该类矩阵的最后一行与特征多项式的系数一一对应 该类特殊系统矩阵A称为友矩阵 单位矩阵 友矩阵的特征向量的特点 当特征值为 i时 其对应的特征向量为 即pi为友矩阵的特征值 i对应的特征向量 证明 因此 当友矩阵的特征值互异时 将友矩阵变换成对角线矩阵的变换矩阵恰为下述范德蒙矩阵 例试将下列状态空间模型变换为对角线规范形 解先求A的特征值 由特征方程可求得特征值为 1 0 2 1 3 2由于A为友矩阵 故将A变换成对角线矩阵的变换矩阵P及其逆阵P 1分别为 计算各矩阵 系统在新的状态变量下的状态空间模型为 2 8 2化状态方程为约当规范形若系统存在重特征值 且线性独立特征向量数小于该特征值的重数时 则系统矩阵A不能变换成对角线矩阵 在此种情况下 A可变换成约当矩阵 系统表达式可变换成约当规范形 下面将分别讨论约当块和约当矩阵约当规范形及其计算 1 约当块和约当矩阵矩阵的约当块的定义为 由l个约当块Ji组成的块对角的矩阵称为约当矩阵 如J block diag J1J2 Jl 下述矩阵均为约当矩阵 由约当块和约当矩阵的定义可知 对角线矩阵可视为约当矩阵的特例 其每个约当块的维数为1 1 状态空间模型变换与对角线规范形 约当矩阵规范形的关系 一般状态空间表达式 对角线规范形 约当规范形 n个独立特征向量 代数重数 几何重数 代数重数 几何重数n个独立特征向量与广义特征向量 特例 线性变换 几何重数和代数重数都是针对矩阵某个特征值来说的一个矩阵的某特征值的几何重数 该矩阵Jordan标准型中与该特征值相关联的Jordan块的个数一个矩阵的某特征值的代数重数 该矩阵Jordan标准型中与该特征值相关的所有Jordan块的阶数之和例 矩阵特征根8的几何重数为3 代数重数为6 若将对角线矩阵视为约当矩阵的特例的话 则任何矩阵皆可经相似变换化为约当矩阵 相应地 任何状态空间模型都可经状态变换变换成约当规范形 任何矩阵都可变换成约当矩阵 但能变换成有几个约当块的约当矩阵 则与系统的特征向量有关 对此有如下结论 矩阵所变换成的约当矩阵的约当块数等于该矩阵的线性独立特征向量数 即几何重数 由前面讨论可知 任何状态空间模型一定能经状态变换变换成约当规范形 约当阵特征向量的计算 例试将下列状态空间模型变换为约当规范形 解先求A的特征值 由特征方程可求得特征值为 1 2 3 2 4 1求特征值所对应的特征向量 可求得特征值2由如下两个线性独立特征向量P1 1 11 11 3 TP2 1 100 1 T其中p1 1无广义特征向量 而p2 1的广义特征向量为P2 2 110 1 T特征值 1的特征向量为P3 1 0001 T 取A的特征向量和广义特征向量组成变换矩阵P并求逆阵P 1 即有 计算各矩阵 系统在新的状态变量下的状态空间模型为 也可以写成另外一种形式 2 7由状态空间描述求传递函数 前面已经介绍了SISO系统从传递函数求系统的状态空间表达式 下面将介绍其逆问题 即怎样从状态空间表达式求系统的传递函数 传递函数的不变性 对于同一个系统 尽管其状态空间表达式可以作各种非奇异变换而不是唯一的 但它的传递函数矩阵是不变的 2 9组合系统的状态空间模型和传递函数阵对于许多复杂的生产过程与设备 其系统结构可以等效为多个子系统的组合结构 这些组合结构可以由并联 串联反馈3种基本组合联结形式表示 下面讨论由这3种基本组合联结形式构成的组合系统的状态空间模型和传递函数阵 并联连接 串联连接 从图可知u1 uu2 y1y2 y因此可导出串联组合系统的状态空间方程为 相应的输出方程为 即有 串联联结组合系统的传递函数阵为串联系统各子系统的传递函数阵的顺序乘积 应当注意 由于矩阵不满足乘法交换律 故在上式中G1 s 和G2 s 的位置不能颠倒 它们的顺序与它们在系统中的串联联结顺序一致 输出反馈系统 传递函数矩阵 2 5离散时间线性系统的状态空间描述随着数字计算机在系统控制中的广泛应用 离散时间系统 简称为离散系统 日益显示出其重要性 和连续系统不同 离散系统中各部分的信号不再都是时间变量t的连续函数 事实上 大量的连续系统通常被通过采样化为时间离散化系统 再来进行分析和控制 离散系统成为控制理论与控制工程中重要的一类系统模型 在经典控制理论中 离散系统通常用差分方程或脉冲传递函数来描述 SISO线性定常离散系统差分方程的一般形式为y k n a1y k n 1 any k b0u k n bnu k 式中 k表示第k次采样的kT时刻 T为采样周期 y k u k 分别为kT时刻的输出量和输入量 ai和bi为表征系统特性的常系数 对上述差分方程模型两端取z变换并加以整理可得脉冲传递函数 z域传递函数 上述描述的离散系统输入输出差分方程 传递函数分别与连续系统的输入输出微分方程 传递函数在形式上相同 为进行离散系统的状态空间分析 需引入离散系统的状态空间模型 在状态空间法中 采用以下的离散状态方程和离散输出方程所组成的线性定常离散系统状态空间模型对离散系统进行描述 即 其中x kT u kT 和y kT 分别为n维的状态向量 r维的输入向量和m维的输出向量 G T H T C T 和D T 分别为系统矩阵 输入矩阵 输出矩阵和直联矩阵 离散系统状态空间模型的意义 状态方程为一阶差分方程组 它表示了在 k 1